用于优化和路径规划的即时测地线展开及其在增量复合材料板材成形中的应用

《Computer-Aided Design》：Instant geodesic draping for optimization and path-planning and its application to incremental composite sheet forming

　　

•采用广义有符号距离的热方法用于织物悬垂模拟。
•等距悬垂图案和织物剪切角在毫秒内计算完成。
•带有 Powell 细化的差分进化算法优化悬垂起始点。
•推导了一种用于增量复合材料板料成形的新型路径规划算法。
•成形结果显示了更高的几何精度和皱纹缺陷的抑制。

引言

轻量化设计是实现高性能、节能和功能增强的重要手段。连续纤维增强塑料（CFRP）作为主要轻量化材料之一，具有高强重比，在交通、能源、体育和医疗领域越来越重要 [1]。由于纤维的高度各向异性行为和嵌入基体的影响，CFRP 的材料行为极其复杂。用于预测这种行为的模拟不仅用于最终零件的设计，还用于其制造工艺 [2]。因此，过去大量研究集中在开发描述 CFRP 行为的数值方法上。根据材料属性需要表示的精度以及各个组分需要解析的精细程度，可以考虑广泛范围的建模复杂度。Lim 和 Ramakrishna [3] 大致区分了基于纯几何数据的映射方法和需要本构材料模型（即基于有限元的模拟）的力学方法。这些可以是微观（单根纤维和基体）、介观（纤维束/纱线和基体）和宏观（织物/复合材料）尺度的粘性、弹性、粘弹性 和/或塑性模型 [2], [3]。虽然尽可能真实的预测需要广泛的（至少介观）力学模型，但即使是最简单的基于映射的近似方法仍然相关。

近似方法特别必要的一个应用领域是制造过程中的织物放置优化 [4]，如手糊、（热）成形/冲压，或创新的柔性制造过程如增量板料成形（ISF）。在 ISF 中，简单的标准工具，如半球形端头工具，沿着预编程的路径移动，以在没有特定零件模具工具的情况下局部成型板料。另一个好处是，与标准冲压过程相比，ISF 中许多板料材料的成形性更高 [5]。通过连续成形具有增加深度和壁角的中间形状，可以进一步提高成形性 [6]。虽然最初是为金属板开发的 [7]，但近年来 CFRP 的 ISF 研究引起了越来越多的兴趣 [8]。该领域的大多数研究集中在单点增量成形上，该成形只使用一个工具来成形所需的目标几何形状 [9], [10], [11]。然而，最近的出版物也涉及双侧面增量成形（DSIF），它使用额外的背面工具来改善工艺的灵活性和质量，通过局部化变形和压缩铺层 [12], [13], [14]。在此背景下，[15] 开发了一种用于连续纤维增强热塑性塑料（CFRTP）成形的 DSIF 设置。它采用了两个同步的工业机器人，分别位于夹紧的板料铺层的两侧。虽然主要变形由位置控制的引导机器人引入，但第二个支撑机器人施加定义的支撑力 [15]。

虽然以前的 CFRP ISF 方法通常采用来自金属 ISF 的路径策略 [9], [10], [12]，但在 [11] 中采用了（硬编码的）纤维跟随路径，专门针对所使用的编织织物的悬垂。其概念是沿着纤维方向移动工具，从需要最少或不剪切的路径开始。从中心向外移动，以平行线的顺序遵循剪切角升序的路径，逐渐引入剪切 [16]。虽然尚未进行算法探索，地对编织 FRTP 的 SPIF 的首次调查已产生有希望的结果，导致了更高的几何精度和皱纹的减少，皱纹是 CFRP 成形中的重要失效模式 [11]。

悬垂过程是将二维织物带入三维形状，是 CFRP 生产中最具挑战性且必不可少的步骤之一，在大多数情况下需要面内剪切、面外弯曲和层内剪切以适应双曲形状 [17]。织物悬垂的关键决定因素是选择织物上的固定点以及该点处的纤维取向 [18]。在实践中，该点代表例如手糊过程中最初固定的点 [19]；在压制过程中，与模具首次接触的点是压制运动驱动的悬垂的起始点 [20]。织物的起始点和取向显著影响悬垂过程中经纱和纬纱之间或 0/90 铺层的纤维之间产生的最大剪切角，从而影响可悬垂性 [4]。同时，纤维方向自然也会影响组件在负载下的性能。过去用于优化织物放置的算法包括例如遗传算法 [21] 和粒子群优化方法 [22]。虽然这些方法适合确定全局最优结果，但它们通常需要大量的计算。复杂的计算，即使对于干织物也可能需要几个小时 [23]，导致计算时间仅对最终组件的非常高产量可接受。然而，对于中等和低产量，准备时间越来越多地影响交付周期，从而也增加了上游过程对计算时间的要求。

