《Mathematical and Computational Applications》：Artificial Neural Networks and Simulation of Nonlinear Soliton Solutions of the Modified Benjamin–Bona–Mahony Equation in Nonlinear Optics
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为了研究三阶非线性修正Benjamin–Bona–Mahony方程的孤子解，本研究提出了一种解析与机器学习相结合的混合方法。引入了一种符号计算与数据驱动建模的新型组合，以加强理论分析并提高模拟能力。接下来，研究人员提出了一种Riccati子方程神经网络（RSE
为了研究三阶非线性修正Benjamin–Bona–Mahony方程的孤子解，本研究提出了一种解析与机器学习相结合的混合方法。引入了一种符号计算与数据驱动建模的新型组合，以加强理论分析并提高模拟能力。接下来，研究人员提出了一种Riccati子方程神经网络（RSENN）框架，将行波变换和Riccati子方程结构纳入神经网络模型。所提出的RSENN框架能够精确逼近孤子解，并预测由修正Benjamin–Bona–Mahony方程控制的空间-时间演化。通过在估计不同噪声强度下的未知参数，还进行了模型方程的数据驱动发现。RSENN模型使用Levenberg–Marquardt算法进行训练，并通过将其数值输出与精确解析解进行比较来评估其准确性和预测能力。结果表明，所提出的RSENN方法在不同噪声污染水平下具有鲁棒性。
非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equation, NLPDE）在描述流体、气体等复杂物理现象中具有核心作用，但其高阶非线性结构使得精确与近似求解面临诸多挑战。传统解析方法通常需要借助行波变换将NLPDE化为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），再确定平衡数后施行特定技术，过程繁琐且适用范围有限。人工神经网络（artificial neural network, ANN）凭借其强大的函数逼近能力，已被用于求解微分方程，但多数方法仅将网络作为数值近似器，未能充分利用已知的解析结构。修正Benjamin–Bona–Mahony（modified Benjamin–Bona–Mahony, mBBM）方程是描述浅水波、等离子体离子声波以及分层流体内部波的重要模型，在非线性光学中亦具应用价值。已有研究大多集中于解析孤子解，缺乏不经过PDE-ODE变换的直接神经网络方法，且对解的稳定性考察不足。为此，研究人员提出了一种融合符号计算与数据驱动建模的混合方法，旨在提高求解精度与模拟能力。
研究人员开展了如下工作：提出了Riccati子方程神经网络（Riccati sub-equation neural network, RSENN）框架。该框架将行波变换与Riccati子方程结构嵌入神经网络中，利用Riccati子方程的解作为第一隐藏层的激活函数，通过前向传播构造试验函数，再将其代入原方程使PDE转化为代数方程组，通过令各系数为零求解待定参数，从而获得mBBM方程的精确孤子解。同时，研究人员利用Levenberg–Marquardt人工神经网络（LM-ANN）对所得解析解进行数据驱动近似，评估模型在不同噪声强度下的参数辨识能力与预测精度。采用Hamiltonian方法对所得解的稳定性进行了分析。研究结果表明，RSENN方法能够准确逼近孤子解并预测其时空演化，在不同噪声污染水平下表现出良好的鲁棒性；得到的解包括kink型孤子、anti-kink孤子和周期孤子，它们在光学开关、磁畴壁、信号反转及光通信等领域具有潜在应用。该研究的意义在于，提出了一种不经过传统PDE到ODE变换而直接获得孤子解的神经网络框架，弥补了现有混合解析-神经方法仅将网络用作近似器的不足，为求解其他NLPDE提供了新途径。论文发表在《Mathematical and Computational Applications》。
