基于指数控制的时空多权重有向网络的固定时间无源性与同步

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Exponential Control-based Fixed-Time Passivity and Synchronization of Spatiotemporal Multi-Weighted Directed Networks

　　

摘要 研究了多权重时空有向网络的固定时间无源性和同步控制问题。首先，提出了两种指数控制策略，它们仅包含单个指数项。其次，对于对应于每个权重的强连通和断开拓扑的有向网络，通过采用克罗内克排序技术、变量重排技术和泰勒展开，研究了误差系统的固定时间无源性。此外，利用获得的严格无源性结果，推导了两个固定时间同步准则，并使用固定时间稳定性理论建立了同步时间的上界。最后，给出了两个数值例子来验证推导的有效性。

引言 过去几十年，复杂动态网络（CDNs）作为有效模拟自然现象和人工系统的关键工具，引起了广大学者的广泛关注，并取得了许多优异成果 [1], [2]，这得益于其在生物系统 [3]、电路系统 [4]、交通系统 [5] 等领域的广泛应用。值得注意的是，大多数提出的网络模型由常微分方程描述，主要关注仅依赖时间演化的动态网络模型。然而，许多复杂的自然现象和工业过程，如物种迁移 [6]、化学反应和温度分布 [7]，既依赖于时间变化也依赖于空间演化。此外，空间扩散在不同复杂网络中起着重要作用，例如城市交通网络中行人和交通流的扩散 [8]，以及社交网络内的信息传播 [9]。据我们所知，偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型方程。反应扩散方程作为抛物型偏微分方程的一个重要类别，反映空间传输信息，能够更真实地描述某些网络。基于上述事实，建立了一类具有空间变量和反应扩散项的 CDN，使用偏微分方程进行描述，称为时空复杂网络（SCNs）。目前，SCNs 的各种动态特性已被广泛研究，如稳定性 [10]、同步 [11] 和无源性 [12]。

同步，作为 CDNs 中的集体现象之一，描述了具有不同初始值的网络节点的动态演化最终收敛到同一状态。迄今为止，关于 SCNs 同步的许多研究成果已经取得 [13], [14], [15]。应强调的是，上述工作主要集中在 SCNs 的渐近同步上，这意味着随着时间趋向正无穷，最终达到同步目标。然而，在现实工程场景中，由于设备和执行器有限的寿命和控制精度，这种同步速度是不切实际的。例如，在有限时间内完成公交车调度和路线调整对于保证城市交通的高效运行至关重要。为了提高 CDNs 的收敛速度，提出了有限时间（FNT）收敛的概念 [16]，并广泛用于 SCN 模型的同步研究 [17], [18]。

特别值得注意的是，上述结果中的收敛时间高度依赖于初始状态。这导致了两个主要缺点。首先，当初始值足够大时，收敛时间可能变得过大。其次，目标系统的初始状态在实际场景中可能难以获得。因此，Polyakov 在 [19] 中提出了固定时间（FXT）稳定性的概念，其中要求收敛时间是有界的且独立于初始状态。后来，一系列先进的 FXT 稳定性定理被开发并有效用于研究 SCNs 的 FXT 同步。在 [20] 中，开发了一种新的反馈控制方案来研究时空神经网络的 FXT H∞ 输出同步。在 [21] 中，通过采用间歇固定控制策略，推导了几个保证模糊 SCNs FXT 同步的充分条件。在 [22] 中，利用幂律控制协议研究了罗宾边界条件下 SCNs 的 FXT 同步问题。根据指数控制策略和泰勒展开，在 [23] 中制定了一些确保 SCNs FXT 输出同步的充分准则。

