基于傅里叶特征映射的多网络PINNs的压电悬臂梁参数识别与未知激励反演

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Parameter identification and unknown excitation inversion of piezoelectric cantilever beams using multi-network PINNs with Fourier feature mapping

　　

•将机电梁模型嵌入PINNs用于参数辨识。•独立的PINNs子网络物理耦合位移、电压和激励。•时间傅里叶特征提升了振荡响应和相位表示能力。•该方法通过仿真、噪声测试、消融实验和实验进行了验证。

引言

压电能量收集系统具有能量收集和环境感知的能力，在结构健康监测、旋转机械状态监测[1]、桥梁无线监测[2]、海洋环境能量收集[3]以及超低功耗物联网节点供电等方面已展现出重要的工程应用价值。近期研究进一步展示了先进能量收集技术的快速发展，包括复杂工况下的振动自适应能量管理[4]、用于增强能量收集和感知的压电生物分子薄膜[5]、基于驰张-抖振协同的流体驱动能量收集[6]，以及磁-机-电耦合的多域能量收集[7]。其中，压电悬臂梁凭借其结构简单、易于集成和频率可调的特性，已成为最具代表性和应用最广泛的压电能量收集构型之一。相关综述也表明，梁型结构一直是该领域的重要研究对象[8]。然而，其输出电压、功率密度和共振响应强烈依赖于机电耦合模型的准确性。模型中关键参数——如等效质量、等效刚度、等效阻尼、机电耦合系数和负载电阻——的准确辨识，直接影响固有频率预测、响应分析、性能评估和优化设计结果[9]。

在工程应用中，压电片的粘贴质量、胶层厚度与均匀性、夹持边界条件的微小变化以及材料属性的分散性等因素，均可能导致系统等效质量、等效刚度、等效阻尼和机电耦合特性产生偏差。由此，在理想边界条件和均匀材料假设下建立的理论模型与实际器件之间可能出现显著差异[10], [11]。此外，压电能量收集器在实际中通常运行于复杂激励环境下。外部载荷往往是随机的、宽频的且依赖于工况[12]。特别是在流致振动、气动弹性不稳定性及复杂边界约束条件下，流体附加质量、附加阻尼和流固相互作用随环境状态动态变化，进一步增强了系统动力学的非线性和不确定性[13], [14]。在此类条件下，外部激励力往往难以直接测量，系统的输入-输出映射也难以通过传统解析模型准确描述。

更重要的是，压电悬臂梁本质上是一个多参数、强耦合且对噪声高度敏感的机电系统。等效质量、等效刚度、等效阻尼、压电耦合系数、介电参数和负载电阻等变量之间通常存在强相关性[15]。在有限观测数据下，此类参数耦合容易使辨识问题变为病态的、非唯一的，且对测量噪声高度敏感，从而显著增加参数辨识和模型校准的难度[16]。此外，近期研究也指出，尽管压电能量收集领域已取得重大进展，但复杂工况下模型参数辨识的准确性和稳定性仍然不足[17], [18]。这在一定程度上表明，机电模型更新、关键参数辨识和未知激励反演仍是该领域重要的且极具挑战性的研究课题。

现有针对压电悬臂梁及相关动力学系统的参数和激励力辨识研究，主要集中于传统方法，如平滑滤波、子空间辨识、参数化迟滞建模以及输入-状态-参数联合估计。这些方法通常依赖于已知的动力学模型，利用有限的观测响应来辨识系统参数或未知激励力。例如，Li等人[19]提出了一种针对过采样条件下非线性结构的子空间参数辨识方法，有效提高了噪声环境下的辨识精度。Capalbo等人[20]将参数化降阶模型与增强型扩展卡尔曼滤波器相结合，实现了结构系统状态、输入和参数的联合估计。针对压电结构的参数辨识，Liu等人[21]提出了一种两阶段子空间辨识方法，实现了双稳态压电结构线性参数、机电耦合系数和非线性恢复力的逐步辨识。Liu等人[22]还基于分布参数Maxwell-Slip模型辨识了压电执行器的迟滞非线性，为压电系统的非线性建模与补偿提供了一条具有物理可解释性的传统建模途径。此外，Xi等人[23]使用ERTSS-PSO方法从压电能量收集器的电压响应中辨识外部激励，验证了平滑滤波方法在未知载荷辨识中的有效性。

