面向二维时间分数阶反应扩散问题的半解析分数阶神经网络框架

《Neural Networks》：A semi-analytical fractional order neural network framework for two-dimensional time fractional reaction-diffusion problems

　　

摘要
在本研究中，我们提供了基于 Adomian 分解法的神经网络方法针对二维时间分数阶反应扩散初始边界值问题的收敛性，其中时间分数阶导数是在 Caputo 意义下考虑的。我们提出了在时间分数阶导数半离散化后，Adomian 分解法（ADM）与物理信息神经网络（PINN）的合理组合构想。在生成适当的 ADM-PINN 近似解之前，PINN 在损失函数内部使用基于 ADM 的部分和。此外，我们给出了在给定数据上的所需充分条件，在此条件下通常的 Adomian 分解法在有界区域内收敛。此外，我们分析了所提出方法针对时间分数阶模型的误差界并证明了收敛性。提供了几个数值例子以展示当前 ADM-PINN 方法的有效性。观察发现，所提出的方法对于包括薛定谔方程在内的几个二维时间分数阶问题在计算解的收敛近似方面非常有效。

引言
深度学习算法是科学计算领域的重要工具，因为它们的通用逼近性质能够表示由微分方程产生的复杂解 LeCun 等人 (2015); Liang 和 Srikant (2016)。近年来，深度神经网络被广泛用于解决广泛范围的问题，在计算机视觉和图像处理领域取得了显著成功，在那里它们对传统数值方法构成了重大挑战 Drogoul (2014)。在工程领域，控制系统主要面临两个重大问题，即系统运行的随机突变和复杂的非线性动力学。为了有效管理顺序增长率、事件触发条件和阈值，Shanshan 等人 (2025) 的作者创建了一种新颖的基于内存的自适应事件触发机制。使用 Lyapunov-Krasovskii 泛函考虑了触发瞬间的信息。类似地，Li 等人 (2025) 的研究调查了一种用于随机多智能体系统的事件触发控制技术，以以更少的能量和通信完成共识跟踪。他们考虑了控制环境中噪声（遵循布朗运动）的影响，并根据马尔可夫切换过程修改通信拓扑。此外，算法仅在跟踪误差超过预定阈值时更新控制器。最后，他们通过数值实验验证了方法的有效性。Lagaris 等人 (1998) 采用人工神经网络（ANN）通过构造精确满足初始和边界条件的试验解来求解微分方程和微分方程组。在几个基准问题上的数值模拟表明，基于误差和计算效率，该方法优于有限元方法。此外，深度学习算法的无网格特性使得数值技术在求解线性/非线性偏微分方程 Liu 等人 (2023); Patawari 和 Das (2025)、高维半线性抛物偏微分方程 Ghosh 等人 (2026); Han 和 Jentzen (2017) 以及奇异摄动问题 Das 和 Mehrmann (2016); Patawari 等人 (2025) 时处于劣势。Raissi 等人 (2019) 引入了物理信息神经网络（PINNs），这是一个深度学习框架，利用微分方程的物理现象来解决正向和反向问题，即使存在分散和噪声数据。在理论证明的序列中，Shin 等人 (2020) 的作者提供了针对二阶线性椭圆和平行抛物偏微分方程讨论的第一个严格误差界和理论收敛性。他们观察到，随着分区尺寸宽度的减小，使用 Schauder 不动点方法和最大原理，PINN 近似解收敛到偏微分方程的精确解。此外，Mishra 和 Molinaro (2022) 的作者使用抽象形式化和积分规则提供了 PINN 对于线性和拟线性不可压缩欧拉方程的泛化误差，这取决于训练点。这项工作也被扩展以获得 Navier-Stokes 方程的泛化误差，如 De Ryck 等人 (2024) 所述。

