基于不变流形的几何精确梁动力学状态转移方程模型降阶

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Invariant-manifold-based model reduction for state transition equations of geometrically exact beam dynamics

　　

摘要 本文提出了一种计算高效的基于不变流形的模型降阶框架，用于自由梁及梁组件的非线性动力学。虽然几何精确公式提供了高保真度，但对于高维问题，其计算成本变得难以承受。为解决这一问题，本文提出了一种“先时间离散化后降阶”的程序。该方法相较于作者此前研究中所使用的“先降阶后时间离散化”序列，代表了重大进步。通过对问题进行根本性重构，消除了重复时间积分和牛顿迭代的计算瓶颈，该方法为降阶建模提供了一个效率更高、更精简的框架。首先通过间断伽辽金方案对全阶动力学进行离散化，该方案提供了无条件稳定性并抑制响应的高频分量。随后对所得的状态转移方程应用基于不变流形的降阶，得到极低维数的降阶状态转移方程，从而避免了重复的时间积分和牛顿迭代。除了这一主要创新外，本工作还提供了几项关键进展：(1) 在浮动参考系公式内，针对几何精确梁重新构建了状态空间控制方程，消除了以往研究所需的拉格朗日乘子和显式参考系运动方程。(2) 在全阶方程中隐式构造状态转移关系，保留了时间离散化产生的大规模矩阵的稀疏模式，并允许上同调方程利用这种稀疏性以提高性能。(3) 引入了降阶动力学系数矩阵的对角分解。该策略将列向高阶上同调方程解耦为独立的线性系统，从而实现流形构造的高效计算。数值算例表明，所提方法相对于时间步长以及试验函数和试探函数的插值阶数达到了预期的收敛率。通过利用显式状态转移映射进行时间步进，该方法实现了更快的在线计算，从而增强了其在自由飞行梁结构快速模拟中的实际应用性。

引言 梁动力学的研究长期以来一直是结构和多体力学的基石。特别是由 Simo 及其同事 [1], [2] 开创的几何精确梁公式，已成为模拟承受有限旋转和大变形的梁结构的标准。此后，几何精确梁公式得到了广泛研究 [3], [4], [5]，特别侧重于有限旋转的参数化 [6], [7], [8], [9]、其空间插值 [10], [11], [12] 及其动力学中的时间积分。最近的发展通过特殊欧几里得群上的梁运动 formulation [13], [14], [15], [16], [17] 统一了位移和旋转场，或者等价地，用运动张量和双四元数 [18], [19], [20], [21], [22] 来表述。此外，等几何配点方法通过在选定的配点处强制执行控制方程的强形式，降低了积分和组装的成本 [23], [24], [25], [26]。然而，所有这些方法都导致全阶非线性模型：复杂梁组件的空间离散化仍然产生高维系统，其解在计算上是难以承受的。一个代表性例子是超大型空间天线，它由数千个梁构件组成，并在轨道机动和姿态控制期间经历有限整体旋转和平移。为了促进快速的动态模拟、设计优化和实时控制，迫切需要降阶模型 (ROMs)，它们在保持预测动态响应保真度的同时显著降低计算开销。

由于几何精确公式产生由高维、非线性常微分方程 (ODEs) 表示的动力学系统，因此开发了各种模型降阶技术将这些方程投影到更低维的空间中。在过去的几十年里，子结构模态综合 (CMS) 技术 [27], [28], [29] 已经发展为广泛使用的模态降阶 (MR) 方法。这种方法通过选择在参考构型下定义的模态形状来实现维度降阶。为了超越标准 MR 中固有的小应变假设，开发了先进的基于模态的方法来纳入几何非线性。这些改进方法通常用模态导数 [30] 扩充模态子空间，或将投影重新表述为二次流形 [31], [32]。对于经历有限刚体运动的系统，如自由飞行的梁组件，通常使用浮动参考系 (FFR) 公式 [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39]。在 FFR 方法中，构型被分解为参考系的刚体运动和该参考系内的相对变形。然而，不变性属性的持续缺失继续限制了这些方法在真正几何精确梁系统的非线性动力学中的应用。