总体而言，当模型形式相对清晰、激励条件简单且观测数据质量较高时，传统方法可以取得良好的辨识性能。然而，这些方法通常强依赖于先验模型，对复杂边界条件、未知激励和多源不确定性较为敏感。当系统表现出强机电耦合、非线性振荡或稀疏观测时，传统方法容易出现病态、参数漂移或估计非唯一等问题。因此，它们在复杂工程场景中的适用性和鲁棒性受到限制。

自Raissi等人[24]提出物理信息神经网络（PINNs）框架以来，物理信息学习已从PDE/ODE问题的前向求解逐步扩展到系统参数辨识、模型更新和隐藏参数发现等研究方向。此类方法的突出优势在于，在小样本甚至稀疏测量条件下，能够有效地融合物理约束和观测信息，从而保持良好的物理一致性和一定程度的可解释性[25]。例如，Teloli等人[26]将PINNs引入梁结构的反问题，实现了位移响应重构、阻尼和弹性模量的同步辨识。Haywood-Alexander等人[27]将此方法应用于多自由度动力学系统的响应恢复、状态估计和参数辨识，并验证了其在噪声干扰和模型不匹配条件下的适用性。Guo和Fang[28]构建了基于PINNs的结构参数辨识框架，表明物理约束可显著降低对训练样本量的依赖。Lai等人[29]通过物理信息神经网络常微分方程实现了线性和非线性结构系统的辨识与响应建模。近期关于物理信息学习在时间依赖问题方面的研究也表明，先进的训练策略和物理信息算子学习框架可以进一步提升神经模型对动力学系统的学习能力[30]。此外，物理信息学习的思想也已扩展到其它复杂系统的状态估计问题中。例如，Cao等人[31]通过将物理约束嵌入图学习框架，实现了复杂配电系统的鲁棒状态估计。

这些研究表明，PINNs在融合机理模型与观测数据方面具有明显优势。然而，与现有的基于PINNs的结构辨识、力反演和压电系统辨识方法相比，这些方法应用于压电机电反问题时仍存在若干局限性。首先，大多数基于PINNs的结构辨识研究主要关注纯机械系统，如梁结构[26], [28]、多自由度动力学系统[27]和含阻尼模型的结构系统[35]，其中辨识量通常为刚度、阻尼、弹性模量或其他力学参数。这些方法通常不涉及电压响应、电路动力学或机电耦合参数。其次，现有的基于PINNs的力或输入反演方法可以在结构动力学系统中估计未知外部载荷[32], [33]。例如，Kapoor等人[32]利用PINNs求解了复杂梁系统的前向和反问题，并辨识了未知模型参数和施加力。Moradi等人[33]开发了用于结构动力学系统辨识和输入力估计的PINN架构。然而，这些研究通常针对机械系统进行建模，很少考虑压电能量收集器中结构振动与电气输出之间的双向耦合。第三，已有的系统辨识方法，如扩展卡尔曼滤波[20]、稀疏回归[36]、基于神经ODE的辨识[29]和反问题PINNs框架[24]，已在不同的反问题中显示出有效性。对于压电系统，子空间辨识、基于滤波的估计和基于平滑的激励反演也已应用于辨识机电参数或外部激励[21], [23]。近期研究还进一步探索了PINNs在压电收集器参数辨识中的应用[34]。尽管如此，当需要从有限的位移和电压观测中同时辨识力学参数、电学参数、机电耦合参数和未知时变激励时，这些方法直接应用于压电悬臂梁仍然面临挑战。为更清晰地阐明所提方法与现有研究的差异，表1进行了专门的对比总结。

对于本文所研究的压电悬臂梁系统，其反问题辨识比常规结构参数辨识更为复杂。位移响应、电压响应、未知激励力和机电参数通过力学控制方程和电路方程强耦合在一起。如果用单个神经网络表示所有物理量，具有不同物理意义、响应量级和耦合机制的不同学习任务在训练过程中可能相互干扰。结果，单个物理量的表示及其耦合关系的重构均可能被削弱。这解释了为何物理分解或多网络架构对于此类多物理场反问题更为合适[37], [38]。此外，关于波动和多尺度问题的相关研究表明，传统PINNs可能存在谱偏差问题，在捕捉振荡细节、局部峰谷、相位演化和多尺度特征方面能力有限[39], [40]。对于基于振动的反问题，此类表示误差可能通过自动微分被进一步放大，因为参数辨识和激励反演直接依赖于物理残差中的速度、加速度和电压导数项。此外，许多现有研究仍主要局限于理想化的数值算例，对于实际工程场景中常见的问题——如测量噪声、稀疏观测、物理缺失和复杂边界条件——的系统性验证仍然不足[41], [42]。