主要关键技术方法包括：其一，RSENN框架，将Riccati子方程的解（如不同参数条件下的三族解）作为第一隐藏层激活函数，建立2-2-2-1网络结构，通过前向传播得到试验函数，将PDE代数化；其二，系数确定法，将试验函数代入mBBM方程，令不同幂次系数为零，求解代数方程组得到参数集；其三，LM-ANN训练，从解析解生成400个数据点，随机分割为75%训练、15%验证和10%测试，使用Levenberg–Marquardt算法训练网络，以均方误差评估性能；其四，Hamiltonian稳定性分析，构造动量泛函并检验其对波速参数的导数符号来判断解的稳定性。本研究所用数据为根据解析解生成的仿真数据，不涉及样本队列。
研究结果按照原文结构分述如下：
**2. Description of the Applied Sub-Equation Framework**
该节阐述了子方程框架的描述。研究人员假设方程具有行波变换形式，构造了神经网络模型的结构，网络输出作为试验函数，权重连接最后一层隐藏层与输出层，激活函数和偏置项定义于各层。RSENN的核心思想是：使用Riccati子方程解选择第一隐藏层的激活函数；这些基于激活的试验函数将PDE转换为代数形式。给出了Riccati子方程在不同参数条件下的三族解，并总结了六步主要步骤：选择Riccati方程、构建RSENN模型、前向传播获得试验函数、代入PDE得到代数方程、令系数为零求解、回代得到显式解。
**3. Areas of Application**
该节将2-2-2-1 RSENN框架应用于mBBM方程。网络结构包含输入层、两个隐藏层和输出层，每层两个神经元，第一隐藏层使用Riccati激活函数，第二隐藏层使用恒等和平方函数。通过简化参数，得到试验函数表达式。将其代入mBBM方程后，得到两组系数集合（Set 1和Set 2）。对应于每组系数，根据参数取值范围得到Type 1、Type 2和Family 3三族孤子解。
**4. Interpretation of Solution**
该节通过三维、二维和等高线图分析了解$u_1,u_2,u_3,u_4$的图形特征。在特定参数下，$u_1$呈现kink型孤子，以正波速传播；$u_2$为另一种kink孤子；$u_3$为anti-kink孤子；$u_4$为周期孤子。这些孤子分别对应不同物理应用。第二阶段，研究人员为每个变量$x$和$t$在指定域内生成400个数据点，构建数据集并导入MATLAB R2018实现LM-ANN模型。数据被随机分为75%训练、15%验证和10%测试，以提升准确性、稳定性和泛化能力。LM-ANN训练基于已知解析解，误差和回归结果显示了精确捕获解析孤子形状的能力。但研究人员指出，这些结果不能视为Lyapunov、谱或轨道意义上的数学稳定性，仅用于评估预测精度和数值鲁棒性。
**5. Stability Analysis of the Solution**
该节采用Hamiltonian方法结合神经网络方法分析稳定性。动量泛函表示为式(30)，对解集1和2分别给出稳定性条件。将具体解代入并积分后，对速度参数求导，得到正值，因此满足$u_1$的稳定性判据，解是稳定的。其余解同理验证。
**6. Conclusions**
讨论部分总结了孤子解的物理形态和稳定性意义：kink孤子平滑过渡两个稳定态，用于光学开关和磁畴壁；anti-kink描述反向过渡，用于信号反转和畴壁动力学；周期孤子用于光通信等。LM-ANN的数值结果表明网络能够准确再现解析孤子形状，且在不同噪声下表现鲁棒。稳定性分析进一步确认了解在Hamiltonian意义下的稳定性。
研究结论翻译如下：神经网络框架已成为求解PDE的有力工具，尽管它们通常依赖数值近似。混合方法现在将神经学习与符号计算相结合，实现了更高精度的精确解析解。子方程神经网络方法通过将分析技术与神经网络相结合，计算mBBM方程的解析解，能够克服传统解析方法的局限性。NLPDE最初被转换以供分析技术使用；所提出技术的结果被添加到神经网络模型的第一隐藏层，该模型使用前向传播构造试验函数。试验函数用于将各项系数设为零，通过求解这些代数方程获得系数。使用三维、二维和等高线图讨论了结果，得到kink、anti-kink和周期孤子。通过将Levenberg-Marquardt人工神经网络的输出与精确解析解进行比较，评估了其准确性和预测能力。这些方法有潜力为不同的NLPDE提供新的视角和理解，未来可能有助于推动多个科学领域的发展。通过使用这些方法，研究人员可以更好地理解非线性系统和现象的行为。