传统的 PINN 使用自动微分、反向传播和适当的优化器来求解微分方程。自动微分采用标准的经典链式法则来计算整数阶微分算子。标准链式法则在通过 PINN 近似的整数阶和分数阶微分方程之间造成了研究差距。Pang 等人 (2019) 的作者考虑了这个问题并开发了分数阶 PINN，这是标准 PINN 的扩展，称为 fPINN。分数阶 PINN 涉及整数阶算子的自动微分和分数阶算子的数值方案。他们通过时空分数阶对流扩散方程和多维正向及反向问题展示了 PINN 的收敛性，并提供了与有限差分方法的比较分析。在本文中，我们修改 PINN 技术以求解时间分数阶反应扩散方程 Cao 等人 (2025)，由于自动微分的失效，该方程在过去十年中引起了关注。分数阶反应扩散模型的应用出现在几个地方，例如；在异质介质中带有异常扩散的激活剂 - 抑制剂动力学建模 Henry 和 Wearne (2006)，其中反应项和扩散项分别说明了物种的生长和迁移。以类似的方式，Sahoo 等人 (2025) 的作者解决了具有时间分数阶导数的地球物理 Korteweg-de Vries 方程，该导数源于气候变化中的不确定性或空气和水波动力学引入的不确定性导数。Ren 等人 (2023) 的作者扩展了分数阶物理信息神经网络以在计算上解决奇异摄动问题边界层内的振荡。Shekarpaz 等人 (2024) 的作者最近开发了一种基于分裂的 PINN 算法，通过扩展 PINN 和 fPINN 方法来有效预测分数阶和整数阶问题中产生的振荡。我们还可以找到一些关于分数阶 PINN 的最新论文 Mehta 等人 (2019); Zou 等人 (2024)，以及关于计算方面的调查 Das 等人 (2026)。在科学计算领域，分数阶反应扩散模型是当前时代一个不断增长的领域。在今天的文献中，当空间或时间中存在分层现象时，空间或时间自适应网格上的解近似很常见 Choudhary 等人 (2024); Das 和 Vigo-Aguiar (2019); Kumar 等人 (2024); Santra 等人 (2023)。其他方法包括用于二维模型的算子分裂 Baeumera 等人 (2008)，以及使用傅里叶谱分析的分数阶傅里叶变换 Pindza 和 Owolabi (2016)。然而，PINN 对于具有有界或无界区域的问题的扩展，从而导致更快的收敛性，仍然是开放的。在这项工作中，我们将半解析 Adomian 分解法与 PINN 结合，并为其在有界区域中的时间分数阶反应扩散问题提供了分析。我们相信我们提供的方法将帮助进一步研究从事 PINN 或时间分数阶问题的研究社区。现在我们要解释首选的分解方法。

Adomian 分解法（ADM）利用基于部分和的级数近似来生成收敛解。在这里，我们提供基于这种分解的反应扩散模型近似的收敛性分析，这是由 Adomian Adomian (1988) 最初引入的。如果能确定最小数量的特定项，ADM 和 PINN 的结合可以导致比 PINN 更好的结果，并且它也比 ADM 解优越。然而，如果初始 ADM 近似能够检测时间奇异性，则没有硬性规则来找到这个数字 Sabawi 等人 (2025); Santra 等人 (2025)。因此，我们提出了 PINN 与 ADM 的结合，如果提供来自半解析近似的初始猜测，它将提供收敛且更好的近似。在 ADM 文献方面，观察发现它对几个问题有效，如 Fokker-Planck 方程 Dehghan 等人 (2007)、Duffing 方程和 Van der Pol 振荡器 Adomian (1988)、时间分数阶 Burger 方程 Li 和 Wang (2009)、非线性分数阶方程 Rach 等人 (2013)、Gurtin–Pipkin 积分微分方程 Anukiruthika 等人 (2025) 等，无论线性和非线性情况。此外，Ahmad 等人 (2025) 的作者使用基于高斯径向基函数的无网格配点法来求解美国期权和数字期权的两项资产时间分数阶 Black-Scholes 模型，其中使用 Caputo 导数来处理时间分数阶分量。特别地，这种方法也可以被视为数值离散化的替代方法，因为分解甚至可能导致模型的精确解。ADM 是一种半解析方法，如同伦摄动 Zhang 等人 (2017) 和迭代方法 Al-Jawary 等人 (2018)，它将原始问题简化为更简单子问题的收敛序列。基于 ADM 的近似解的收敛性首先由 Cherruault Cherruault (1989)、Cherruault 和 Mavaungou Mavoungou 和 Cherruault (1992) 考虑。然而，他们主要考虑了无界空间区域中偏微分方程的初始值问题，而这种方法的初始边界值问题的扩展尚未被探索。半解析 ADM 对于分数阶非线性热方程和波方程的有效性也在 Ray 和 Bera (2006) 中针对初始值问题被观察到。