为了实现优化和在柔性制造过程背景下所需的极短计算时间，上述映射方法通常用于建模织物行为 [4], [24]。这些近似方法设计为尽可能独立于特定的材料属性，并依赖于基于一般增强类型的高度简化假设 [3]。由于高拉伸刚度和低弯曲刚度，通常假设增强纤维是不可伸长且自由弯曲的。对于编织织物和单向（UD）层，做出了两个细微不同的假设 [3]：干编织织物的行为由固定节点间距的假设定义，这意味着没有纤维滑移。结合上述简化，该假设导致基于纯剪切的连续力学描述。算法上，在此假设下计算出的悬垂图案通过将织物建模为由等长线连接节点构成的铰接网来实现，力学上是一个通过球关节连接的不可伸长桁架网格 [25]。这种类型的算法在当代和商业实现中通常被称为运动学悬垂 [4], [26]。网格悬垂图案的计算分三个主要步骤进行：
1.定义一个原点节点和两个垂直的初始纤维方向。
2.生成元，即两个初始纤维路径，作为从原点开始的近似测地线追踪。
3.其余节点在生成元和线段单位长度假设的约束下放置。

现有运动学算法之间的主要区别在于生成元和节点的具体确定。Krogh 等人提出了一种开源实现 [4]。在这里，近似测地线生成元通过能量最小化确定。Krogh 等人注重效率的实现通过放置在相邻节点上的两个球体的交点来计算节点。然而，使用桁架元素的实际有限元分析也是可能的 [23]。

对于 UD 层，假设不是恒定节点间距，而是相邻纤维束之间的恒定间距 [3]。由此导出的剪切行为在连续力学上等效于简单剪切。尽管上述织物和 UD 层理论描述存在差异，但在实践中，运动学悬垂模拟也用于建模 UD 铺层，假设恒定节点间距 [27]。Sun 等人比较了运动学悬垂与更广泛的模拟 [23]。正如预期的那样，运动学算法显示出明显较低的建模精度。然而，它们也需要显著减少的计算时间。运动学近似可以在桌面硬件上几秒钟内执行。而更广泛的模拟即使在高性能集群上也可能需要几分钟、几小时甚至几天。很可能是这一因素使得运动学近似在过去几十年计算能力大幅增加的情况下仍然是一种可行的优化应用方法 [22]。

本工作中开发的悬垂算法不依赖于运动学网格的局部构建，而是建立在 Keenan Crane 及其同事的工作之上，他们开发了几个基于所谓热方法的算法 [28], [29], [30]。热方法是在其他领域开发用于高效和稳健计算三角网格上的距离。它计算所谓的测地距离作为欧几里得空间中任意形状子域上两点之间的最短距离，受限于该子域。为了给出一个直观的例子，它将是山脉中两点之间的实际最短徒步路径，而不是它们的直线距离。Crane, Weischedel 和 Wardetzky [28] 最初引入的热方法计算从域上的一组点到域的所有其他点的测地距离。它利用了短时热扩散的梯度随着扩散时间接近零而变得（虚拟地）平行于测地距离梯度的事实。一个合适的直觉可能是，在非常短的时间内，表面上的随机游走热扩散中唯一相关的贡献是那些沿着最短测地线传播的贡献。

基于原始热方法和 Sharp, Soliman 和 Crane [29] 引入的矢量热方法，Feng 和 Crane 最近引入了广义有符号距离的热方法 [30]。与本工作相关的是该方法能够从曲面上的曲线计算有符号测地距离场的能力。虽然原始热方法可以通过将曲线的顶点视为多源来近似曲线的测地距离，但有符号热方法为所得场添加了三个重要属性：
•场编码方向性概念，即计算到源曲线的哪一侧。
•场，通过构造，具有平滑梯度。
•场显示出有利的边界行为。

这些属性的重要性将在第 2.1 节讨论悬垂算法实现时详细阐述。在原始热方法中，热梯度计算为标量扩散的梯度。有符号热方法相反，通过沿源曲线的源矢量场 H0 的矢量扩散获得有符号热梯度 Hsgn。计算源矢量场 H0 使其在源曲线的每一点上指向垂直于源曲线、到一致的一侧并沿表面。H0 在其他地方为 0。一旦定义，有符号热方法的矢量扩散步骤基于热方程的矢量版本，其中矢量场 Hsgn 的时间导数等效于应用连接拉普拉斯算子 Δ?: ?/?t Hsgn = Δ? Hsgn。

相应地，Hsgn 对于短时间步长 t 是通过 H0 的短时热扩散获得的，通过求解：(id?tΔ?)Hsgn=H0，其中 id 是恒等式。所得场 Hsgn 被归一化以获得归一化有符号热梯度 ?sgn: ?sgn = Hsgn / ‖Hsgn‖。?sgn 近似有符号测地距离的梯度 ??sgn。因此，通过求解泊松方程找到 ?sgn: Δ?sgn = ???sgn。

