面向帆形双曲板回弹预测的物理启发的几何一致性深度学习模型

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Physics-inspired geometric consistency deep learning model for springback prediction of sail-shaped doubly curved sheets

　　

摘要：针对海洋双曲面板材回弹准确预测的挑战，本研究通过将物理启发几何一致性复合目标损失函数（PGC-CL）集成到条件生成对抗网络中，开发了一种物理启发几何一致性条件生成对抗网络（PGC-cGAN）。开展了有限元（FE）模拟和物理冲压试验，为模型训练和验证提供高保真、可靠的数据。对比分析表明，所提出的模型实现了显著的性能提升：与仅使用交叉熵（CE）和均方误差（MSE）的模型相比，所提出模型的绝对误差均值（MAE）降低了28.89%，决定系数（R2）提高了1.63%。该模型表现出显著优势和强大适应性，从而为双曲面钣金高精度成形工艺提供了技术支持。

引言：双曲面板材成形中的回弹长期以来制约着高端制造行业的精密控制和生产效率。由于双曲面板材固有的复杂双向曲率和非线性应力演化，卸载后会出现显著回弹，导致偏离预期的几何设计（Paul et al., 2025）。这种偏差不仅损害装配精度和结构性能，还需要反复修改模具和试制周期，增加材料浪费和制造成本。随着造船、航空航天和轻量化汽车制造等行业对几何公差的要求日益严格，传统的迭代有限元补偿方法变得力不从心（Zhao et al., 2026）。因此，开发一种能够同时确保数值精度和结构一致性的智能回弹预测框架，已成为推进双曲面板材成形工艺的关键技术挑战。

研究人员对钣金回弹预测进行了广泛的理论研究。Yoshida（Yoshida and Uemori, 2002）提出了一种本构模型，该模型具有描述大应变循环塑性变形行为以及大预应变后小规模再屈服时应力-应变响应的高能力。Zajkani（Zajkani and Hajbarati, 2017）提出了一种解析模型来预测DP780双相钢板在U形弯曲过程中的回弹。该模型基于Hill 48屈服准则和平面应变条件，考虑了成形历史、板材减薄和中性面运动对U形弯曲回弹的影响。Kim（Kim et al., 2011）通过实验研究了汽车摩擦搅拌焊接TWB（变截面焊Blank）板材的回弹行为，并数值验证了本构定律的回弹预测能力。Xue（Xue et al., 2001）基于回转壳膜的理论和能量法，提出了一种力学模型和相应的解析流程来预测圆板和方板在双曲率成形操作后的回弹。Matsugi（Matsugi and Hino, 2025）提出回弹由两个部分组成：卸载时的瞬时弹性恢复和卸载后的时依老化回弹。统一的本构模型可以定性捕捉老化回弹的时间演化趋势，便于研究其演化规律和影响机制。然而，大多数理论推导基于理想弹塑性假设，忽略了应变硬化和各向异性等实际材料特性，这种简化往往导致理论预测与实际工程行为之间存在差异。此外，现有理论研究通常局限于固定模具冲压场景，限制了其在可重构模具成形和增量成形等新兴成形工艺中的适用性。此外，缺乏系统的实验验证也引发对这些解析公式实际可靠性和预测准确性的担忧。

随着计算技术的快速发展和数值模拟工具的广泛应用，有限元方法在回弹预测中日益普及。与纯理论分析和经验实验相比，有限元模拟提供了更高的精度和灵活性，并逐渐成为工程实践中的主导方法。Xu（Xu et al., 2019）利用有限元模拟研究了复杂双曲面船体板料的冷成形行为，并进一步提出了一种逐步逼近方法来缓解回弹，从而提高成形表面的尺寸精度。Socrate（Socrate and Boyce, 2001）开发了一个基于有限元的程序来预测双曲面板材的回弹，该程序能够适应可重构工具几何形状和拉伸成形加载条件，有助于确定钣金成形设备可重构模具的最优形状。He（He et al., 2022）开发了一种考虑非线性应变硬化的塑性模型来研究典型相交加强面板的回弹行为，相关的回弹预测数值算法实现了小于2毫米的成形轮廓误差。Abdullah（Abdullah and Jalil, 2025）提出了一种将高级有限元建模与机器学习相结合的混合方法来准确预测和优化金属成形中的回弹过程。尽管数值模拟已被广泛地应用于回弹预测，但它通常需要大量的计算资源，尤其是在处理几何形状复杂的部件时。随着人工智能的快速发展，机器学习凭借其强大的非线性映射能力和高效推理性能，成为一种有前途的替代方案。然而，传统的数据驱动模型主要专注于最小化数值误差，往往忽视了物理一致性的强制约束，而物理一致性对于生成具有机械合理性且结构可靠的回弹预测至关重要。

