一种Schur一致的GPU CPRW–AMG预条件子用于强耦合全隐式多相流模拟

《Computation》：A Schur-Consistent GPU CPRW–AMG Preconditioner for Well-Coupled Fully Implicit Multiphase Flow Simulation

　　

多孔介质中多相流的全隐式模拟需要重复求解大型、稀疏、非对称的Jacobian系统，其中线性求解器和预条件子往往主导计算成本。在现场规模模型中，当存在强井控和井-储层耦合时，井底压力（BHP）约束可能引入缓慢收敛的压力相关误差模式，而这些模式无法仅由纯压力的约束压力残差（CPR）预条件充分表示。本文针对Open Porous Media（OPM）Flow模拟器，开发了一种Schur一致的图形处理单元（GPU）实现，即带井约束压力残差与代数多重网格（CPRW-AMG）方法。该方法在压力粗空间中为每口活跃井增加一个辅助BHP未知量，同时保持仅含储层变量的细层Krylov系统。压力–BHP粗算子由Krylov矩阵-向量乘积和GPU对角不完全下-上（DILU）光滑器所使用的同一组装的等效储层Jacobian构造，从而避免细层与粗层之间对井贡献处理的不一致。一种GPU驻留稀疏更新策略刷新与井相关的粗层条目，并使用NVIDIA AMGX库执行标量粗层求解。在SPE9、SPE10、Sleipner和Norne上的基准测试覆盖了小规模强井耦合、强非均质二氧化碳封存以及现场真实储层模型。与CPU CPRW-AMG相比，GPU实现将总运行时间缩短了1.69–8.78倍，并实现了最高达17.96倍的线性求解加速。与GPU CPR-AMG相比，性能优势因案例而异，这表明当井诱导的慢收敛误差模式的减少足以补偿额外粗层成本时，CPRW-AMG最为有效。

**论文解读：Schur一致的GPU CPRW–AMG预条件子用于强耦合全隐式多相流模拟**

**1. 研究背景与问题**

多相流在多孔介质中的流动广泛存在于石油储层开发、地质CO₂封存、地热开采和地下水管理等地下能源与环境应用中。全隐式方法（FIM）因在每个时间步同时更新所有主变量，能够提供较强的非线性鲁棒性并允许较大时间步长，因而被广泛采用。然而，全隐式离散后形成的Jacobian系统规模大、稀疏、分块结构化且通常非对称，其线性求解阶段往往占据现场规模模型总模拟时间的很大比例。强渗透率对比、网格各向异性、非线性相行为、重力与毛管效应以及强井-储层耦合，使压力相关误差包含不同空间尺度的分量。约束压力残差（CPR）族预条件方法通过将全局压力校正与局部平滑相结合，成为储层模拟Jacobian系统的标准求解策略。但传统CPR-AMG的第一阶段粗空间仅包含储层压力未知量，在强井控模型中，井底压力（BHP）变量和井控方程直接参与全局压力通信，单口井可连接多个相距很远的储层网格，仅压力的粗空间可能无法充分表示与BHP方程、多射孔耦合和主动井约束相关的缓慢收敛误差分量。已有研究提出带井约束压力残差（CPRW）方法，通过为每口活跃井增加一个BHP自由度来扩展压力修正，但其在GPU上的实现缺乏系统性表征，尤其是代数一致性、稀疏井条目更新以及收敛改善与粗层成本增加之间的平衡问题尚待解决。为此，研究人员开发了一种Schur一致的GPU CPRW-AMG预条件子，并集成到OPM Flow模拟器的Gpu-ISTL求解路径中。

**2. 研究方法与关键技术**

研究人员提出的方法主要有三个核心组件：第一，构造Schur一致的压力–BHP粗算子，该算子与Krylov求解器和GPU DILU光滑器所使用的同一组装的等效储层Jacobian保持一致，确保粗层修正作用于与细层迭代相同的线性化系统。第二，实现GPU驻留的稀疏更新策略，预分配基于调度范围的结构包络，在非线性迭代和井控变化时仅刷新与活跃井相关的数值条目，避免符号稀疏模式重构。第三，将得到的压力–BHP AMG修正集成到GPU CPR两阶段预条件框架中，仅将粗修正中的储层压力分量传回细层系统。粗层求解使用NVIDIA AMGX库。四个基准模型分别来自OPM数据仓库：SPE9（小规模强井耦合黑油模型）、SPE10（强非均质模型）、Sleipner（约两百万网格的CO₂封存模型，一口注入井两个射孔）和Norne（现场真实油藏模型，含36口井、断层、非相邻连接和时变井活动）。GPU实验使用单张NVIDIA GeForce RTX 4090，CPU实验使用双路Intel Xeon Gold 6230R工作站，所有报告计时均包含主机-设备传输和同步。

**3. 研究结果**

**3.1 SPE9：小规模强井耦合多相基准。** 在该案例中，局部光滑器（ILU(0)和DILU）虽然运行时间低，但需要超过1500次Krylov迭代；所有CPR类方法将迭代数降低一个数量级以上。GPU CPR-addWell-AMG通过保留完整投影井Schur贡献取得最低Krylov迭代数（109），GPU CPRW-AMG略高（116），但因其避免显式形成完整井Schur压力贡献，设置成本更低，最终以8.49秒的总运行时间成为三种CPR变体中最低者。与CPU CPRW-AMG相比，GPU实现总运行时间从14.32秒降至8.49秒，加速1.69倍；线性求解时间从9.35秒降至3.55秒，加速2.63倍。