近年来，不变流形 (IM) 方法作为一种全面的模型降阶框架获得了显著关注。不变流形是嵌入动力学系统高维相空间内的几何结构，定义使得在任何未来时间，始于流形上的任何轨迹都保持在流形内。通过组织高维相空间的全局轨迹，这些持久的 IM 为有效的模型降阶提供了几何基础。通过形式渐近展开系统地使用这些结构进行模型降阶，可以追溯到 Coullet 和 Spiegel [40]，他们将 Krylov–Bogolyubov–Mitropolsky 方法扩展到将高维状态视为“受控于”边际模态的幅度。Cox 和 Roberts [41] 将该方法推广到受迫系统，提供了一个框架来量化外部强迫如何既位移流形又修改降阶动力学。这些 IM 的存在性和光滑性在 Cabré 等人 [42], [43], [44] 的基础性工作中通过参数化方法得到了严格建立，这是一个框架，此后在 Haro 等人 [45] 中得到了广泛发展，包括数值实现和更广泛的应用。这种方法将流形构造简化为求解一组上同调方程，这些方程决定了流形的几何形状和由此产生的降阶动力学。这些理论里程碑为基于 IM 的模型降阶提供了坚实的基础，因为不变性条件为构造准确的降阶模型提供了数学一致的基础。

将非线性正常模态概念化为 IM 是由 Shaw 和 Pierre [46] 确立的，他们通过将这些模态视为与线性振动模态相关的不变子空间的非线性延拓，为保守和耗散系统提供了一个统一框架。在这种 formulation 中，非线性正常模态被定义为相空间中的一个二维流形，使得始于流形上的任何运动在它衰减趋向平衡时都保持在流形上。虽然这种方法有效地将非线性振动分析扩展到非保守系统，但随后的研究 [47], [48] 指出，在存在阻尼的情况下，所得流形往往缺乏唯一性。为了解决这种歧义，谱子流形被定义为谱子空间的最光滑不变延拓。在适当的非共振条件下，其在与同一谱子空间相切的所有可能非线性正常模态中的唯一性得到了数学证明 [48]。Jain 和 Haller [49] 展示了谱子流形在高维非线性结构动力学模型降阶中的应用，他们通过多项式近似将物理坐标映射到流形的参数化来构造这些流形。Haller [50] 的专著中提供了基于谱子流形的模型降阶的综合总结。与这些发展并行，Vizzaccaro、Touzé及其合作者 [51], [52] 通过直接规范型方法推进了几何非线性结构的模型降阶技术。

在自由梁或梁组件的动力学中，整体刚体运动的存在导致无限连续统的平衡点，并引起代表平移和旋转的物理坐标的长期增长。刚体运动位于系统的中心流形上，对应于线性化系统中的零特征值，并导致多项式增长的响应。这种无界响应与非线性振动问题中通常处理的有界振荡形成对比，其中标准 IM 或谱子流形技术通常应用于结构 [49], [51] 和受约束机械系统 [53], [54], [55]。最近，作者提出了一种专门针对自由梁动力学的基于不变流形的降阶框架 [56]。通过利用浮动参考系，梁运动学被分解为虚拟刚体运动和相对弹性变形。这种方法明确地将浮动参考系的刚体构型排除在动力学方程之外，确保系统中只出现浮动参考系的平动和角速度。此外，这种 formulation 将外部施加的载荷重新表述为激励向量的常微分方程，产生一个由浮动参考系速度、变形变量、激励向量和拉格朗日乘子控制的自治系统。通过确保所有状态变量在自然平衡点附近保持有界，所提 formulation 使得光滑 IM 的多项式近似在数学上有效。这种战略分解促进了基于不变流形的模型降阶在复杂、非自治自由梁系统中的成功应用。

上述模型降阶方法通常使用“先降阶后时间离散化”框架。在这种传统程序中，全阶动力学方程首先被降阶为低阶系统，然后应用时间积分方案求解降阶动力学方程。一旦确定了降阶状态，流形映射用于重构全阶状态响应。相比之下，本文采用“先时间离散化后降阶”程序。全阶动力学方程首先在时域离散化以产生高维状态转移方程，随后应用基于 IM 的降阶以推导降阶状态转移方程。与前一个框架相比，所提方法避免了重复的时间积分和求解离散方程所需的牛顿迭代，从而提供了优越的计算效率。间断伽辽金 (DG) 方案 [57], [58], [59], [60] 被用于全阶动力学的时间离散化。该方案提供了无条件稳定性，并具有渐近消灭高频模式的能力，对于刚性结构系统特别有利。通过增加试验函数和试探函数的插值阶数，该方案相对容易地实现了更高的收敛阶，为时间离散化提供了一个灵活且鲁棒的框架。

