允许 T 型连接的 G1 超限插值 Coons 曲面

《Computer-Aided Design》：G1 transfinite interpolation Coons surfaces allowing T-junctions

　　

•提出了一种允许 T 型接点的??1 超几何插值 Coons 方案。
•推导了所得等参 Coons 曲面片的??1 连续性。
•将该方案应用于重建开放三维三角网格和二元函数。
•该方案在多片等参超几何单元分析中具有优势。
引言
计算机辅助设计（CAD）作为一个快速发展的新学科，在工业设计、医学成像和军事等领域有着广泛的应用。构建既美观又满足各种要求的曲面是 CAD 中待解决的关键问题之一。一类经典曲面是由 Bézier 和 B 样条曲面表示的基于控制网格的曲面，这些曲面依赖于改变控制点的空间位置来变形曲面。然而，这些方法在某些应用中存在缺点。问题之一是当调整曲面内部形状时，边界函数值或偏导数会同时受到影响，无法满足保持边界形状的要求。为解决此问题，Coons [1] 提出了一种独特的基于矩形拓扑的曲面构建方法，通过插值四条边界曲线（可以是任何类型的参数曲线），称为 Coons 曲面。Gordon [2] 使用三次埃尔米特基函数构建双三次 Coons 曲面，将其解释为布尔和曲面，并称这种方法为超几何插值。具有??0 连续性的双线性 Coons 曲面片和具有??1 连续性的双三次 Coons 曲面片在实践中被广泛使用。为了增强经典双线性 Coons 方案的连续性，Bercovier 和 Shilat [3] 引入了辅助气泡函数，从而在曲面片边界之间实现了??1 连续性。

然而，随着曲面几何建模技术的应用越来越广泛以及设计曲面的形状变得越来越复杂，矩形拓扑的一些局限性显现出来。许多学者开始研究非矩形拓扑的曲面片，例如三角曲面片。Gordon [4] 将 [2] 的方法扩展到三角域，提出了三角域上 Coons 曲面的构造方法。Barnhill 等人 [5] 首先提出了边 - 边方法，该方法使用布尔和推导有理混合插值函数，用于构造插值边界值和偏导数的三角曲面片。在 [6] 中，Nielson 提出了边 - 顶点方法，该方法基于三个插值算子的凸组合，这三个算子由沿连接顶点及其对边的线段进行的单变量插值组成。在 [7] 中，引入了一种基于广义重心坐标的新参数超几何插值方案，统一并推广了矩形和三角形 Coons 曲面片。

为了克服矩形网格在自适应局部细化中的局限性，T 网格作为可局部细化的网格结构，在曲面建模领域引起了广泛关注。Sederberg 等人 [8] 基于 T 网格上每个锚点周围的拓扑连接关系定义了双三次 B 样条基函数，并通过取其加权有理形式构建了 T 样条混合函数，从而引入了 T 样条。近年来，AST 样条 [9]、AS++T 样条 [10]、PHT 样条 [11] 以及许多新颖的 T 样条相继提出，T 网格上逼近样条的理论得到了改进和发展。关于 T 网格上插值样条也有一些最新研究。2013 年，Schumaker 等人 [12] 讨论了在 T 网格上使用多项式样条的埃尔米特插值。Zhu 等人 [13] 在规则 T 网格上构建了一类??2 插值 T 样条基函数。尽管如此，关于应用于 T 网格的超几何插值方法的研究仍然相对稀缺。Birkhoff 等人 [14] 的早期基础工作引入了一种基于局部混合单变量插值的多变量逼近方案，在重叠的子曲面片上使用分段三次埃尔米特多项式，这一思想在概念上预示了现代对 T 型接点的处理。基于这种局部混合的精神，Cavendish 等人 [15] 提出了一类基于混合插值的局部细化宏单元。2019 年，Wang 等人 [16] 提出了一种基于层次 T 网格的 Coons 插值曲面方法，以实现自适应局部细化。然而，该方法需要提供每个矩形单元四个角点指定的切向量和挠率向量，且仅适用于层次 T 网格，不适合更一般的 T 网格。Provatidis [17] 提出了一种加权超几何插值框架，将权重和非基混合函数集成到经典的 Gordon-Hall 公式中，但仅适用于略微非结构化的曲线曲面片。

