基于维纳过程的退化产品最优贝叶斯可靠性保证试验方案

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Optimal Bayesian reliability assurance test plan for degraded products based on Wiener process

　　

•提出了一种基于维纳退化模型的贝叶斯可靠性保证测试计划。
•在贝叶斯框架下建立了单次和双次抽样方案。
•开发了两种优化模型，以最小化样本量或期望成本。
•研究了测试持续时间变化时不合格阈值的调整。

引言
在有限的時間和资源约束下确定产品是否满足指定的可靠性水平，长期以来一直是高可靠性产品的设计、开发和质量管理中的一个关键挑战。作为可靠性工程的重要组成部分，可靠性测试主要用于验证产品是否满足指定的可靠性水平 [1]。Meeker 和 Escobar [2] 将测试计划分为两大类：可靠性演示测试和可靠性保证测试。传统的可靠性演示测试通常基于频率派假设检验，直接使用测试数据来验证产品是否满足指定的可靠性要求 [3]。然而，对于通信设备和交通系统等现代高可靠性系统，可靠性演示测试通常需要极其巨大的样本量，这限制了它们的实际适用性。相比之下，在贝叶斯框架下开发的可靠性保证测试可以通过将测试数据与历史信息或专家知识相结合，显著减少所需的样本量并提高测试效率 [4], [5]。

在可靠性保证测试中，使用抽样检验来判断产品是否满足指定的可靠性水平。抽样检验根据规定的验收标准对样本进行判断，然后制定一个验收抽样方案，该方案包括样本量、允许的不合格品数量和测试时间等关键参数。作为应用最广泛的统计质量控制方法之一 [6]，验收抽样降低了检验成本，并有助于防止不合格产品进入市场。因此，它已被广泛应用于汽车、航空航天和电子等行业 [7]。常见的验收抽样方案包括单次和双次抽样方案。在双次抽样方案中，如果检查员无法根据第一个样本做出最终决定，则需要第二个样本才能做出最终决定 [8]。Duncan [9] 指出，双次抽样方案可以在保持决策准确性的同时减少所需的样本量。传统的验收抽样方案旨在以尽可能小的样本量接受或拒绝检验批次，前提是在同时控制生产者风险和使用方风险的情况下 [10], [11], [12]。在贝叶斯可靠性保证测试中，通过在方案设计期间控制后验生产者风险和后验使用方风险，可以满足预设的风险约束并提高验收决策的可靠性 [13]。控制后验风险允许实践者在期望的置信水平上确保，被接受和被拒绝的批次确实是可接受和可拒绝的 [14]。Hamada 等人 [4] 基于二项式、泊松和韦布尔测试的后验风险标准提出了贝叶斯保证测试方法，在分层框架内纳入历史数据，在满足风险约束的同时大幅减少了所需的样本量。Hamada 等人 [15] 通过利用历史组件测试数据构建系统可靠性的分层先验分布，进一步发展了一种基于后验风险标准的二项式保证测试计划，从而显著减少了系统验证所需的样本量。Kim 和 Wilson [13] 比较了经典、贝叶斯和序贯二项式保证测试计划，揭示了后验生产者风险和后验使用方风险之间的反比关系，并为测试计划的选择提供了一个统一的框架。