需要强调的是，本研究的新颖性并不在于提出多网络PINNs或傅里叶特征映射作为通用的神经网络技术，因为这两种技术均已在PINNs文献中有所报道。相反，主要贡献在于为压电机电反问题辨识构建了一个问题特定的物理分解PINNs框架。在该框架中，位移响应、电压响应和未知外部激励由独立的神经子网络表示，但这些子网络并非独立的数据拟合模块。它们通过力学控制方程和电路方程的残差在物理上耦合在一起。因此，所提框架旨在将力学参数辨识、电学参数辨识、机电耦合参数辨识和未知激励反演整合到一个统一的物理信息框架中，而无需直接测量力。在此意义上，多网络结构用于减少不同物理变量之间的任务干扰，而时间傅里叶特征映射则作为针对压电振荡响应的定向表示增强手段，提升了对相位演化、局部极值和时间导数相关物理残差的学习能力。

本文提出了一种基于物理信息神经网络（PINNs）的机电耦合模型与多网络结构方法，结合时间傅里叶特征映射，实现了机电耦合系统的参数辨识与未知激励反演。

本文所提方法的核心贡献在于：其一，构建了压电悬臂梁的机电耦合动力学模型，将机械控制方程与电路方程嵌入PINNs框架，实现物理信息的深度融入；其二，提出了物理分解的多网络PINNs框架，通过位移、电压和未知激励分别由独立的神经子网络表示，并利用机械和电气残差方程实现物理耦合；其三，引入时间傅里叶特征映射，针对压电响应中的振荡特性进行针对性增强，提升了相位演化、局部极值和时间导数相关物理残差的表征能力；其四，系统研究了自由振动、周期激励和随机激励条件下参数辨识与激励反演性能，并分析了驱动数据规模和噪声水平对模型性能的影响；其五，通过自由响应实验和流体诱导强制响应实验，结合消融比较，验证了所提方法在真实物理环境中的有效性、鲁棒性和工程适用性。

在数学模型部分，本文仅考虑压电悬臂梁沿y方向的弯曲振动，压电贴片通过厚度方向极化并连接外部电路，实现机电能量转换。结构采用金属基板与压电贴片叠层配置，通过串联连接形成机电耦合回路。

在物理信息神经网络部分，PINNs将物理控制方程和实验观测嵌入神经网络训练过程，通过持续迭代优化，使网络逼近真实解。与传统仅依赖数据的方法不同，PINNs可充分利用控制方程、边界条件和初始条件提供的约束信息，即使观测数据稀疏或有噪声也能实现高精度反演。

在数值实验部分，本文结合压电悬臂梁机电耦合模型，在两种工况下进行系统参数辨识与外部激励力反演：一是无端部质量的压电悬臂梁，二是自由端附加集中质量的压电悬臂梁。两者主要差异在于等效模态质量的不同，本文分析了不同工况下参数辨识与激励反演的准确性与收敛性。

在实验验证部分，本文通过数值仿真验证了所提方法在不同工况下的泛化能力和抗干扰能力，但真实工程环境常伴随不确定边界条件、装配误差、传感器漂移和外部扰动等复杂因素，因此进一步通过自由响应实验和流体诱导强制响应实验，验证了方法在实际环境中的有效性与工程适用性。

本文结论指出，针对压电悬臂梁机电耦合系统的参数辨识与未知激励反演问题，所提的多网络结构PINNs方法结合时间傅里叶特征映射，有效克服了高频振荡、多物理场耦合和局部细节表征的难点，提升了模型的学习效率与精度。

作者贡献声明：Lei Gao负责概念设计、数据整理、形式分析、调查、方法学、软件、验证、可视化、原创草稿撰写、审阅与编辑；Dan Zhang负责资源、监督、资金获取、方法学、审阅与编辑；Yaoran Chen负责方法学、资金获取、审阅与编辑；Xiaowei Li负责调查、监督、方法学；Zhongjie Li负责调查、监督、方法学；Yan Peng负责监督、资源获取。

利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

致谢：感谢国家自然科学基金（项目编号62225308和42306226）、上海市科技创新项目（项目编号XTCX-KJB002-2025-2-03）、上海市教育发展基金会晨光计划（项目编号24CGA46）的资金支持。

作者列表：Lei Gao | Dan Zhang | Yaoran Chen | Xiaowei Li | Zhongjie Li | Yan Peng