无源性，作为物理系统的基本属性，通过系统的内在能量保持机制及其外生输入输出特性来描述能耗特征。特别是，无源系统是指包含耗散元件的物理系统，其中在任何随机时间间隔内积累的总存储能量不大于外生输入提供的能量 [24]。常见实例包括电路中的电阻、电容以及电感 [25]。这一基本属性表明系统无法自主产生能量，而只能耗散通过外生输入源提供的能量。因此，无源性作为确保系统内在稳定性的有力准则 [26]。由于其在机械系统以及电网等众多领域的广泛效用，SCNs 的无源性引起了越来越多的关注，相关研究取得了重大进展 [27], [28], [29]。例如，在 [27] 中，Liang 等人通过设计比例微分控制器，研究了具有空间扩散耦合的 SCNs 的无源性。在 [28] 中，Lin 等人通过采用事件触发控制方案，探索了 SCNs 的无源性和同步。在 [29] 中，通过利用直接误差法和基于边的自适应固定控制策略，研究了符号图上无领导分数阶 SCNs 的固定无源性和二分同步。

2015 年，刘等人在 [30] 中通过结合 FNT 稳定性理论和无源性理论提出了 FNT 无源性的概念。此后，FNT 无源性引起了学者的广泛关注，在神经网络和 CDNs 等网络化系统中取得了一些有价值的研究成果 [31], [32], [33]。考虑到空间扩散对网络系统动态行为的影响，Wang 等人在 [34] 中将 FNT 无源性引入时空网络模型，并通过设计幂律控制器为耦合时空神经网络建立了几条充分条件。最近，对于一种具有扩散项的忆阻神经网络模型，通过利用 FXT 稳定性理论，引入了三种形式的 FXT 无源性定义，并通过设计全域控制策略为该网络模型建立了一些 FXT 无源性准则 [35]。

在现实环境中，大多数网络包括社交网络和公共交通系统，可以更准确地建模为多权重 CDN。在公共交通网络中，乘客可以选择各种交通方式进行出行，包括出租车、高铁和飞机。显然，在上述网络中，它们的状态耦合表现出多权重特征。多权重 CDNs 的同步和控制问题近年来日益成为研究热点，并取得了一系列重要的研究成果。在 [36], [37] 中，Wei 等人通过开发适当的控制策略，研究了四元数神经网络的 FXT 无源性和同步问题。在 [38] 中，根据设计的自适应方案，获得了一些确保实现 SCNs FXT 无源性和同步的准则。此外，考虑到拓扑结构对网络动态行为的影响，Ma 等人在 [39], [40] 中通过分别设计分布式幂律控制器和边界控制器，研究了多权重有向时空网络的 FXT 无源性和同步问题，并推导了几个确保实现此类网络 FXT 无源性和同步的充分条件。

基于上述讨论，当前研究 [36], [37], [38] 主要致力于研究幂律控制下耦合神经网络模型的 FXT 无源性和同步控制。然而，这些研究忽视了节点间连接的多样性和有向性，且未充分考虑时空特征对网络动态行为的影响。其次，提出的控制策略 [36], [37], [38], [39], [40] 大多构建为线性和幂律项的组合形式，或直接采用双幂律结构，导致控制器结构复杂且参数调整繁琐。因此，对于多权重时空有向网络（MWSDNs），如何开发一种简洁而有效的 FXT 控制方案仍是该领域开放且充满挑战的前沿。

为了应对这些挑战，通过开发两种指数控制策略，研究了 MWSDNs 的 FXT 无源性及其同步。主要创新概述如下。
(1) 不同于 [35], [36], [37], [38] 中讨论的网络模型，本文同时考虑了时空特征、多权重属性和有向拓扑结构的影响，提出了一种多权重 SCN 模型，涵盖了强连通和断开拓扑的有向拓扑。
(2) 与 [35], [39], [40] 中使用的幂律控制器相比，提出了两种指数型控制协议。一个显著特征是，这里开发的内部控制器采用纯指数形式，没有常用的线性部分或双幂律组件，使其结构更简单，更容易实现。
(3) 在收敛分析中，选择孤立节点作为同步对象，而不是 [35], [36], [37], [38], [39], [40] 中的平均状态，来分析 MWSDNs 的 FXT 无源性。对于具有强连通和断开拓扑的有向网络，通过采用克罗内克排序技术和变量重排技术，推导了几条实现误差系统 FXT 无源性的准则。此外，已证明当误差系统实现 FXT 输出严格无源性时，原始网络的 FXT 同步可以自然获得，这与 [20], [21], [22], [23] 中基于李雅普诺夫函数方法的传统同步分析方法显著不同。