热方法基本上将测地距离计算分解为两个（稀疏）线性求解和一个中间归一化步骤。这允许它们利用成熟的线性求解器，使它们极其高效。对相同底层域的重复计算可以重用最初计算的预分解，进一步加速这些求解。

我们的工作使用广义有符号距离的热方法来开发一种基于恒定纤维间距假设的全局计算方法，这也适用于多种纤维取向。因此，它也可用于预测例如正交铺层或编织织物中的剪切。由于不满足恒定交叉点距离的条件，对于具有更强纤维滑移倾向的铺层和编织织物，其映射精度可能高于表现出严格运动学行为的织物。

尽管对各种材料的运动学近似与本研究开发的方法的准确性的实证比较超出了本工作的范围，但我们确实对这两种方法的结果进行了定性和定量的比较。除了预测差异之外，还比较了这两种方法的计算效率。Krogh 等人 [4] 在其 Python 实现中面向效率的实现作为本工作中的参考实现，因为这允许在相同条件下直接比较两种方法。

该算法极高的计算效率使得剪切角分布的快速可视化成为可能。为此，本工作展示了一个基本软件工具。出于同样的原因，该算法天然特别适合优化任务。此处通过一个基本优化算法的示例进行了演示，该算法仅需几秒钟即可为铺设过程找到剪切角优化的起始位置。作为本工作的一部分，我们使用已知最优解显而易见的几何形状对该优化步骤进行了初步验证，以便将优化结果与明确的基准真相进行比较。

作为一种映射方法，本工作开发和研究的新型铺设算法的潜力在于工程和制造技术。虽然它通常不限于该领域，但我们特别关注其在增量 CFRP 成形方面的潜力。在此背景下，铺设起点的快速确定和成形刀具路径的推导都是关键应用。除了结合增强纺织品的行为外，测地线方法确保形成路径是等距的，从而实现良好的表面质量。为了利用这些特性，开发了一种用于 CFRP ISF 的路径规划流程，该流程使用新开发的铺设算法作为跟随纤维路径规划的基础。通过在双边增量成形装置上制造样件并与传统路径策略进行比较，验证了该路径规划流程。

章节片段
测地线铺设算法
目前，近似织物铺设的首选方法是运动学铺设，无论是对于机织物还是 UD 层叠。然而，某些特性使其不太适合路径规划等应用。在制造过程的路径规划背景下，有两种期望的特性，而当前的运动学方法缺乏：许多制造过程受益于甚至需要（接近）等距路径间距，这通常被称为恒定波纹宽度。

成形实验
为了实际评估路径规划算法，在专门为 CFRTP 成形开发的热 DSIF 装置上进行了增量成形实验 [15]。该装置如图 10 所示。它采用两台 KUKA KR 300 工业机器人，位于垂直夹紧框架的相对两侧，该框架能够夹紧 350 x350 mm2 的板料层叠。由于纤维近乎不可拉伸的特性，所用的 Ensinger TECATEC SAN CF47 CFRTP 板料无法直接夹紧。相反，它

角度预测
图 11 展示了 Krogh 等人 [4] 实现的运动学铺设算法与本工作开发的测地线铺设算法结果的定性比较。用于算法比较的几何形状是一个具有三种不同壁角的四棱锥。底部的高角度区域 (60°)，指向顶部的低角度区域 (40°) 以及一个小的过渡区域 (10°)。如图所示，对于这种更复杂的，两种算法产生了定性相似的结果

讨论
本工作的结果表明，新开发的测地线铺设算法的剪切角预测与最先进的运动学铺设模拟相似。当横向于母线的曲率较小时，情况尤其如此。随着母线放置靠近棱线，近似值似乎发散得更显著。需要进一步的研究来评估在这些情况下哪种方法更好地近似真实的纺织品行为以及对于

结论
在本工作中，提出了一种新型测地线铺设算法，作为运动学铺设的有效替代方案，该方案产生等距纤维束并直接作用于输入网格几何。该算法被用于构建快速起点优化、实时可视化工具以及用于 CFRP 增量成形的路径规划流程。该开发的所有步骤都在多项数值研究和现实世界实验中得到了演示。该铺设

CRediT 作者贡献声明
Doran Nettig：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。Jan-Erik Rath：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，监督，调查。Johann Kipping：写作 - 审查与编辑，方法论，概念化。Thorsten Schüppstuhl：监督，资源，项目管理，资金获取。
竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些可能影响本论文报告的工作。
Doran Nettig|Jan-Erik Rath|Johann Kipping|Thorsten Schüppstuhl