等几何分析（IGA）由 Hughes 等人 [18] 引入，通过利用相同的样条基函数来表示 CAGD 中的几何和 FEA 中物理解的逼近，以弥合计算机辅助几何设计（CAGD）和有限元分析（FEA）之间的差距，在过去二十年中引起了广泛关注。现实世界的工程应用通常涉及复杂几何，需要多片表示，其中域被分解为几个非重叠的曲面片。多片 IGA 中的一个重大挑战是确保跨越曲面片接口的??1 连续性。将各个曲面片以???? 连续性耦合主要有两种方法。第一种方法不修改各个曲面片上的等几何空间，而是在曲面片接口处弱施加连续性，IGA 中最常见的弱耦合方法是不连续伽辽金方法 [19]、[20]、Nitsche 技术 [21]、[22]、Mortar 方法 [23]、[24]、[25] 以及域分解方法 [26]、[27]。提出了一种基于 Nitsche 方法结合有限单元法的弱耦合方法，通过一致的变分公式和自动稳定化在接口处实现??1 连续性 [28]。第二种方法使用全局定义的基进行多片域上的等几何模拟，从而修改每个曲面片上的空间并以???? 连续性显式耦合它们。在 [29] 中，基于 [30] 首次证明的事实构建了??1 连续的等几何函数，即等几何函数的???? 连续性等价于其图形曲面的???? 连续性，其中?? 是正整数。Chan 等人 [31] 通过沿曲面片接口局部提高多项式阶数来克服??1 锁定，并采用最小确定集来构建具有局部支撑的基函数，从而在多片等几何分析中实现了??1 连续性。1973 年，Gordon 等人 [32] 提出了等参超几何单元，其中相同的超几何插值公式用于元素的几何描述和未知解的逼近，这与 IGA 的思想一致。其分段构建的特性自然符合多片 IGA，且超几何插值特性在几何描述方面显示出一些优势。

然而，上述多片方法不允许相邻曲面片接口处存在 T 型接点，这限制了复杂域的细分。Atroshchenko 等人 [33] 提出了 GIFT 方法，具有固定的 NURBS 几何和独立的 PHT 样条场空间，通过 PHT 样条支持每个曲面片内部的 T 型接点。讨论了允许 T 型接点的通用超几何单元的构建，应用于动力学 [34]。在 [35] 中，提出了一种允许 T 型接点的多片 IGA 方案，并通过基于约束的方法跨越曲面片执行连续性条件，在曲面片接口处实现??0 连续性，从连续性条件矩阵的零空间构建全局协调基。在 [36] 中，开发了一种本质上适应 T 型接点的鲁棒多片 IGA 框架，并通过 Nitsche 型方法在曲面片接口处弱实现??1 连续耦合。

