评论：Kisoglu, H.F. 通过渐近迭代方法研究双曲分子势的非相对论性封闭形式能量谱。《对称性》2026年，第18卷，第586页

《Symmetry》：Comment on Kisoglu, H.F. Non-Relativistic Closed-Form Energy Spectrum of a Hyperbolic Molecular Potential Through the Asymptotic Iteration Method. Symmetry 2026, 18, 586

　　

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摘要

本文对具有双曲势的量子力学系统的解空间进行了方法论上的澄清。在我们之前的研究中，已经使用渐近迭代方法（AIM）对此进行了探讨。我们在此指出，原始研究中使用的波函数结构（ansatz）和边界条件本质上限制了解空间只能为奇宇称态。因此，原始研究中得到的封闭形式解析能量本征值实际上只代表了系统的奇宇称态。这一结构特征并不影响我们研究中结果的准确性；它从数学上定义了读者的代数有效性的极限。

1. 引言

在我们之前的研究 [1] 中，我们考虑了基于修正的双曲正弦势的一维薛定谔方程，该势具有单井和/或双井特性，并使用渐近迭代方法（AIM） [2] 在解析框架内寻找解。我们的目的是从方法论上证明基于准精确度的AIM扰动应用 [3,4] 可以用于获得这种势的解析封闭形式能量本征值。众所周知，获得这种势的完整能量谱通常相当复杂，文献中也有使用其他方法的研究 [5,6,7,8]。尽管我们研究中使用的代数方法实现了目标并得出了封闭形式方程，但我们希望澄清单ansatz方法在解空间中的局限性，以确保理论的完整性。

2. 波函数假设与解空间的隔离

在我们之前的研究 [1] 中，为了确保AIM迭代的代数一致性和稳定性，我们对变量进行了如下更改： 并选择了 作为新的独立变量来构建波函数ansatz。然而， 因子在 极限下对波函数施加了边界条件 。在宇称对称的势中 [9）， 条件要求空间反对称性（奇宇称），因此自然排除了偶宇称态（包括基态）在解空间中的可能性 [9]。因此，我们在研究中选择用于实现AIM的ansatz从代数上限制了系统的解空间，仅包含奇宇称态。根据这一数学要求，我们研究中得到的封闭形式解析能量方程（方程（27）仅代表了系统的奇宇称态的完整能量谱。

3. 结论

因此，我们研究中使用的单ansatz的数学框架以及由此产生的边界条件自然地将解空间限制为奇宇称本征态。这种限制是首选方法（AIM）的结构性要求，以确保其代数一致性。因此，我们原始论文（表1-4）中呈现的数值本征值 [n = 0, 1, 2, …）对应于系统的奇宇称态，其中 N = n + 1。本文确认了我们使用AIM方法得到的解析能量表达式（方程（27）的准确性，并在定义的代数范围内阐明了文献中的方法论细节。

数据可用性声明

本研究没有创建或分析新的数据。本文不涉及数据共享。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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