通过结合计算效率和增强的结构感知能力，机器学习方法有望缓解传统数值方法的局限性，从而促进其在钣金回弹预测中的更广泛应用。Trzepiecinski（Trzepiecinski and Lemu, 2019）使用人工神经网络（ANN）开发了一种回弹预测模型，并使用自由弯曲试验获得的实验回弹数据进行训练和验证。Guan（Guan et al., 2022）研究了V形自由弯曲，通过结合遗传算法（GA）和反向传播（BP）神经网络开发了一种回弹预测模型。Zhang（Zhang et al., 2023）提出了一种两阶段"GAN + SVR"范式来解决金属管弯曲中回弹角的小样本预测挑战，该方法同时提高了预测精度和泛化能力，便于直接应用于工艺参数优化和批量成形。Link（Link et al., 2022）提出了一种基于cGAN的元模型用于深冲压成形，该模型直接从有限元分析（FEA）模拟数据中学习输入-输出映射，无需人工特征提取。得益于对抗学习，cGAN比传统机器学习模型具有更强的非线性拟合能力和更高的预测精度。Jiang（Jiang et al., 2021）提出了一种cGAN模型来预测板材几何形状、加载条件和边界条件对钣金二维应力场的影响，结果表明所开发的cGAN模型比卷积神经网络（CNN）模型能更准确地预测应力分布。Oh（Oh et al., 2021）基于有限元模拟数据提出了一种有监督cGAN神经网络来预测甲板安装阶段的平面外变形，并进一步预测了不同常用安装位置面板表面的变形量级。Yi（Yi et al., 2023, 2024; Yi and Chen, 2023）展示了cGAN在变形场预测中的有效性，类似于回弹场景。尽管已有多种神经网络模型和算法被应用于钣金变形预测，但双曲面板材回弹的鲁棒性和可泛化性预测仍然是一个开放性挑战。目前仍然缺乏一种能够同时实现高数值精度和几何一致性而不需要显式嵌入固体力学控制方程的智能回弹预测框架。为了解决这一研究空白，本研究提出了一种物理启发几何一致性条件生成对抗网络（PGC-cGAN）框架。通过将物理启发几何一致性损失集成到对抗学习过程中，所提出的模型在保持竞争性数值预测精度的同时增强了预测表面的结构保真度。最近的研究表明，集成机器学习框架在建模复杂、非线性和高维动态系统方面是有效的。Olola（Olola and Olatunde, 2025）、Kumari（Kumari, 2025）和Mokhtaria Bekkaoui（Bekkaoui et al., 2026）表明，结合集成学习、深度神经网络、序列模型、异常检测和迁移学习可以显著增强金融、供应链优化和医学影像等领域的表示能力和预测性能。

受这些非线性系统建模和表示学习进展的启发，本研究将类似的深度学习原理迁移到双曲面板材回弹预测中，并引入物理一致的正则化以提高结构连贯性和可靠性。

本研究以帆船形板材——船体板料中常见的代表性双曲面几何形状——为研究对象，建立了一种基于物理启发几何一致性复合目标损失的条件生成对抗网络（PGC-cGAN），用于预测双曲面板材成形过程中的回弹。对双曲面板材冲压成形过程进行了有限元数值模拟，并进行了实验验证以确认模拟数据的准确性。基于这些数据，评估了所提出的回弹预测模型的训练性能和预测效果。通过对绝对误差均值（MAE）、均方误差（MSE）、决定系数（R2）和平均Wasserstein距离（WD）等指标的对比分析，确认了本研究构建的PGC-cGAN模型在双曲面板材成形场景中回弹预测的泛化能力和有效性。

章节片段：PGC-cGAN模型构建——cGAN是一种将条件约束融入传统GAN框架的生成模型（Isola et al., 2017），其核心思想是使生成器能够在特定条件下生成目标数据。这是通过在GAN框架中引入"条件信号"来实现的。相比之下，传统GAN仅通过生成器和判别器之间的对抗训练来生成数据，缺乏控制类别或属性的能力。

物理启发几何一致性复合目标损失函数（PGC-CL）——本节提出了一种高精度且物理启发的几何一致性损失函数。通过在物理原理层面强制预测回弹变形值与实际回弹变形值之间的对齐，确保预测表面的几何和力学有效性。

双曲面金属板材冲压成形有限元模拟——本节使用Abaqus有限元软件建立的有限元模型进行模拟。其核心价值在于为PGC-cGAN回弹预测模型提供具有清晰物理机制支撑的真实回弹数据。上压头的尺寸为56毫米×56毫米，与钣金尺寸力的均匀性要求相匹配。下模表面选择典型双曲面板材中的帆船形表面，其形状表示为——

PGC-cGAN网络预测模型实验结果分析——本研究使用第4节中描述的有限元模拟结果构建了用于模型训练和评估的数据集，总共生成了891对输入-输出图像对，建立了工艺参数（板材厚度和成形载荷）与相应回弹变形场之间的一对一映射。模型的输入由控制双曲面钣金回弹变形的工艺条件参数组成，即——

结论：回弹是钣金成形中的一个持续性挑战，直接影响尺寸精度、装配质量和生产效率。在高价值制造行业中，不准确的回弹预测往往导致反复的模具补偿、漫长的试错周期和增加的材料浪费。为解决这些实际挑战，本研究开发了一种基于物理启发几何一致性条件生成对抗的深度学习框架——

CRediT作者贡献声明：蔡亦杰：写作-审阅与编辑，写作-原稿撰写，方法论，资金获取，概念构思。赵晓倩：写作-审阅与编辑，写作-原稿撰写，可视化，软件。刘凌：验证，调查，写作-原稿撰写。张文杰：写作-审阅与编辑，数据整理。杨晓军：写作-审阅与编辑，监督，项目管理。

参与同意：不适用。
伦理审批：不适用。
发表同意：作者声明所述工作此前未曾发表，也未曾提交至任何地方进行审稿。
资助：本研究由国家自然科学基金（批准号52371317）和湖北工业大学高层次人才基金（批准号XJ2025001402）资助。
利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

蔡亦杰 | 赵晓倩 | 刘凌 | 张文杰 | 杨晓军
湖北工业大学机械工程学院，武汉，430068，中国