一种在相场框架下，充分融入物理原理且基于微观结构互联的多尺度拓扑优化方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A fully physics-informed and microstructurally interconnected multi-scale topology optimization method within the phase-field framework

　　**摘要**
在本文中，我们提出了一种完全基于物理原理且微观结构相互关联的多尺度拓扑优化方法，该方法建立在相场框架内。所提出的方法采用双尺度耦合交替优化架构，通过宏观-微观耦合位移神经网络和宏观-微观耦合相场神经网络的共同演化，实现完全由物理规律驱动的多尺度设计。通过均质化理论将微观结构效应整合到宏观尺度响应中，构建了多尺度耦合能量泛函。具体而言，耦合宏观-微观位移神经网络的物理损失是根据最小势能原理和均质化理论制定的。同时，在相场框架内引入了多尺度相场能量泛函，并在耦合宏观-微观相场神经网络的损失函数中加入了连接性指数惩罚项。这种表述方式将耦合的多尺度物理关系纳入了网络训练过程。此外，还进行了宏观单尺度预优化，以初始化后续的多尺度优化。自动微分技术的使用避免了复杂的敏感性分析过程。多种数值实验验证了所提出方法的有效性和可行性。

**引言**
普遍存在的生物结构，如骨骼[1]和木材[2]，通过周期性或功能渐变的微观结构排列，结合了轻质特性和优异的机械性能[3]。这些天然系统为工程应用中的多尺度结构设计提供了重要启示[4]、[5]、[6]。受这些系统的启发，多尺度拓扑优化（TO）已成为通过同时优化宏观配置和微观拓扑来设计高性能结构的重要方法[7]、[8]。由于多孔结构的有效性能在很大程度上取决于微观几何构型[9]，三周期最小表面（TPMS）因其高比表面积、平滑曲率和制造优势而被广泛用于微观设计[10]。然而，在涉及多种微观结构的并行多尺度设计中，几何不匹配和相邻代表体积元素（RVEs）之间的弱连接可能会中断载荷传递路径，从而降低结构刚度和可制造性[11]、[12]、[13]。多尺度拓扑优化的发展与多尺度计算方法的进步密切相关。传统的均质化理论基于尺度分离假设，建立了微观周期性结构与宏观有效响应之间的联系，为并行设计提供了理论基础[14]。最近的多尺度方法通过引入高阶修正，提高了局部细尺度恢复能力；而三尺度及以上的多尺度方法明确考虑了宏观、介观和微观尺度之间的相互作用，适用于复杂的异质系统[15]、[16]。此外，局部正交分解方法通过局部细尺度修正构建自适应的多尺度逼近空间，对于具有高度振荡系数或传统周期性RVE描述受限的问题提供了有效策略[17]。然而，在拓扑优化迭代过程中，宏观状态分析、微观均质化、材料演化以及界面兼容性约束仍需要重复的耦合过程。这种嵌套计算仍然是实现具有演化微观结构的高效且物理一致的多尺度优化的重大挑战。

为了解决复杂的拓扑演化及界面相关问题[18]、[19]、[20]，基于能量泛函的相场方法使用连续场来描述材料分布，并自然地处理通过扩散界面发生的拓扑变化[21]、[22]、[23]。这些方法可以有效缓解基于密度方法的棋盘格图案和灰度伪影[24]、[25]、[26]。然而，现有的相场拓扑优化框架严重依赖于有限元离散化和显式迭代求解器[27]、[28]。在多尺度问题中，宏观分析与微观均质化之间的耦合随着维度、微观结构数量和优化次数的增加而显著增加计算成本，限制了其在三维复杂领域和并行多尺度设计中的应用。为了减轻传统基于有限元的拓扑优化的计算负担，已将机器学习方法引入拓扑预测、隐式参数化和微观结构-性能映射任务[29]、[30]、[31]。现有研究采用CNNs进行不规则网格上的拓扑预测[32]，基于VAE的方法进行隐式微观结构-性能映射[33]，傅里叶神经运算符提高水平集优化精度[34]，以及结合多尺度有限元方法的神经网络进行结构优化[35]、[36]。尽管这些方法在加速非线性映射方面非常有效，但大多数数据驱动的方法严重依赖大规模标记数据集。由于物理约束通常是通过间接方式引入的，这些模型在边界条件变化时可能具有有限的泛化能力，并且难以保持机械一致性和结构连续性[37]、[38]。

**物理信息神经网络（PINNs）**将物理知识（包括控制方程残差、变分原理、能量泛函和边界条件）纳入神经网络训练目标，为基于物理约束的拓扑优化提供了另一种途径[39]、[40]。在结构优化中，物理约束可以通过显式微分方程残差或变分公式（如深度能量方法[41]、[42]、[43]）引入，其中机械响应是从总势能的稳态条件获得的。Jeong等人[44]开发了CPINNTO框架，该框架通过深度能量方法和自动微分减少了对外部有限元分析的依赖。后续研究进一步将基于PINN的拓扑优化扩展到动态配置和主动采样[45]、分级多尺度设计[46]、带有边界混合策略的逆均质化网络[47]以及几何非线性多材料优化[48]、[49]。然而，现有的基于PINN的方法在并行宏观-微观拓扑优化方面仍面临挑战。大多数研究集中在单尺度状态-设计耦合或局部多尺度映射上，而微观均质化、宏观响应和相场演化之间的闭环相互作用尚未得到充分探索。此外，微观结构连通性通常通过预处理、边界混合或后处理校正来处理，而不是在统一的基于物理信息的优化框架内与拓扑演化和有效性能更新相结合。

本文提出了一种完全基于物理原理且微观结构相互关联的多尺度拓扑优化方法，称为FPIMI-MSTO。与主要针对单尺度结构优化的基于PINN的方法不同，该框架将宏观和微观尺度状态场、相场变量及界面约束在物理指导的优化过程中耦合起来。与基于PINN的方法不同，它参数化了宏观位移、RVE位移响应、宏观相场以及多个微观相场，并通过交替的宏观-微观优化进行更新。与基于分离的有限元分析和均质化的传统相场多尺度优化不同，能量一致的微观均质化被嵌入到基于物理信息的训练过程中，使得微观结构演化能够更新有效性能，并影响宏观柔顺性和相场演化。此外，FPIMI-MSTO引入了连接性指数作为微观相场优化中的惩罚项，允许相邻RVEs之间的几何兼容性对拓扑演化做出贡献。具体而言，FPIMI-MSTO建立了一个用于耦合宏观-微观设计的基于物理信息的交替优化框架。位移网络的物理损失基于最小势能原理、均质化理论和RVE周期性约束构建，从而能够在弱形式意义上通过总势能的稳态条件获得机械平衡。相场网络通过考虑宏观-微观耦合弹性能量、金兹堡-朗道自由能、体积约束、微观结构校正项和连接性惩罚来进行优化。宏观单尺度预优化为多尺度优化提供了有效的初始化，而自动微分技术无需显式的有限元敏感性分析即可传播能量泛函的梯度。二维和三维的数值示例证明了该方法在不同边界条件、加载场景、微观结构配置和复杂设计领域下的有效性。

**本文的剩余部分组织如下**：第2节介绍相场拓扑优化和多尺度均质化模型；第3节介绍所提出的完全基于物理原理且微观结构相互关联的多尺度拓扑优化框架；第4节描述实现算法；第5节通过二维和三维数值示例验证所提出方法的性能；最后，第6节总结结论并讨论未来扩展方向。