基于Frobenius理论的缩放边界有限元方法，适用于具有角奇点的变系数椭圆问题

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Frobenius-theory-based scaled boundary finite element solution for variable-coefficient elliptic problems with corner singularities

　　摘要
许多工程问题可以用带有近似边界条件的椭圆型偏微分方程（PDEs）来描述。边界几何形状的尖角可能会导致解中出现奇异性。尽管主流的有限元方法和边界元方法对于平滑解表现良好，但在靠近尖角的地方，其精度和收敛速度会下降。缩放边界有限元方法（SBFEM）能够在不需要解析奇异函数的情况下解决尖角奇异性问题。然而，现有的SBFEM方案无法自然地处理尖角奇异性行为以及变系数效应。本研究开发了一个适用于变系数椭圆PDEs的通用SBFEM框架。推导出了一种基于Frobenius理论的算法，用于构建完整的基本解空间并消除特征值共振。理论推导表明，尖角奇异性的特征主要由扩散系数的常数项控制。通过与谱元方法（SEM）和扩展有限元方法（XFEM）的单子域基准测试，验证了该方法在奇异建模方面的精度、收敛性和稳定性。额外的多子域示例展示了其在工程问题中的可扩展性和适用性。

引言
工程问题，包括弹性问题、热传导问题和静态/频域波传播问题，通常由椭圆型偏微分方程（PDEs）控制。成熟的数值求解器，如有限元方法（FEMs）、有限差分方法（FDMs）、边界元方法（BEMs）和谱方法，对于具有平滑解场的问题表现良好。然而，诸如尖角之类的几何不连续性会导致解出现奇异性，并产生无界的场梯度。传统的数值方法无法表示这些奇异特征，从而降低了计算精度和收敛速度[1,24]。
为了消除由奇异性引起的数值误差，研究人员开发了两种主流的奇异处理方法：奇异函数方法（SFMs）和对偶奇异函数方法（DSFMs），这两种方法最初由Blum和Dobrowolski[8]进行分类。前者通过引入解析的角特征函数来丰富标准近似空间，以提高局部近似精度[1,15,20,56]。后者通过用对偶特征函数丰富测试空间来分离奇异成分，只保留常规成分。研究人员已将这些技术扩展到拉普拉斯方程、热传导问题、弹性问题和流体流动问题[12,28,38]。
尽管这些方法具有坚实的数学基础，但在实际工程问题中的适用范围仍然有限。相比之下，扩展有限元方法（XFEM）采用了一种类似的丰富策略，将低阶奇异裂纹特征函数嵌入到有限元近似空间中。它已广泛应用于断裂模拟[4,25,37,39,63]。类似的策略也已在谐波多项式单元方法[35]和奇异函数边界积分方法[2,14,18]中实现。此外，还采用了专门的基函数来近似流体-结构相互作用问题中薄障碍物上的量[36,44,55,61,62]。然而，这种方法并未完全解决计算域内的奇异场特性。
为了开发一个适用于多种PDEs的多用途数值框架，本研究采用了缩放边界有限元方法（SBFEM）。与前述的奇异处理技术不同，SBFEM能够自动生成基函数来表征尖角奇异场。它在处理由弹性问题和断裂力学[29,30,34,59]、热传导[[27], [53]]、势流问题[13,16,17,45]和波传播[22,23]引起的奇异问题方面获得了广泛应用。SBFEM使用由周向和径向定义的缩放坐标系统。数值形状函数沿周向构造，而径向基函数则是解析推导出来的。对于常规解，径向项取多项式形式；对于奇异解，径向项取分数阶形式，这是SBFEM在奇异性分析中的核心优势。
径向基函数是从所谓的SBFE方程的基本解空间中选择的，其数学形式和解决方法在不同物理场景下有显著差异：
(1) 对于弹性静态和拉普拉斯问题，SBFE方程采用二阶欧拉型矩阵常微分方程（ODEs）的形式——这是原始和经典的SBFEM公式。对于这类问题，应用特征值分解（EVD，[51]）和舒尔分解（SD，[47]）。将径向和周向基函数结合在一起，得到SBFEM形状函数，从而构建多边形单元。Song[48]进一步提出了一种筛选有效基函数的程序。后续工作进一步研究了SBFEM形状函数的完整性[31,57]。基于SBFEM的多边形单元已广泛扩展到动态断裂建模[42,43,59,60]。此外，SBFEM形状函数还被纳入XFEM框架中，作为处理尖角和双材料界面奇异性的丰富项[9]。
(2) 当扩展到频域弹性动力学和亥姆霍兹问题时，将与径向坐标相关的二次项引入SBFE方程，形成带有二阶修正项的修正欧拉型ODE系统。对于圆形域的特殊情况，可以使用贝塞尔函数方便地获得基本解[32,54]。然而，在一般情况下，获得基本解非常困难。为此类方程开发了两种典型的解策略：Song和Wolf[51,52]以及Song和Vrcelj[50]提出了一种级数展开方法，用于构建此类SBFE方程的完整解空间；Yang等人[58]提出了一种基于Frobenius的简化解决方案框架，通过迭代地向基本解添加高阶修正项来实现收敛。实际上，当不需要详细内部场特征时，研究人员将SBFE方程转换为Riccati型公式，以便使用高效的连分数算法[3,6,7,21,49]。
(3) 然而，在更广泛的研究领域中，控制方程可能包含变系数情况，这带来了显著困难：相应的SBFE方程变得非常复杂，难以获得封闭形式的解。功能梯度材料（FGM）问题是一个典型的代表。当前的主流解决方案依赖于分段局部均质化近似[10,11,29]。这种方法需要将计算域划分为大量子域。在每个子域内采用基于均匀材料假设的基函数，并在刚度和质量矩阵组装过程中嵌入空间变化的材料属性。尽管这种方法可以准确预测关键的奇异力学量，但它无法严格再现变系数控制方程的固有数学特性。
鉴于上述限制，本研究开发了一个适用于各种PDEs的多用途数值框架。在Frobenius理论框架内，并受到Song和Wolf[51]提出的完整解方案的启发，本研究构建了完整解空间，以表征一般变系数椭圆PDE中的尖角奇异行为。与Yang等人[58]报道的简化基于Frobenius的策略相比，当前公式包含了对数奇异分支，解决了由特征值共振引起的简并问题（即特征值相差整数），并产生了明确的数学结构。与FGM导向的SBFEM中广泛采用的分段局部均质化方法不同，本研究直接解决了原始的变系数控制方程，从而避免了由于模型简化而导致的精度损失。

