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本文提出了一种无预解算子且无投影的迭代算法，用于求解单调包含问题。该方法采用双惯性外推策略，即利用两个不同的惯性步骤构造两个外推点，并结合一种新的自适应步长规则来选取算法中的惯性参数。这一组合提供了一种有效策略，能够在无需度量投影和算子预解的情况下融合两个外推
本文提出了一种无预解算子且无投影的迭代算法，用于求解单调包含问题。该方法采用双惯性外推策略，即利用两个不同的惯性步骤构造两个外推点，并结合一种新的自适应步长规则来选取算法中的惯性参数。这一组合提供了一种有效策略，能够在无需度量投影和算子预解的情况下融合两个外推方向的信息。在适当假设下，研究人员建立了所提序列强收敛于单调包含问题解的收敛性结果。该收敛结果进一步应用于极小极大问题和临界点问题。此外，本文在有限维和无限维空间中进行了数值实验，将所提方法与现有的一些无预解算子和惯性格式进行比较。数值结果表明，所提方法在迭代次数方面收敛更快，并在所考虑的图像恢复问题中获得更高的信噪比和更低的均方误差，从而提升了重构性能。进一步地，图像重建和压缩感知的应用验证了所提方法的实际有效性。
**论文解读：无预解包含问题的双惯性外推算法及其应用**
单调包含问题在优化、变分不等式、不动点理论等领域具有基础地位，并广泛出现在机器学习、工程、生物、航空航天等实际问题中。经典求解方法如近端点算法（PrPA）依赖于算子的预解，而许多投影类方法则依赖度量投影。然而，每一步求解预解或投影通常需要计算成本较高的子问题，限制了算法在大规模问题中的效率。近年来，一些无预解、无投影的惯性算法被提出，以降低每步计算成本并加速收敛。然而，Tang和Gibali的算法仅使用单一惯性外推点，信息利用有限；Uzor和Mewomo的黄金比例方法虽改进外推结构，但步长参数选择仍不够灵活。针对这些局限性，研究人员提出了一种结合双惯性外推策略与自适应惯性参数的无预解、无投影算法，旨在进一步提升收敛速度和重构质量。该成果发表在《Computation》。
研究人员提出的算法（Algorithm 4）在每次迭代中构造两个不同的惯性外推点，随后在这两个点处评估算子，从而同时利用两个外推方向的信息。同时引入了一个新的自适应步长规则，该规则根据当前迭代信息和算法参数动态选择惯性参数，而非使用固定值。在假设算子为连续、λ-逆强单调且极大单调的条件下，研究人员利用Opial引理、Eberlein–Shmulyan定理等工具建立了序列的强收敛性。该一般性结论被应用于两类问题：一类是极小极大问题（即鞍点问题），通过将双线性形式的梯度算子视为满足逆强单调条件的单调算子，直接应用主定理得到强收敛；另一类是临界点问题，针对具有凸与局部Lipschitz结构的功能函数，将其广义次微分算子转化为满足条件的单值算子后，同样得到强收敛序列。数值实验分别在有限维空间（对角矩阵单调算子）和无限维空间（序列空间l2上的移位算子）中进行，并与已有无预解算法（Algorithm 1、2、3）进行了比较。结果表明，所提算法在多种参数设置下均能用更少迭代达到停止准则，表现出更优的收敛行为。此外，算法被应用于图像恢复任务，在彩色图像和灰度图像的模糊噪声模型中，该算法获得最高的信噪比（SNR），重建视觉质量更好。在压缩感知的LASSO问题中，算法从少量测量中恢复稀疏信号，获得了更低的均方误差（MSE）和更高的SNR，验证了其实际有效性。
主要关键技术方法包括：第一，双惯性外推策略——在每次迭代中分别使用两个不同的惯性参数生成两个外推点，并在这两个点处评估算子，以更充分地利用历史信息；第二，自适应步长规则——根据当前迭代差值动态调整惯性参数，避免了手动调节固定参数；第三，强收敛性证明框架——利用Opial引理和度量投影的特征性质，针对递减与非递减两种序列情形分别分析，最终得到强收敛结论；第四，应用建模——将极小极大问题、临界点问题、图像恢复和LASSO问题分别转化为满足主定理条件的单调包含问题，从而套用统一框架。实验数据均为合成数据，无真实队列样本。
在收敛性分析部分，研究人员证明了算法在假设条件（A1）–（A3）下生成的序列强收敛于单调包含问题的某个解。证明首先建立序列的有界性，然后通过不等式递推得到误差序列的单调性，并分两种情况讨论：当误差序列为递减序列时，利用逆强单调性和Eberlein–Shmulyan定理证明所有弱极限点均为解，再结合Opial性质得到强收敛；当误差序列非递减时，采用辅助序列技术处理，最终仍然得到强收敛结论。在极小极大问题应用部分，研究人员将鞍点求解转化为包含问题，在算子为λ-逆强单调的假设下，直接应用主定理证明了Algorithm 5生成的序列强收敛到鞍点。在临界点问题应用部分，研究人员针对形式为P(φ)=Φ(φ)+Ψ(φ)的功能函数，在广义次微分算子和单值化条件满足时，证明了Algorithm 6生成的序列强收敛到P的临界点。数值实验部分设置了多个随机初值和不同参数组合，结果表明Algorithm 4在有限维和无限维情形下均能以更少迭代达到误差容忍度。图像恢复实验采用标准测试图像，经模糊和噪声污染后由算法重建，Algorithm 4恢复图像的SNR值在全部测试图像上均高于对比算法。LASSO实验设置m=... , n=... 的稀疏信号恢复场景，Algorithm 4同样取得最低MSE和最高SNR。
讨论部分指出，双惯性外推和自适应步长的结合有效提升了算法对历史信息的利用效率，同时避免了预解和投影的计算负担。数值结果显示，在某些测试情形下算法能达到与其他方法相同的SNR值，说明重构质量相当，但在整体收敛速度和重构精度上具有竞争力。结论部分总结道：本文提出了一种不使用度量投影或预解算子的算法，通过自适应步长和双惯性技术提高了收敛速率，同时保持简单的计算结构。研究人员建立了所提序列的强收敛性，并将主结果应用于求解极小极大问题和临界点问题。有限维和无限维数值实验展示了算法的可靠性和高效性，图像恢复和压缩感知应用表明该算法不仅重构质量高，而且与现有方法相比具有实际优势。
