用于瞬态波能流控制的双尺度并发结构拓扑优化

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Two-scale concurrent structural topology optimization for transient wave energy-flow control

　　

•提出了一种用于瞬态能量流控制的双尺度并行拓扑优化方法。
•实现了波传播的阻断、聚焦和之字形路由。
•提出了一种基于拉普拉斯的吸收边界以减少边界反射。
•连通性约束使得可制造的单一材料设计成为可能。
•能量流遵循最大刚度并由阻抗失配调节。

引言
机械波在结构中的传播在确定复杂工程系统的动态性能方面起着根本作用，特别是在航空航天工程 [1], [2], [3], [4]、海洋工程 [5], [6], [7] 和精密设备 [8], [9], [10] 领域。一方面，结构通常需要衰减或阻断波传输，以抵御瞬态冲击 [11], [12], [13], [14], [15]。另一方面，在能量收集和载荷传递等应用中，结构被期望作为高效的波导，以最小化能量耗散 [16], [17], [18], [19]。因此，对波传播的工程化操控已成为实现定制功能（如振动抑制和能量定位）的关键。

能量流分析可以识别主要的能量传输通道，评估不同结构部件对波传输的贡献，并定位波能量集中或衰减的区域。根据 Goyder 和 White [20], [21], [22] 的推导，能量流并不表示局部存储能量的大小；相反，它量化了通过结构传输的能量。因此，它揭示了结构内振动能量的传输路径、强度以及空间重新分布，提供了从激励源到响应区域的波能量传播机制的直接描述。结构能量流分析中最早且研究最广泛的课题主要与典型工程板结构（如加劲板、变厚度板和层合板 [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30]）中的振动能量流有关。这些研究表明，加劲肋和纤维的排列可以显著影响能量流的分布。因此，可以通过结构修改来改变振动传输路径，从而实现减振等目标。在此基础上，结构能量流分析逐渐从能量流传输机制的表征演变为振动控制策略的主动设计。特别是，阻尼处理的重新分布和边界约束的修改为调节能量流路径提供了有效手段，从而能够实现针对船舶和航空发动机等复杂结构的振动传输定向抑制 [31], [32]。然而，上述大多数研究依赖于主观观察来修改结构配置，这需要多次人工迭代，并且容易导致设计效率低下或无效。相比之下，结构优化方法通过数学优化算法进行迭代设计，能够更好地保证设计的有效性。例如，基于能量流分析的形态优化已应用于水下运载器以提高其抗振性 [33]。尽管优化设计成功降低了振动幅度，但参数化优化中可调参数的数量有限，这限制了设计空间，难以满足高性能结构设计的要求。

拓扑优化作为结构优化中最强大的设计方法之一，能够处理高维设计变量并生成复杂的拓扑配置，从而提供高性能和多样化的优化设计。它已被广泛认为是结构设计中最重要的一种方法 [34], [35], [36], [37], [38]。迄今为止，拓扑优化已应用于各个领域并展现了优秀的设计性能，包括增强结构承载能力 [39], [40], [41], [42]、抑制振动传播 [43], [44], [45], [46], [47] 以及设计散热和传热结构 [48], [49], [50], [51]。在能量流优化领域，据作者所知，Jensen 和 Sigmund 首次将基于能量流分析的拓扑优化用于光子晶体波导的设计，实现了 90°光波弯曲和 T 形波导器件 [52], [53]。他们随后将这一概念扩展至弹性波结构的拓扑优化，实现了谐波激励下板中的能量流聚焦和循环 [54]。最近的发展进一步将基于能量流的拓扑优化扩展至三维结构和双尺度二维结构，实现了低损耗传输、能量聚焦和能量屏蔽等灵活的控制目标 [55], [56]。此外，还提出了以输入能量流为目标函数的拓扑优化公式，以增强结构的能量耗散能力 [57], [58]。然而，现有的基于能量流的拓扑优化研究主要集中于谐波稳态响应。瞬态能量流优化的不同之处在于，它直接考虑了时变载荷下结构能量的时间依赖传播和重新分布 [59], [60], [61], [62], [63]。根据作者确定的公开文献，直接针对瞬态结构能量流的系统性拓扑优化研究仍然非常有限。因此，开发瞬态能量流拓扑优化方法对于将能量流控制从稳态传输模式扩展到时间依赖传播过程是必要的。

边界条件是波动传播问题拓扑优化中复杂性的一个重要来源。截断或约束边界处的波反射可能会扭曲振动能量的实际传播和重新分布，从而增加振动响应的复杂性，并可能导致优化过程不收敛。在波传播的数值模拟中，常用的处理方法包括粘性边界条件 [64], [65], [66], [67], [68], [69] 和完美匹配层 (PMLs) [70], [71], [72], [73], [74], [75], [76]。Semblat 等人提出了一种易于实现的基于 PML 的简化模型 [77]。通过引入空间变化的阻尼， outgoing 波可以逐渐衰减，这使得该方法便于在现有软件或计算代码中实现。然而，吸收边界通常要求边界附近的材料属性连续变化，以满足阻抗匹配条件。这一要求可能导致传统吸收边界在拓扑优化中性能下降，因为设计域内的材料分布在优化迭代过程中不断演变。因此，需要一种适当的方法在边界附近引入材料属性的逐渐变化。