当前工作的主要动机是为 ADM-PINN 算法提供一种新颖的框架。我们讨论了大量的 ADM 文献，观察发现当空间区域无界时，该方法对大多数初始值问题有效。在这里，我们分析了 ADM 对于有界区域中时间分数阶反应扩散模型初始边界值问题的理论和数值收敛性。我们证明了理论收敛性，并提供了初始数据的充分条件，在此条件下可以使用方程 (6) 中定义的通常分解程序在有界区域上求解初始边界值问题。ADM 的一个关键限制是基于缓慢收敛，这可能需要大量级数项来获得合理的误差，这在实践上可能很难解释。为了减少具有合理误差的级数项数量，我们引入神经网络框架以及 ADM 数据。自动微分是神经网络框架中计算微分算子的重要方面。自动微分使用适用于整数阶微分算子的经典链式法则。因此，我们需要对分数阶算子进行适当处理，在这里，我们使用 L1 方案来近似它，并且在损失函数中使用收敛的 ADM 数据为神经网络框架提供最优参数。神经网络中的主要新颖性是在传统损失内部引入额外的损失，其中包含来自 ADM 算法生成数据的解的先探信息，并为神经网络参数提供最优选择。最后，我们证明了 ADM-PINN 算法的误差界和理论收敛性。论文的提纲如下。在第 2 节中，我们定义了有界区域上的二维分数阶反应扩散模型。在第 3 节中，在引入针对时间分数阶半离散问题的 PINN 之前，我们介绍了 ADM 算法程序和当前问题的半离散版本。在第 4 节中，我们提供了有界区域内分解方法的收敛性分析，并提供了保证分解方法收敛的充分数据。在第 5 节中，我们提供了 ADM-PINN 组合算法，并提供了基于 PINN 的泛化误差的收敛性分析。在第 6 节中，我们使用数值例子得出 PINN 优于 ADM 解的有效性。最后，我们在第 7 节总结了当前算法的好处。

符号：对于区域 Ω??，我们分别用 ??Ω?? 和 ?????Ω?? 定义它的闭包和边界。函数 ???(??) 的上确界范数定义为区域 Ω?? 中的 ∥???(??)∥∞=max??∈Ω???|???(??)|。对于整数 m?>?0，?????(Ω??) 是一个希尔伯特空间。特别地，?????(Ω??)≡{??∈??2?(Ω??):?????????∈??2?(Ω??),0≤?≤??} 其中 ????????=????????1?????2?? 其中 ?=?1+?2 是 u 的 ? 阶弱导数，相应的范数定义为 ∥??∥?????(Ω??)=(∥??∥??2?(Ω??)+∑????=1∥??????????∥??2?(Ω??))1/2。此外，我们使用 ??10?(Ω??)，其定义为 ??10?(Ω??)={??∈??1?(Ω??):??=0on??Ω??}。对于给定的空间区域上的巴拿赫空间 ? 以及 ??=0,1，我们定义 ?????(0,??;?):={???(??)∈??a.e.for???∈(0,??)and∑????=0∫??0∥???????(??)??????∥2?????<∞} 配备范数 ∥??∥?????(0,??;?)=(∑????=0∫??0∥???????(??)??????∥2?????)12。对于分数阶 α，我们将此空间定义为 ?????(0,??;?):={???(??)∈??for?a.e.with???∈(0,??) and ∫??0(∥???(??)∥2??+∥???????????(??)∥2?)????<∞} 配备范数 ∥??∥?????(0,??;?)=(∫??0(∥???(??)∥2?+∥??????????(??)∥2?)????)12。