传统的寿命测试依赖于失效时间数据，通过观察预定时间内失效的数量或达到指定数量失效所需的时间来评估可靠性。尽管这些传统方法，包括基于指数 [16]、对数正态 [17] 和韦布尔 [18] 分布的寿命测试，已经非常成熟，但它们存在固有的局限性：它们仅关注失效时刻，未能捕捉最终导致失效的底层物理退化过程。随着产品可靠性的不断提高，这一缺点变得越来越突出。具体而言，在允许的测试持续时间内，高可靠性产品很少提供足够的失效信息，这对传统寿命测试构成了诸如测试周期长、成本高和统计信息不足等实际约束。作为替代方案，退化测试可以通过持续监测产品退化水平随时间的变化，在产品失效前获取有效信息，从而显著缩短测试持续时间并减少测试资源的消耗 [19]。在基于退化数据的验收抽样方案设计中，通常采用线性回归模型或随机过程来表征退化行为。Sohn 和 Jang [20] 提出了基于线性回归模型的抽样方案。与线性回归模型相比，随机过程模型可以更有效地捕捉退化过程中的随机波动 [21]，代表性模型包括维纳过程、伽马过程和逆高斯过程。Ye 和 Xie [22] 以及 Shahraki 等人 [23] 对现有的退化建模方法进行了全面综述。基于这些模型的相关研究取得了一定进展。例如，Cha 和 Mercier [24] 提出了两种基于维纳过程且具有不同拒绝规则的验收抽样方案；Zheng 等人 [25] 开发了一种基于维纳过程的具有单元异质性的退化产品验收抽样方案的最优设计方法；Cha 和 Badía 研究了基于伽马过程 [26] 和逆高斯过程 [27] 的退化数据验收抽样方案；Zheng 等人 [28] 提出了一种区分设计和生产阶段的可靠性演示测试计划，基于具有单元异质性的伽马过程；Wang 等人 [29] 使用逆高斯过程对退化数据进行建模，并在最优加速应力下推导了验收抽样方案以提高测试效率；Zheng 等人 [30] 考虑了加速因子的不确定性，提出了一种基于逆高斯过程的加速退化产品验收抽样方案。尽管在退化建模和验收抽样方面取得了这些进展，但基于退化数据的可靠性保证测试研究仍然有限。大多数现有的可靠性保证测试依赖于失效时间数据，因此难以应用于高可靠性产品。在相关研究中，Weaver 等人 [31] 提出了一种基于线性退化模型的贝叶斯保证测试计划，其中纳入历史退化数据以构建先验分布，并在控制两类后验风险的情况下优化了测试样本量。在此基础上，Ryan 等人 [32] 进一步开发了一种序贯贝叶斯保证测试计划。然而，这些研究大多基于线性退化模型，尚未将更具物理意义的随机过程退化模型纳入可靠性保证测试的范围。

在设计可靠性保证测试时，实际测试结果（如观测到的不合格品数量）具有不确定性，导致对批次是否被接受或拒绝存在不确定性。因此，应注意决策不确定性和后续可靠性保证活动（如可靠性增长和保修服务）所产生的期望成本。Chen 等人 [33] 提出了一种二项式可靠性演示测试的贝叶斯最优设计框架。通过引入接受概率来量化决策不确定性，他们联合优化了测试成本、后续保修服务成本和可靠性增长成本。目标是在后验使用方风险约束下最小化单阶段期望成本。在此基础上，Wang 等人 [34] 将研究从单阶段扩展到多阶段设置，开发了一种考虑多阶段接受不确定性的最优设计方法，以在后验使用方风险约束下最小化多阶段期望成本。受这些研究的启发，本文将期望成本纳入基于退化数据的可靠性保证测试中，旨在提高所提出测试计划的经济效率和工程适用性。

然而，可靠性保证测试在某些方面仍然发展不足。首先，大多数现有的可靠性保证测试依赖于失效时间数据，而基于退化数据的保证测试研究相对较少，特别是那些纳入能够捕捉退化过程中随机波动的随机过程模型的研究。其次，现有的基于退化的抽样方案主要集中在单次抽样上，而在贝叶斯可靠性保证测试框架内的双次抽样方案几乎未被探索。第三，现有的基于成本的贝叶斯可靠性测试设计主要集中在失效数据上，并在后验使用方风险约束下进行了成本优化。据我们所知，基于退化数据的单次和双次抽样方案的成本优化，受后验生产者风险和后验使用方风险约束，尚未得到研究。这些因素在贝叶斯保证测试中尤为关键，但相关研究仍然不足。

本文提出了一种基于维纳退化模型的最优可靠性保证测试计划，该计划考虑了单元异质性和测量误差。本文的主要贡献总结如下。(1) 将现有的贝叶斯可靠性保证方法论改编为具有单元异质性和测量误差的维纳退化设置，并在此设置下构建单次和双次抽样方案。(2) 通过将单次和双次抽样方案纳入统一的可行解集，构建了一个扩展的优化框架。从该集合中，在最小化样本量（或平均样本数）或最小化期望成本的情况下选择最优方案。(3) 提出了一种阈值调整策略，以在校准判定不合格产品的标准时应对退化测试终止时间的变化。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍了维纳退化模型及其统计特性。第 3 节构建了抽样方案并推导了测试通过和失败的概率。第 4 节定义了贝叶斯框架内的后验风险，并提出了在后验风险约束下最小化样本量或平均样本数的最优抽样方案设计。第 5 节提出了在后验风险约束下最小化期望成本的最优方案。第 6 节讨论了调整预设阈值以判定产品不合格的 策略。第 7 节通过数值示例验证了所提出方法的有效性，分析了模型参数对最优方案的影响，并基于 GaAs 激光器退化数据进行了案例研究，以证明所提出方法的实际适用性。第 8 节总结了全文并概述了未来研究方向。鉴于全文广泛使用了参数和符号，表 1 提供了关键符号及其定义的参考，以便于讨论。

