若干类与泊松-沙利耶多项式相关的双星形和双凸函数

《Axioms》：Some Classes of Bi-Starlike and Bi-Convex Functions Associated with the Poisson-Charlier Polynomials

　　

受离散正交多项式与几何函数理论之间相互作用的启发，研究人员引入并研究了一些由泊松-沙利耶多项式（Poisson-Charlier polynomials）通过其解析生成函数?_a(x,z)=(1+z)^xe^-az（|z|<1）生成的双单叶函数（bi-univalent functions）的Ma-Minda型子类。在解析且双单叶函数的经典类??中，研究人员首先通过涉及?_a(x,·)的从属关系（subordination relations），为函数f及其逆f^-1定义了泊松-沙利耶生成的双星形族（bi-starlike families）和双凸族（bi-convex families）。通过将卡拉西奥多里表示（Carathéodory representation）与?_a(x,z)的级数展开以及f^-1的拉格朗日反演公式（Lagrange inversion formula）相结合，研究人员推导了星形类????^*(?(a,x))和凸类????(?(a,x))中函数的初始泰勒-麦克劳林系数a₂和a₃的系数估计。此外，研究人员还在这两种情形下获得了形式为|a₃-??a₂²|的相应Fekete-Szeg?型不等式，其中??为实参数，这些不等式用泊松-沙利耶框架的参数a和x显式表示。据研究人员所知，这些泊松-沙利耶生成的双星形和双凸类此前未被研究过，因此所得的系数和Fekete-Szeg?估计构成了一项独特的贡献，而不是先前研究的Ma-Minda族的直接特例。

离散正交多项式与几何函数理论之间的相互联系是复分析中的一个活跃研究领域。在几何函数理论中，双单叶函数（bi-univalent functions）的研究近年来受到广泛关注，这类函数及其逆函数均满足单叶性条件，其系数估计与Fekete-Szeg?不等式是核心问题之一。然而，已有研究多采用经典多项式或已知函数类作为生成工具，尚未有工作将泊松-沙利耶多项式（Poisson-Charlier polynomials）用于构造双单叶函数的子类。这一空白促使研究人员开展本研究：论文发表于《Axioms》，旨在利用泊松-沙利耶多项式的解析生成函数，引入并研究若干新的Ma-Minda型双单叶函数子类，具体定义为双星形族和双凸族，并推导其初始系数估计与Fekete-Szeg?型不等式。

研究人员在解析且双单叶函数的经典类??中，利用泊松-沙利耶多项式的解析生成函数?_a(x,z)=(1+z)^xe^-az（|z|<1），通过从属关系分别定义了函数f及其逆f^-1满足条件的双星形族????^*(?(a,x))和双凸族????(?(a,x))。进一步，结合卡拉西奥多里表示（Carathéodory representation）、生成函数的级数展开以及拉格朗日反演公式（Lagrange inversion formula），研究人员推导了这些函数类中初始泰勒-麦克劳林系数a₂和a₃的系数估计，并获得了相应的Fekete-Szeg?型不等式。所得结果以泊松-沙利耶框架的参数a和x显式表达。

主要关键技术方法包括：第一，采用泊松-沙利耶多项式的解析生成函数?_a(x,z)作为从属关系的核函数，构造新的双星形和双凸函数族；第二，应用卡拉西奥多里表示处理从属关系中出现的正实部函数，从而建立系数之间的约束关系；第三，利用生成函数的级数展开获得系数的显式表达式；第四，使用拉格朗日反演公式计算逆函数f^-1的系数。这些方法将离散正交多项式与经典几何函数理论的工具相结合，使得推导初始系数估计和Fekete-Szeg?不等式成为可能。

研究结果分为两个主要方面。其一，系数估计。研究人员通过上述方法，在星形类????^*(?(a,x))和凸类????(?(a,x))中，推导了函数初始泰勒-麦克劳林系数a₂和a₃的显式系数估计。这些估计以泊松-沙利耶参数a和x的形式给出，反映了该类函数在局部范围内的增长行为。其二，Fekete-Szeg?不等式。对于实参数??，研究人员在两种函数类中分别获得了形式为|a₃-??a₂²|的Fekete-Szeg?型不等式，并给出了其关于a和x的显式表达。该不等式刻画了系数a₂与a₃之间的非线性关系，是几何函数理论中衡量函数类几何性质的重要工具。这些结果在已有文献中未见报道，因此构成了对Ma-Minda类型双单叶函数理论的新贡献。

讨论部分指出，所获得的系数估计和Fekete-Szeg?不等式与泊松-沙利耶多项式的参数a和x有密切联系，并且所研究的类不是先前研究的Ma-Minda族的直接特例，而是一类新的函数类。研究结论为：通过泊松-沙利耶生成函数定义的双星形族????^*(?(a,x))和双凸族????(?(a,x))，其初始系数a₂、a₃以及Fekete-Szeg?不等式均可显式地用参数a和x表达；这些结果具有明确的原创性，拓展了利用离散正交多项式构造双单叶函数子类的研究途径。