本文其余部分组织如下。第 2 节简明描述了预备知识和涉及的网络模型。第 3 节呈现了本文的主要结果。在第 4 节中，提供了两个说明性例子来验证推导结果。结论在结尾总结。

符号：在本文中，? 和 ?+ 分别表示实数集和正实数集，??*={1,2,…,??}, ??*={1,2,…,??}, ??*={1,2,…,??}, ??? 表示所有 v 维实向量的空间，???×?? 表示所有 v 阶实矩阵的空间，v 阶单位矩阵表示为 Iv，???? 表示 v 阶零矩阵，0?? 表示全零的 v 维列向量，diag?{·} 用于对角矩阵，? 表示克罗内克积。对于 ??=(??1,??2,…,????)???,∥??∥1=∑????=1∣?????|,∥??∥2=√???????。对于 ?∈???×??，?>0 表示它是正定的，λmax(?·?) 表示对称矩阵的最大特征值。对于列向量 ηi (??∈??*)，(????1,????2,…,??????)?? 表示为 ?????????(??1,??2,…,????)。∥???(·,??)∥??2=(∫Ω?????(??,??)????(??,??)????)?12 对于任意 ??:Ω×?+→???，其中 Ω={??∈???:|????|
结论 在本文中，通过设计两种类型的指数控制策略，研究了具有不同拓扑结构的 mwsdns 的 fxt 无源性和同步问题。首先，提出了一类不含线性反馈项的指数控制器。与现有研究 [35], [36], [37], [38], [39], [40] 相比，提出的控制器具有更简洁的结构，仅包含指数项。此外，对于既强...

未引用参考文献
[48]。

credit 作者贡献声明
yujie ma: 写作 - 初稿，软件。cheng hu: 写作 - 审阅与编辑，监督，资金获取。juan yu: 验证，方法论，资金获取。shiping wen: 可视化，方法论。

竞争利益声明
作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或可能被认为影响本论文报告工作的个人关系。

yujie ma|cheng hu|juan yu|shiping wen
新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐，830017，中国 ??3=diag?(0.9,0.8,0.9), ???(????)=msup 结论 在本文中，通过设计两种类型的指数控制策略，研究了具有不同拓扑结构的 mwsdns 的 fxt 无源性和同步问题。首先，提出了一类不含线性反馈项的指数控制器。与现有研究 [35], [36], [37], [38], [39], [40] 相比，提出的控制器具有更简洁的结构，仅包含指数项。此外，对于既强... 未引用参考文献 [48]。 credit 作者贡献声明 yujie ma: 写作 - 初稿，软件。cheng hu: 写作 - 审阅与编辑，监督，资金获取。juan yu: 验证，方法论，资金获取。shiping wen: 可视化，方法论。 竞争利益声明 作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或可能被认为影响本论文报告工作的个人关系。 yujie ma|cheng hu|juan yu|shiping wen>
结论 在本文中，通过设计两种类型的指数控制策略，研究了具有不同拓扑结构的 mwsdns 的 fxt 无源性和同步问题。首先，提出了一类不含线性反馈项的指数控制器。与现有研究 [35], [36], [37], [38], [39], [40] 相比，提出的控制器具有更简洁的结构，仅包含指数项。此外，对于既强...

未引用参考文献
[48]。

credit 作者贡献声明
yujie ma: 写作 - 初稿，软件。cheng hu: 写作 - 审阅与编辑，监督，资金获取。juan yu: 验证，方法论，资金获取。shiping wen: 可视化，方法论。

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作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或可能被认为影响本论文报告工作的个人关系。

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新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐，830017，中国>