章节片段
底层退化模型
考虑表示为 {??(??), ??≥0} 的产品退化过程，在本研究中通过维纳过程描述。真实退化模型由 [35] 给出：??(??)=????+????(??)，其中 ?? 是控制退化率的漂移系数，?? 是扩散系数，??(??) 表示标准布朗运动，且 ??(??)～??(0,??)。

由于不可观测因素（如初始材料缺陷的变化和未知的使用条件）的影响，来自同一批次的产品

退化测试抽样方案的设计
对产品进行退化测试，并在终止时间 ??0 观察其退化水平。如果其观测到的退化水平 ??(??0) 超过预设阈值 ????，则判定产品不合格。记产品在时间 ??0 被判定为不合格的概率为 ??(??0|??+)。则 ??(??0∣??+)=??(????0+????(??0)+?>????∣??+)=1???(????0+????(??0)+?≤????∣??+)=1????? ? ? ???????????0√??2??20+??2??0+??2??? ? ? ??。

后验生产者风险和后验使用方风险
后验生产者风险定义为批次被拒绝但产品可靠性大于或等于某个指定 ???? 的概率；后验使用方风险定义为批次被接受但产品可靠性小于或等于某个指定 ???? 的概率，其中 ???? 是可接受的可靠性水平，???? 是可拒绝的可靠性水平，且 ????>????。如果批次被拒绝，生产者要求后验概率为

期望成本模型的构建
在验收决策存在不确定性的情况下，最优抽样方案设计需要综合考虑测试成本、可靠性增长成本和保修服务成本，以最小化期望成本。设 ?? 为二元决策变量，其中如果批次被接受，则 ??=1，否则 ??=0。

接受决策的不确定性可以通过 ???(Lot Is Accepted) 来量化，即 ???(??=1)=???(Lot Is Accepted)。???(Lot Is Accepted) 表示批次被放行的概率。
阈值选择策略
阈值 ???? 是退化试验中的关键准则。如果在时刻 ??0 观察到的退化水平超过 ????，则产品被判定为不合格。如第 3 节所述，???(??0|??+) 是产品在时刻 ??0 被判定为不合格的概率。如果 ???? 设置得过大，那么 ???(??0|??+)→0 且 ???(Lot Is Rejected|??+)→0。由于后验生产者风险是以批次拒绝事件为条件的，其评估可能会变得不稳定或缺乏实际意义。反之，如果 ???? 设置得太小，
数值模拟
基于带有测量误差的观察退化模型，进行了数值模拟。参数向量设置为 (??,??2,??2,??2?)=(0.25,0.005,0.2,0.2)，并随机生成了 15 个测试样本的退化数据。每个样本在时刻 ??0=0, ??1=30, ??2=60, ??3=90, ??4=120, ??5=150 被观察。模拟的退化数据如图 1 所示。令 ?????(????) 表示第 ?? 个测试样本在观察时刻 ??0, ??1,…, ??5 的观察退化水平，以及
结论
本文提出了一种基于维纳过程的退化产品贝叶斯可靠性保证测试框架。在后验风险约束下，开发了单式和双式抽样方案，并建立了两种优化模型：一种是最小化单式抽样方案的样本量或双式抽样方案的平均样本数，另一种是最小化期望成本。数值结果表明，最优设计受可靠性影响
CRediT 作者贡献声明
Xiaoliang Ling: 撰写 – 初稿。Aizhi Ren: 调查。Liying Wang: 形式分析。Qingan Qiu: 撰写 – 审查与编辑，监督。
竞争利益声明
作者声明，他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
致谢
本工作得到了国家自然科学基金 (72071071, 72371030 和 72271169)、国家留学基金委 (202508130086) 以及河北省青年人才支持计划的资助。
Xiaoliang Ling|Aizhi Ren|Liying Wang|Qingan Qiu