本文的结构如下。第2节给出了具有变系数的通用椭圆PDE的SBFE方程。第3节提出了专门针对变系数SBFE方程的解算法，并阐明了每个子域内的局部近似策略。第4节首先通过与谱元方法（SEM）和XFEM进行单子域基准比较，进一步通过求解波-结构相互作用模型作为代表性应用示例。最后，第5节总结了本研究的主要结论。

SBFEM框架概述
大多数几何离散化和半离散化程序遵循Song和Wolf[51]以及Song[47]建立的标准框架。本节重点关注广义SBFE控制方程的推导以及ξ依赖系统矩阵的系列预处理，为第3节提出的基于Frobenius的求解器提供了数学基础。
本研究中考虑的目标椭圆PDE为???·(???(??)·?????(??))+???(??)????(??)+???(??)=0，其中??=(??1,??2)T是平面坐标；??

SBFE方程的基本解空间
本研究采用Gerald[19]中的定理4.8和4.9作为理论基础，分别重新表述为定理3.1和3.2：
定理3.1
假设???(??)在域???={??∈??|0<|???|定理3.2
假设???(??)在???={??∈??|0<|???|
单子域性能分析和多子域演示
本章分为两部分，用于验证所提出的SBFEM的性能。第4.1-4.5节侧重于子域特性分析。构建了一个单子域基准，用于后续的精度收敛性评估。第4.6节进一步提出了代表性的多子域模拟，以展示其在工程分析中的能力。解决的示例包括具有多变地形和多个几何奇异性的波-多结构相互作用问题。

结论
本研究为具有变系数的通用椭圆PDE开发了一种通用SBFEM，重点关注二维尖角奇异性。该方法通过与SEM、XFEM和超奇异BEM的数值比较得到了验证。主要结论总结如下：
(1) 推导了适用于变系数椭圆方程的广义SBFE方程。建立了一种基于Frobenius理论的严格算法，用于构建完整的基本解空间。

作者贡献声明
钱一欣：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，验证，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。
任志豪：写作——审阅与编辑，验证，方法论，调查，形式分析，概念化。
缪宇吉：写作——审阅与编辑，监督，调查，资金获取，概念化。
唐明刚：监督，调查，概念化。