**3.2 SPE10：强非均质基准。** 局部光滑器在该模型上需要超过四百万次Krylov迭代和超过27000次Newton迭代，而CPR类方法可将Krylov迭代数降至200以下。在CPU平台上，CPR-addWell-AMG将Krylov迭代数从1132降至575，CPRW-AMG降至633，且CPRW-AMG以更低设置成本获得与CPR-addWell-AMG相近的总运行时间（3757.82秒对3715.85秒）。在GPU上，CPR-addWell-AMG取得最低Krylov迭代数（151），CPRW-AMG为165，但CPRW-AMG的粗层设置成本（81.78秒）低于CPR-addWell-AMG（92.35秒），从而使总运行时间更低（427.78秒对435.14秒）。与GPU CPR-AMG相比，CPRW-AMG未进一步降低Krylov迭代数（165对160），且因额外BHP行、列和井相关更新导致总运行时间略高（427.78秒对409.62秒），说明GPU CPR-AMG基线在此案例中已提供高效压力修正。

**3.3 Sleipner：有限井耦合的CO₂封存模型。** 该案例规模大、浮力驱动CO₂运移、远距离压力沟通，但井系统仅含一口注入井和两个射孔。GPU CPRW-AMG相比CPU CPRW-AMG总运行时间从31877.99秒降至3843.22秒，加速8.29倍；线性求解时间从10464.49秒降至789.81秒，加速13.25倍。与GPU CPR-AMG相比，Krylov迭代数几乎相同（194对192），但额外BHP粗变量使设置成本从529.99秒增至621.68秒，总运行时间略高（3843.22秒对3533.14秒），表明井诱导低频误差模式不是该案例的主要数值难点。

**3.4 Norne：现场真实强耦合模型。** 该模型包含44,431个活跃网格、36口井、时变井活动和复杂结构。局部光滑器需要超过27000次Krylov迭代，而CPR类方法将Krylov数降至数百。CPU上，CPR-addWell-AMG将Krylov迭代数从2273降至1360，CPRW-AMG降至1417，两者收敛行为相近；CPRW-AMG总运行时间（543.88秒）略低于CPR-addWell-AMG（545.23秒）。GPU CPRW-AMG将线性求解时间从394.24秒降至55.38秒（加速7.12倍），总运行时间从543.88秒降至187.62秒（加速2.90倍）。在GPU三种CPR变体中，CPR-addWell-AMG取得最低Krylov迭代数（394），但CPRW-AMG以稍多迭代（410）和更低粗系统复杂度取得最低总运行时间（187.62秒对188.45秒），成为CPRW-AMG最有利的场景。

**4. 讨论与结论**

讨论部分指出，CPR类方法的有效性依赖于全局压力误差与局部输运误差的分离。局部光滑器在SPE10和Sleipner上的较差表现证明，仅靠局部平滑无法有效去除强非均质和大规模压力沟通产生的长程压力分量。BHP型粗变量的收益同时取决于井-储层耦合强度和基线CPR-AMG在目标平台上的效率。CPRW-AMG在CPU上能降低强耦合案例（SPE10、Norne）的Krylov迭代数，但在GPU上若纯压力CPR-AMG已提供有效粗修正，额外压力–BHP粗系统可能无法回收其构建和更新成本。因此，选择CPRW-AMG不应仅依据井数，而应关注井密度、井连接密度、井是否引入长程压力耦合、BHP或速率约束强度、井控变化频率等结构指标。实用决策可通过短的代表性试运行，依据非设置线性求解节省量能否补偿新增粗层设置/更新成本来判断。

研究结论翻译如下：本工作为多孔介质中全隐式强耦合多相流模拟开发了一种Schur一致的GPU CPRW-AMG预条件子。该方法通过为活跃井引入辅助BHP型粗变量扩展了传统纯压力CPR粗空间，在保留组装井公式所用仅含储层的细层Krylov系统的同时，向第一阶段AMG修正补充井压力信息。该实现将压力–BHP粗修正集成到OPM Flow的Gpu-ISTL求解路径中，Krylov矩阵-向量乘积、GPU DILU光滑器和CPRW粗算子均由同一等效强耦合线性系统一致构造，使AMG阶段能够考虑井诱导压力模式而不显式扩大细层线性系统。在SPE9、SPE10、Sleipner和Norne上的数值实验表明，GPU CPRW-AMG相比CPU CPRW-AMG在四个基准模型上分别将总模拟时间缩短1.69、8.78、8.29和2.90倍，对应线性求解加速2.63、17.96、13.25和7.12倍。与CPR-AMG和CPR-addWell-AMG的比较表明，CPRW-AMG的收益取决于井-储层耦合特征；CPR-addWell-AMG通常通过保留完整投影井Schur贡献获得更强收敛，而CPRW-AMG在井感知压力修正能力与粗系统复杂度之间取得平衡。压力–BHP粗空间对强井诱导压力模式显著的模型尤为有益，而当储层尺度压力行为主导数值难点时，其额外设置成本可能无法被充分补偿。所报告的CPRW与CPR盈亏平衡点和加速因子特定于测试硬件、主机-设备执行平衡、AMGX配置和层级更新策略，应视为当前OPM Flow 2025.10单GPU配置的端到端测量结果，而非CPRW-AMG的硬件无关属性。未来工作将集中于降低粗算子构建和更新成本、提高非线性迭代期间AMG层级复用、减少与井相关的主机-设备通信，并进一步将非线性残差评估、Jacobian组装和井模型操作迁移至GPU，以实现更完整的GPU驻留模拟流程。