除了逆转时间离散化和基于 IM 的模型降阶的顺序以获得计算效率外，本文还引入了几项关键创新：(1) 基于浮动参考系的全阶状态空间控制方程在本工作中被重新构建。这种新的 formulation 消除了作者此前研究 [56] 中使用的拉格朗日乘子和控制浮动参考系整体运动的方程。这种改进导致更大的简单性和提高的计算效率，提供了一种比此前研究中提出的方法更精简的方法。(2) 与传统的状态转移方程显式形式不同，全阶方程中的状态转移关系是隐式构造的，以避免破坏由 DG 方案产生的大规模矩阵的稀疏模式。这种 formulation 允许上同调方程利用系统矩阵的稀疏模式，进一步优化计算性能。(3) 提出了高阶上同调方程分层求解的高效解决方案策略。而不是像 [56] 中那样使用 Schur 分解，该策略采用降阶动力学内系数矩阵的对角分解。这种方法允许完全耦合的列向方程解耦为一系列独立的线性系统，显著减少了高维系统流形构造所需的数值工作量。

本文的其余部分组织如下。第 2 节介绍了关于几何精确梁公式和张量运算的预备知识。第 3 节推导了自由梁和梁组件动力学的状态转移方程。第 4 节提出了基于 IM 的模型降阶，第 5 节描述了降阶模型中浮动参考系运动的时间积分方案。第 6 节提供了涉及复杂度递增情况的数值验证。最后，第 7 节得出结论。

章节片段

预备知识 本节介绍了本工作的预备知识。几何精确梁的动力学模型在第 2.1 节中介绍，第 2.2 节简要回顾了本文所用张量运算的符号。

自由梁动力学的间断伽辽金离散化及状态转移方程 在本节中，间断伽辽金 (DG) 方案应用于自由梁动力学的时间离散化，从而得出状态转移方程。第 3.1 节介绍了自由飞行梁的浮动参考系公式，并推导了一阶状态空间形式的控制方程。

与作者们在参考文献 [56] 中的先前公式化方法不同，当前的公式化方法消除了用于强制弹性正交性的六个拉格朗日乘子。基于不变流形的模型降阶

在本节中，针对离散系统 (41) 开发了基于不变流形（IM）的模型降阶方法。在 4.1 节中，引入了 ??i、??f 和 ?? 的流形参数化，以及降阶状态转移关系。该构造的一个核心要求是不变性条件：全阶状态转移映射必须使流形保持不变；也就是说，流形上的每一个状态必须映射到同一流形上的另一个状态，并保持可由。漂浮坐标系运动的时域离散化

漂浮坐标系运动张量 ??r 是使用 DG 方案从漂浮坐标系速度 ??r 积分得到的。考虑从 ??i 到 ??f=??i+? 的一个时间步。??i 和 ??f 时刻的降阶状态分别记为 ??i 和 ??f。终端降阶状态 ??f=???(??i) 是通过式 (55) 中的转移映射由 ??i 确定的，而离散的漂浮坐标系速度 ??r 则获得为 ??r=??r????(??i)。对于 ??∈[??i,??f]，令 ??r?(??) 表示与相对运动 ???1r?(??i 相关的运动参数向量

数值算例。在本节中，通过五个结构和几何复杂度递增的数值算例，系统地评估了提出的离散时间状态转移方程基于 IM 的降阶方法（记为 D-IM）的性能，所有算例均使用三阶多项式展开。这些算例包括平面自由梁动力学、空间自由梁动力学、强曲率莫比乌斯型闭梁、作为梁和刚体建模的大长宽比无人机（UAV）

结论。在本文中，提出了一种用于基于不变流形的模型降阶的“先时域离散化后降阶”程序。梁动力学是使用漂浮坐标系参考系公式化的，其中运动学被分解为虚拟刚体运动和相对于该构型测量的弹性变形。与以前的开发相比，仅保留独立的动力学方程，且不引入拉格朗日乘子。该不连续的

CRediT 作者贡献声明。Yifan Qi：写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，探究，形式分析。Shilei Han：写作 – 回顾与编辑，验证，监督，方法论，探究，形式分析，概念化。Minghe Shan：写作 – 回顾与编辑。Qiang Tian：写作 – 回顾与编辑，资金获取。

利益冲突声明。作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文报告的工作。

致谢。本工作得到了国家自然科学基金委员会的支持（项目编号：12494561, 12572042, 12572043）。

Yifan Qi|Shilei Han|Minghe Shan|Qiang Tian