为简便起见，我们在全文中将范数 ∥.∥??2?(0,??;??2?(Ω??)) 简记为 ‖.‖。
章节摘要
反应扩散问题
在本文中，我们考虑以下二维时间分数阶反应 - 扩散初边值问题，定义在有界域 Ω????2 上的 Ω??×[0,??] 区间：
?{
{
{?{
{
{???????????(??,??)=??Δ????(??,??)????(??,??)????(??,??)+???(??,??),0这里，反应项 ???(??,??) 被视为 ?????Ω?? 上充分光滑的正函数，a 为正数。我们感兴趣的是逼近 ?????Ω??×[0,??] 上的解 ???(??,??)。
分数阶微分方程上的 ADM-PINN
我们首先解释 ADM 的一般过程，并描述如何结合 ADM-PINN 进行解的逼近。其收敛性和误差分析将在后续章节中讨论。ADM 基于其级数展开的特殊类型来逼近解析解。该级数的部分和将用于基于 ADM-PINN 的逼近的初始猜测。
分解方法分析
在这里，我们提供了基于 ADM 的解的收敛性分析，以及 Adomian 方法在有界域上的时间分数阶偏微分方程中适用的充分条件。需要注意的是，如果在 ADM-PINN 算法的损失函数中选择 ADM 解的部分和，人们可以期望通过 ADM-PINN 组合获得相对较小的误差。
泛化误差估计
让我们首先定义当初始猜测由半解析逼近提供时，用于神经网络解逼近的基于 ADM 的 PINN 算法。我们在第 4 节中定义了基于 ADM 的级数解的收敛性分析。基于部分和的 ADM 解开始在任何分割点处减少后的最小项数从理论上看不清楚。因此，我们从任何基于 ADM 的部分和作为上述的初始近似开始。
数值实验
在本节中，我们通过结合算法 1-2，为时间分数阶反应扩散方程的 ADM-PINN 算法提供了几个数值实验。算法 2 所需的超参数见表 1。这里，我们选择 N 为时间分割数，Mx 为 x 方向的空间分割数，My 为 y 方向的空间分割数。均匀分割上的域离散化定义如下 Ω????,????,???:={?(????,????,????):????=0,1,
结论
我们已成功开发了一种基于 ADM-PINN 的深度 学习算法，用于二维时间分数阶反应扩散问题。还推导出了基于时间半离散格式和空间 PINN 逼近的理论界限，并建立了 ADM-PINN 对时间分数阶反应扩散初边值问题的收敛性。首先，我们推导了 Adomian 方法的收敛性以及 Adomian 适用的数据上的少数充分条件。
声明
作者声明他们没有任何利益冲突和竞争利益。此外，他们声明本工作未在其他任何地方考虑中。作者感谢匿名审稿人提出的宝贵意见，以便改进这项工作。
伦理批准
所有作者均同意提交。
贡献
所有作者对本工作做出了同等贡献。作者 P. Das 专注于开发所提出的深度学习算法背后的数学分析。作者 A. Patawari 致力于该算法的开发及其效率分析。
CRediT 作者贡献声明
Arihant Patawari: 写作 - 原稿，可视化，软件，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。Pratibhamoy Das: 写作 - 原稿，可视化，验证，监督，软件，项目行政，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。Subrata Rana: 写作 - 原稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。
竞争利益声明
作者声明他们没有任何已知的竞争经济利益或个人关系可能影响本文中报告的工作。
资金声明
作者 Pratibhamoy Das 感谢印度政府教育部进行目前的研究。作者 Arihant Patawari 衷心感谢他的机构 - 印度理工学院巴特那分校，并感谢 CSIR-UGC, 2021, NTA 参考号 211610137817, 印度新德里 的财政支持。
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