双尺度并行拓扑优化和基于均质化的多尺度建模为具有宏观布局和微观材料架构的结构的集成设计和波分析提供了有效策略 [78], [79], [80], [81], [82], [83]。通过同时优化宏观和微观拓扑，这种方法进一步扩展了设计空间，并引入了改善结构有效性能的额外自由度。最近的研究将并行多尺度拓扑优化扩展至压电智能结构。Liu 等人并行优化了压电执行器的宏观和微观材料分布，以改善机电能量传输，随后为复合压电能量收集器开发了一种并行多尺度方案，以提高电能转换效率 [84], [85]。近年来，双尺度并行拓扑优化与瞬态优化的结合产生了许多高性能设计，大多数研究侧重于热机械承载结构 [86], [87], [88], [89] 和承受动态载荷的结构 [90], [91], [92]。对于本研究调查的能量流控制问题，以往的研究表明，引入微观结构可以增强能量流的可控性 [56]。各向异性微观结构的方向弯曲刚度可以引导能量流沿优选方向流动，而不同微观结构之间的阻抗失配可以引起能量反射和重新分布。因此，双尺度设计提供了额外的自由度来调节宏观传播路径和微观有效性能，为能量流的阻断、聚焦和路由提供了更高的灵活性和效率。然而，将此策略扩展至瞬态条件需要同时考虑时间依赖的能量流响应和耦合的宏观 - 微观设计关系。

本研究提出了一种用于薄板结构瞬态能量流控制的双尺度并行拓扑优化方法。研究目标在两个方面具有新颖性。首先，它直接解决了时间依赖结构能量流的拓扑优化问题。其次，它利用了多种微观结构的方向刚度和阻抗特性，以提高瞬态能量流控制的灵活性和效率。考虑了三个代表性目标，即能量流阻断、聚焦和之字形路由。为了实现这一目标，建立了一个协调优化框架。开发了瞬态能量流公式及相应的跨尺度伴随灵敏度，结合数值均质化和离散材料优化 (DMO) 以实现宏观微观结构分配和微观拓扑的并行优化。提出了一种基于拉普拉斯方程的吸收边界处理，以减少优化过程中的人工反射。由随机形态描述函数 (RMDFs) 生成的初始设计用于促进设计多样性并探索不同的局部最优，并纳入两类连通性约束以确保不同微观结构内部及之间的连通性。尽管一些个别组件基于既定技术，但它们面向问题的公式化和集成提供了双尺度瞬态能量流优化的完整解决方案。针对双材料和单材料情况进行了数值算例。最后，系统地研究了微观结构、连通边界厚度、边界类型和微观结构设计对优化能量流特性的影响。

本文的其余部分组织如下。第 2 节提出了能量流分析理论、均质化方法和有限元离散公式。第 3 节提出了优化公式，包括目标函数、约束、吸收边界条件、初始设计和灵敏度分析。第 4 节提供了双材料和单材料薄板的优化结果。最后，第 5 节总结了本文。

章节片段
具有双尺度微观结构的薄板瞬态能量流分析
本节提出了在瞬态载荷下分析具有双尺度微观结构的薄板中机械波传播相关能量流的理论和数值公式。首先，推导了薄板的能量流公式。然后，介绍了用于评估微观结构有效性能的均质化公式及相应的有限元离散公式。如图 1 所示，当结构受到... 双尺度薄板能量流控制的拓扑优化
为了实现有效的能量流控制，通过设计由多种微观结构组成的双尺度结构，在规定的瞬态载荷下对薄板结构进行优化，如图 3 所示。本节介绍了拓扑优化中使用的设计变量和插值函数，随后介绍了目标函数和约束、灵敏度分析以及用于拓扑优化的建议吸收边界条件 数值算例
在本节中，在三种优化目标下，对双材料和单材料情况进行了薄板的双尺度并行拓扑优化。在所有数值算例中，以下设置保持不变：
•设计域尺寸为 15 m × 10 m × 0.005 m，吸收边界层厚度为 2 m。因此，薄板的整体尺寸为 19 m × 14 m × 0.005 m。
•采用铝 (Al) 和环氧树脂作为构成

结论
本研究开发了一种用于薄板结构瞬态能量流控制的双尺度并行拓扑优化方法。主要贡献在于直接解决了时间依赖结构能量流的拓扑优化问题，并利用多种微观结构的方向刚度和阻抗特性来增强能量流操控。为了实现这一目标，建立了一个协调优化框架。瞬态...

CRediT 作者贡献声明
Xiaopeng Zhang: 写作 – 审查与编辑，监督，软件，方法论，调查，资金获取，数据整理，概念化。Yuhao Bao: 写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，数据整理。

竞争性利益声明
作者声明，他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能已经出现在影响本文报告工作的情况中。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金 (12272077)、国家自然科学基金 (12332007) 的支持。

Xiaopeng Zhang|Yuhao Bao