本工作的主要目标和贡献归纳如下：
•提出了一种新的允许 T 型接点的构造??1 连续曲面片的超几何插值 Coons 方案。该方案具有局部线性再生性。且所得相邻的??1 等参 Coons 曲面片是??1 连续的。
•我们将新颖的??1 超几何插值 Coons 方案应用于重建开放三维三角网格。我们将新颖的??1 等参超几何单元应用于拟合二元函数。实验结果表明，新方法既适用于层次 T 网格，也适用于一般规则 T 网格。
•在多片等参超几何单元分析中，所提出的??1 等参 Coons 方法展示了三个关键优势：通过 T 型接点进行灵活的域细分、复杂域的精确表示以及通过超几何插值直接满足狄利克雷边界条件，并通过向未知系数添加约束严格施加跨越曲面片的??1 连续性。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍了新的超几何插值 Coons 方案，用于构造允许 T 型接点的??1 连续曲面片。具体而言，对于每个曲面片，将开发新的分段三次混合函数。基于这些，四条给定的??1 边界曲线将通过经典的布尔和算子混合在一起。并将推导相邻曲面片之间公共边界曲线上??1 连续性的相应兼容性条件。通过 [30] 中给出的重参数化方法，证明了相邻??1 等参超几何单元之间的??1 连续性。提供了一些关于新超几何插值 Coons 方案的示例。在实际应用中，通常只给出采样点而不提供边界曲线骨架，因此在第 3 节中，我们开发了一种构造??1 三次埃尔米特插值曲线的简单方案，可用于构造边界曲线骨架，并讨论了新颖 Coons 方案的局部线性再生性。在第 4 节中，我们使用允许 T 型接点的新颖??1 超几何插值 Coons 曲面重建开放三维三角网格，且二元函数的拟合曲面将通过??1 等参超几何单元构造。此外，新颖的??1 等参超几何单元也将用于基于多片等参超几何单元分析求解具有狄利克雷边界条件的数值泊松方程。给出了与 [32] 中给出的经典 Coons 超几何单元分析以及 [33] 中基于 PHT 样条的 GIFT 方法的比较。最后，第 5 节将给出结论。

章节片段
允许 T 型接点的超几何插值 Coons 曲面片
描述曲面的方法涉及将其点的坐标??、??、??与两个独立变量??和??相关联，这种关系表示为 [??,??,??]T=[???(??,??),???(??,??),???(??,??)]T????(??,??),(??,??)∈[0,1]2??2。在此框架内，Coons 方法通过分段方式邻接曲面片来设计和描绘复杂曲面，见 [1]。一个典型的 Coons 曲面片???(??,??) 可以被认为是由四个给定的边界空间参数??1 三次埃尔米特插值曲线和局部线性再生性混合而成的曲面段
??1 三次埃尔米特插值曲线和局部线性再生性
在某些实际应用中，只给出采样点的值，且具有??1 连续性的边界空间曲线通常是未知的。因此，我们需要基于给定的采样数据分别沿?? 和?? 方向构造??1 连续曲线骨架。设????=(????,????,????),??=1,2,…,??为给定的采样数据，????为在????处给定或估计的一阶导数向量。边界骨架的每一段由一条插值的??1 参数曲线???(??)定义
重建开放三维三角网格
给定一个三维空间中顶点为????∈?3,??=1,2,…,??的开放三角网格，????,??=1,2,…,??的相应参数值 (?????,?????)∈?2 是通过 [39] 开发的共形参数化方法获得的，且参数域假设为 [0,1]2。为了构造一个??1 双三次插值 Coons 曲面以重建给定的曲面三角化，我们首先在参数域 [0,1]2 上逐层设计一个层次 T 网格 ∪????=1????，其中????是矩形
结论
这项工作提出了一种新颖的超几何插值 Coons 方案，用于构造适应 T 型接点的??1 连续曲面片。该方法的核心在于开发新的分段三次混合函数，基于 T 型接点的参数坐标定义。然后，混合函数与经典的布尔和算子一起使用，混合四条给定的??1 边界曲线。此外，实现??1 所需的详细兼容性条件
CRediT 作者贡献声明
罗少杰：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，软件，数据整理。朱元鹏：写作 - 审查与编辑，监督，资金获取，概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文中报告的工作。
致谢
我们感谢匿名审稿人提出的宝贵改进意见。

特别感谢他们对混合函数对称构造提出的意见，这指导我们优化了该方法。本研究得到了国家自然科学基金（编号：12571406）和广东省基础与应用基础研究基金（编号：2024A1515010413, 2025A1515011263）的支持。罗少杰 | 朱元鹏