《AppliedMath》：Solution Approximation of Equilibrium Fixed Point Problem and Applications
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在这项工作中，研究人员证明了在Hilbert空间中与非扩张映射相关联的平衡不动点问题（EFPP）的惯性迭代格式的强收敛性。进行了数值模拟以检验所提出方法的性能。结果表明，与现有的可比迭代格式相比，所提出的惯性方法实现了更快的收敛。研究人员还研究了不同初始值选择
在这项工作中，研究人员证明了在Hilbert空间中与非扩张映射相关联的平衡不动点问题（EFPP）的惯性迭代格式的强收敛性。进行了数值模拟以检验所提出方法的性能。结果表明，与现有的可比迭代格式相比，所提出的惯性方法实现了更快的收敛。研究人员还研究了不同初始值选择如何影响算法的收敛行为，并通过图形说明将这些效应与经典迭代格式中观察到的效应进行比较。在应用方面，研究人员使用该方法解决了信号处理问题。还将其应用于描述传染病传播的数学模型，这说明了其与现实世界动力系统的相关性。最后，研究表明所提出的方法可应用于求解约束优化、变分不等式（VIP）和分裂可行性问题（SFP），这突显了其灵活性和广泛的适用性。
本论文针对非线性科学、经济学与工程领域中的大量数学模型，系统研究了平衡不动点问题（EFPP）的数值求解方法。许多实际问题可转化为非线性Volterra积分方程或算子方程，而获取精确解往往极为困难。固定点理论为求解此类问题提供了统一框架，尤其非扩张映射因其不动点存在性依赖于空间几何结构而非紧性，在优化、压缩感知、变分不等式、图像恢复等领域有广泛应用。然而，现有迭代方法如Mann、Ishikawa、Noor、Agarwal、Abbas、Thakur、M-迭代以及AA-迭代等多只弱收敛，且只能分别逼近平衡问题（EP）或固定点问题（FPP）。为此，研究人员提出了一种惯性黏性迭代格式，将惯性外推步骤与黏性逼近机制结合，在Hilbert空间中同时逼近EP和FPP的解，并建立强收敛定理。
研究人员首先在Hilbert空间框架下，对满足一定条件的双函数和满足非扩张性质的映射，构建了如下迭代格式：先通过惯性步骤计算辅助点，再求解一个平衡子问题得到中间量，最后结合收缩映射的黏性作用更新迭代序列。在适当的参数假设下，利用demiclosedness原理、不动点性质以及若干收敛引理，严格证明了所生成序列强收敛到EFPP的解。该框架通过特殊参数选取可退化为多种已有迭代格式，因此具有较强的一般性。数值实验进一步验证了所提算法在收敛速度上显著优于若干经典格式，并考察了初始值对收敛行为的影响；应用层面则展示了该方法在信号恢复、病毒传播模型、约束优化、变分不等式及分裂可行性问题中的可行性。
研究人员在论文中主要采用了以下关键技术方法：基于惯性外推的加速迭代框架；黏性逼近机制以获取强收敛性；利用平衡问题辅助映射将平衡约束转化为固定点问题；借助Hilbert空间中非扩张映射的demiclosedness原理、度量投影以及几乎收缩引理来建立收敛性证明；数值模拟中使用MATLAB R2018a进行算法对比；在信号处理应用中引入移动平均滤波构造非线性算子；在病毒传播模型中利用Banach空间中非扩张算子的不动点存在性；在优化和变分不等式问题中利用梯度算子的Lipschitz连续性及逆强单调性；在分裂可行性问题中通过平均算子与投影的复合来构造非扩张算子。所有模拟均在标准计算环境下进行，样本来自合成信号与随机噪声。
在“2. Main Results”部分，研究人员在Assumption 1条件下定义了辅助映射U，证明了U是单值且坚定非扩张的，其不动点集恰为EP的解集。进而通过多个引理（Lemma 7、8、9）分别证明了迭代序列的有界性、满足的关键不等式以及强收敛性。最终Theorem 1指出，若给定映射满足相应条件，则由格式(10)生成的序列强收敛到EFPP的唯一解。该部分通过严格的数学推导，建立了所提惯性黏性方法的理论保证。
在“3. Numerical Computations”部分，研究人员通过三个数值例子检验算法性能。Example 1在三种参数情形下比较了所提算法与已有固定点迭代的收敛行为，结果表明所提格式收敛更快。Example 2针对一个具有明确不动点的非扩张映射进行测试，数值结果验证了算法在非扩张情形下的有效性。Example 3考察了不同初始猜测对收敛行为的影响，结果显示所提算法在不同初始值下均表现稳定。这些数值实验证实了惯性机制对加速收敛的积极作用，并揭示了参数和初始值选择对算法行为的影响。
在“4. Applications”部分，论文展示了所提方法在多个实际问题中的应用。4.1节信号处理中，研究人员利用含噪声的观测信号构造非扩张映射S，通过迭代恢复原始信号，并与Thakur、M-迭代、AA-迭代对比，所提算法在逼近误差和信噪比方面均优于对比方法。4.2节病毒传播模型中，研究人员将具有周期感染率的非线性积分方程转化为非扩张算子的不动点问题，证明了所提迭代可逼近其解。4.3节约束优化问题中，通过选取合适的步长参数，所提迭代可用于求解凸函数的最小化问题，并收敛到可行集内的极小点。4.4节变分不等式问题中，利用VIP与固定点问题的等价性，在算子满足Lipschitz连续和强单调条件下，给出了收敛性结果。4.5节分裂可行性问题中，通过将问题等价转化为不动点方程，并利用平均算子与投影的复合，证明了所提方法可收敛到SFP的解。上述应用表明该算法具有广泛的适用性和灵活性。
在讨论部分，研究人员指出所提算法因引入惯性和黏性项，每步迭代需额外计算，但数值实验显示其误差下降速率明显更快，迭代级比较已能反映收敛优势；与硬件相关的运行时间、内存消耗等实现细节未在本文考察，留待未来研究。最后，结论部分可翻译为：本研究开发了一种惯性黏性型迭代格式，用于逼近与非扩张映射相关联的平衡不动点问题的解。在适当假设下，建立了所提方法的强收敛性。数值实验表明，惯性机制可改善收敛行为，并优于若干现有迭代格式。结果还突出了初始猜测和参数选择对收敛行为的影响，验证了所提方法在不同测试案例中的效率。所提方法进一步被应用于信号重建、病毒传播建模、约束优化和分裂可行性问题，展示了其对多类非线性问题的适用性。
