《Symmetry》：A Unified Iterative Algorithm for Variational-like Inequalities and Fixed Point Problems in Banach Space with Applications to Image Denoising
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本文介绍并分析了一种惯性投影迭代格式，用于求解组合广义一般变分类不等式问题(CGGVLIP)、与??-逆强单调映射相关的零问题，以及二一致凸且一致光滑巴拿赫空间中有限族相对非扩张映射的公共不动点问题。建立了所提算法到公共解的强收敛性。通过数值算例说明了该方法的
本文介绍并分析了一种惯性投影迭代格式，用于求解组合广义一般变分类不等式问题(CGGVLIP)、与??-逆强单调映射相关的零问题，以及二一致凸且一致光滑巴拿赫空间中有限族相对非扩张映射的公共不动点问题。建立了所提算法到公共解的强收敛性。通过数值算例说明了该方法的效率，并通过详细图表进行了验证。还展示了其在图像去噪中的应用，以证明其实用性。
本文发表于《Symmetry》，研究背景源于变分不等式问题在优化、经济、工程等领域的广泛应用。经典变分不等式问题(Variational Inequality Problem, VIP)及其推广形式，如混合变分类不等式、平衡问题(Equilibrium Problem, EP)等，已被大量研究。然而，现有求解算法多针对单个或两个相对非扩张映射，且惯性迭代格式在巴拿赫空间中的强收敛分析相对有限。为弥补这一不足，研究人员提出了一种统一的惯性投影迭代算法，旨在同时求解三方面问题：组合广义一般变分类不等式问题(CGGVLIP)、与??-逆强单调映射相关的零问题、以及有限族相对非扩张映射的公共不动点问题。研究在二一致凸且一致光滑的巴拿赫空间中展开，并建立算法的强收敛定理。
研究人员采用了多种关键数学工具。首先是广义投影算子，它扩展了希尔伯特空间中度量投影的概念，通过Lyapunov泛函在巴拿赫空间上定义。其次，算法引入了惯性外推技术，利用前两步迭代值的线性组合加速收敛。此外，利用满足特定假设的三元函数族构造辅助算子，并结合相对非扩张映射的闭包性质进行迭代。收敛性证明依赖于Lyapunov泛函的性质、Kadec–Klee性质以及广义投影的变分特性，通过多步推导得出强收敛结论。
在收敛性结果部分，定理1给出了算法强收敛到公共解的充分条件，包括参数序列的选取范围以及空间几何假设。该定理在更一般框架下推广了已有文献的结果：它仅需较弱的广义松弛单调性假设，将单个相对非扩张映射推广为有限族，并将问题统一到二一致凸且一致光滑的巴拿赫空间中。推论1针对GGVLIP情形给出特例，推论2则在希尔伯特空间中简化了算法，此时相对非扩张映射退化为非扩张映射，广义投影退化为度量投影。
3.1 数值算例：研究人员在有限维欧几里得空间中构造了一个满足条件的实例，选取对称正定矩阵和适当的三元函数，将所提算法与AlNemer等人、Takahashi等人、Matsushita等人的方法进行比较。图1展示了序列误差随迭代次数下降的趋势，表1记录了各算法的CPU运行时间，表明新算法在收敛速度和计算成本方面具有优势。
3.2 图像去噪应用：研究人员将所提算法应用于带总变差(TV)正则化的图像去噪问题。在希尔伯特空间框架下，图像被视为矩阵，利用Frobenius内积和范数定义数据保真项。通过将保真项梯度设为1-逆强单调映射，并选取合适的固定点映射，使算法退化为TV近端映射迭代形式。实验在cameraman和peppers两个标准测试图像上加入高斯噪声，重建结果与ROF/Chambolle–Pock(ROF/CP)方法进行视觉和定量对比，采用峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)作为评价指标。图2和图3分别展示了两种图像的重建效果，结果表明所提方法能有效去除噪声并保持图像结构。
结论部分总结指出，该研究开发了一种惯性投影方法，用以求解CGGVLIP、??-逆强单调映射零问题以及有限族相对非扩张映射的公共不动点问题，在二一致凸且一致光滑的巴拿赫空间中证明了强收敛性。数值实验验证了算法的计算性能，图像去噪应用则凸显了其实用价值。未来工作可考虑将算法推广为外梯度型格式，并减弱空间几何条件至严格凸性加一致光滑性。
