通过非多项式样条逼近与神经网络验证推进Caputo分数阶Lotka–Volterra系统的数值处理

《Mathematics》：Advancing the Numerical Treatment of Caputo Fractional Lotka–Volterra Systems Through Non-Polynomial Spline Approximation and Neural Network Verification

　　

本文提出了一种修正的非多项式分数三次样条（modified non-polynomial fractional cubic spline, MNPFCS）方法，用于求解由Caputo分数阶导数控制的分数阶Lotka–Volterra捕食–被捕食系统。该方法将非多项式样条插值与分数阶微积分相结合，以获得非线性耦合系统的精确数值近似。研究人员从理论上建立了该方法的稳定性和收敛性。为进一步验证其有效性，将数值解与前馈人工神经网络（artificial neural network, ANN）的预测结果进行比较。两个基准算例表明，数值解与ANN解具有极好的一致性，同时均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和R²指标证实了ANN的高预测精度。所得结果表明，所提出的MNPFCS方法是求解非线性分数阶动力系统的一种精确、稳定且高效的方法。

该论文发表于《Mathematics》期刊。研究背景方面，分数阶微分方程能够刻画具有记忆效应和遗传特性的动力学系统，相比整数阶模型更适合描述工程、生物学、物理学等领域中的种群动态、扩散问题、黏弹性、控制系统和等离子体物理等现象。然而，只有少数分数阶模型存在解析解，因此发展可靠的数值方法十分必要。样条方法因其精度、光滑性和效率而广泛应用，但传统多项式样条对快速变化或非局部行为的适应性有限；非多项式样条引入指数、三角函数等基函数后提高了灵活性，但针对非线性分数阶系统的高效数值格式仍待发展。Lotka–Volterra捕食–被捕食模型是种群生态学中的基本模型，引入Caputo分数阶导数后可计入记忆效应，但其非线性耦合与记忆依赖性对数值方法提出了更高要求。同时，人工神经网络（ANN）具有强大的非线性逼近和泛化能力，可作为独立预测工具验证数值格式。

研究内容与结论：研究人员提出了一种修正的非多项式分数三次样条（MNPFCS）方法，用于求解Caputo分数阶Lotka–Volterra系统。该方法在样条构造中通过修正连续性条件和附加分数阶导数项直接引入分数阶信息，从而改善对记忆效应的近似，同时保持数值解的平滑性和稳定性。理论分析证明了该格式的稳定性、一致性和收敛性。两个基准算例的数值实验表明，MNPFCS解与ANN预测及经典RK4解高度一致，MSE、MAE和R²指标确认了ANN的高预测精度；样条阶数会影响误差，增大样条阶数可降低最大绝对误差。研究意义在于为非线性分数阶动力学系统提供了一种准确、稳定且高效的数值方案，并展示了将神经网络作为验证工具与数值方法相结合的可行性。

主要技术方法：研究人员在均匀网格上构造修正非多项式分数三次样条，通过边界条件和m阶导数连续性条件推导基本差分格式。利用均值定理和Taylor展开分析局部截断误差、稳定性和收敛性；使用前馈多层感知器ANN，输入为时间t，输出为猎物和捕食者种群，隐含层采用tansig激活函数，输出层采用purelin，用Levenberg–Marquardt反向传播训练；数据集按70%训练、15%验证、15%测试划分，并使用MSE、MAE和R²评估预测性能；同时以MATLAB环境中的经典RK4方法作为参考解进行比较。

研究结果：
Example 1（算例1）：针对式(1)的分数阶Lotka–Volterra模型，在给定初始条件、模型参数和分数阶阶数下，将MNPFCS解与ANN解对比。结果表明，ANN解在所有计算时刻都与MNPFCS数值解非常吻合，能够准确预测猎物和捕食者的振荡过程。ANN学习曲线显示训练误差快速下降，回归分析显示网络输出与目标值接近线性关系，误差直方图集中在零附近。表1显示，MNPFCS和ANN均与MATLAB中的经典RK4解高度一致；MNPFCS精度高但计算时间更长，ANN则可快速提供代理预测。相轨迹对比显示三种方法定性行为一致。样条阶数参数对精度有影响，最大绝对误差随样条阶数增大而减小，并在测试的样条阶数中达到最小。

Example 2（算例2）：采用另一组初始条件和模型参数，在计算区间上重复上述比较。ANN结果与MNPFCS数值解同样高度吻合，能够准确逼近全时段内猎物和捕食者的非线性演化；训练误差小，回归近乎完美，误差分布接近零。表2表明MNPFCS和ANN都与参考RK4解接近，R²接近1，MNPFCS整体误差略低，ANN仍可作为高效代理模型。相轨迹显示MNPFCS与RK4几乎重合，ANN紧随同一解轨迹。最大绝对误差也随样条阶数增大而减小，并在测试的样条阶数中达到最小。

讨论：数值结果与讨论部分综合表明，所提出的MNPFCS方法在两个算例中都能得到与经典RK4方法匹配的高精度解；ANN在训练后能够以极小误差复制MNPFCS解，验证了数值解的可靠性。样条阶数是控制误差的重要参数，提高样条阶数可改善近似精度。这些结果从数值实验角度支持了理论稳定性与收敛性分析。

研究结论（翻译）：本文提出了一种改进的非多项式分数三次样条（MNPFCS）方法，用于求解Caputo分数阶Lotka–Volterra捕食–被捕食系统。所提格式通过修正的连续性条件将分数阶信息纳入样条构造，为非线性分数阶动力系统提供了精确、稳定的数值近似。理论分析确立了该方法的稳定性、一致性和收敛性。两个基准算例验证了算法的有效性：数值结果与参考RK4解高度一致，前馈ANN成功学习了数值解，并以高R²值和低MSE、MAE给出了准确的代理预测。此外，样条阶数参数的影响研究表明，在测试的样条阶数中，数值误差可达到最小。这些结果证实了MNPFCS方法在求解非线性分数阶Lotka–Volterra系统方面的准确性、稳健性和可靠性。未来工作将把该样条公式推广到更一般的分数阶常微分和偏微分方程组，包括多维、变阶和随机分数阶模型；将Kolmogorov–Arnold网络（KANs）等现代机器学习架构与所提数值框架结合，也是提升代理建模和计算效率的有前景方向。