受控的二阶微分变分-半变分不等式：间隙函数与定量误差界限

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Controlled second-order differential variational-hemivariational inequalities: Gap functions and quantitative error bounds

　　摘要
受Han和Zhou在[Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 161 (2026), 110125]中提出的受控二阶微分变分-半变分模型以及无界多值控制约束的启发，我们开发了一个基于正则化间隙函数和误差界限的框架，用于一类由状态依赖集合中的值控制的非光滑二阶微分包含系统。分析涵盖了可能存在非凸控制约束的预设问题及其放宽后的凸化对应问题。为这两种表述构建了正则化间隙函数，并证明它们是关于由预设初始数据和历史关系确定的可接受轨迹控制类的精确优值函数。在适当的假设下，放宽后的间隙函数是下半连续的，并通过一个与投影兼容的连续选择条件，为放宽后的问题提供了一个明确的误差界限。我们还推导出了一个定量放松估计，表明从预设解到放宽解的收敛速率受到控制选择的原始误差的支配。提供了一个例子来说明放宽后的间隙和相应的误差证明的可计算性。

引言
间隙函数方法长期以来一直是变分不等式理论和数值分析中的基本工具。间隙函数是一个非负的优值度量，在潜在不等式的解处精确为零。这一概念由Auslender[1]引入，它允许将变分不等式重新表述为一个等价的优化问题。由于Auslender最初提出的间隙函数通常是非光滑的，Fukushima[2]提出了一种更适用于下降型方法和定量分析的正则化间隙函数。基于这一想法，Yamashita和Fukushima[3]为变分不等式推导出了全局误差界限。从那时起，已经为各种类的变分不等式、平衡问题和准平衡问题开发了正则化间隙函数和误差界限估计；参见[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]及其中的参考文献。

当涉及到非光滑和非单调的本构律时，传统的变分不等式框架不再足够。由Panagiotopoulos[11]、[12]提出的半变分不等式（HVIs）通过Clarke广义方向导数提供了这些现象的自然数学模型。变分-半变分不等式（VHVIs）进一步结合了凸变分项和非凸非单调的半变分项，因此形成了许多接触、摩擦和粘附模型的统一框架。关于这些主题的基本结果可以在[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]中找到。这些模型已在接触力学、粘弹性、粘塑性及相关工程问题中得到广泛应用。特别是，近年来积极发展的微分变分-半变分不等式（DVHVI）框架将微分方程与非光滑和非单调约束结合起来。在这一方向上的重要贡献包括Tang等人[19]的存在性、唯一性、稳定性和收敛性理论，Zeng等人的适定性、最优控制和敏感性分析[20]，Migórski等人[21]基于非线性演化方程驱动的双曲变分-半变分框架，Liu等人的偏微分HVIs[22]，以及Zeng等人[23]应用于接触问题的分数微分HVIs，以及Zeng和Migórski[24]基于演化方程控制的动态历史依赖HVIs。更近期的贡献进一步在几个方向上发展了这一理论：Zeng等人[25]对具有非局部条件的微分变分不等式（DVIs）进行了可控性分析，而Cen等人[26]提出了一种用于由演化方程控制的双步Rothe近似方案。Zeng等人[27]建立了涉及多值Brezis拟单调算子的VHVIs的存在性和稳定性结果，Cen等人[28]研究了不具有单调性的椭圆VHVIs的奇异扰动。更接近于当前二阶设置的是，Liang等人[29]研究了由准变分-半变分不等式驱动的二阶微分包含问题，Cen等人[30]分析了在恢复性 fracturing 流体的对流-反应-扩散模型中出现的应用导向的VHVI系统。虽然这些工作深化了DVHVI型系统的存在性、稳定性和定性放松理论，但没有一种涉及构建间隙函数或为具有无界多值控制约束的二阶DVHVIs推导出后验的定量残差估计，而这正是本文所追求的问题。

正则化间隙函数和误差界限也已扩展到VHVIs。Hung等人[31]开始了对这类问题的间隙函数和误差界限的研究。后续发展包括在Hadamard流形上的广义混合准变分-半变分不等式、混合准半变分不等式以及具有Clarke次微分的障碍型问题；参见[32]、[33]、[34]。最近，时间依赖的框架引起了相当大的关注。Cen等人[35]引入了时间依赖的正则化间隙函数，并为历史依赖的VHVIs建立了全局误差界限。这一研究方向在[36]中进一步发展为DVHVIs，在[37]中发展为具有历史依赖算子的Caputo分数微分VHVIs，在[38]中发展为在准静态接触问题中出现的耦合微分系统。然而，这些现有的时间依赖误差界限技术并不直接适用于当前的二阶控制系统。主要困难在于非光滑不等式是施加在速度变量上的，而控制则由可能非凸且无界的状态依赖多函数所控制。

本文的灵感来自Han和Zhou[39]研究的具有无界多值控制约束的受控二阶DVHVI。他们的模型结合了二阶微分方程、历史依赖的状态变量、凸变分项、非凸半变分项以及轨迹依赖的多值控制约束。它是受具有摩擦和粘附效应的受控弹性-质量-阻尼振动系统的启发。这个模型的一个显著特点是，预设的控制约束可能既是非凸的也是无界的。这里x(t)是状态，u(t)是控制，U(t, x(t))表示可接受控制值的状态依赖集。因此，必须考虑两种表述：u(t)∈U(t, x(t))的预设问题和???(??)∈cl?co????(??,???(??))的凸化放宽问题。在适当的截断Hausdorff型Lipschitz假设下，Han和Zhou[39]证明了这两种表述的可解性，并建立了连接预设解和放宽解的定性放松性质。他们的结果为标准有界控制设置之外的二阶非光滑控制系统提供了稳健的存在性和放松理论。

然而，这类系统的定量残差分析在很大程度上仍未探索。现有的关于时间依赖VHVIs的间隙函数和误差界限结果并不直接适用于这里考虑的受控二阶模型。有几个本质的困难。首先，系统是时间上的二阶的，而VHVI是施加在速度变量上的。因此，一个有意义的残差必须同时涉及加速度、速度和状态。其次，历史变量是由辅助微分方程生成的，必须与主轨迹一起估计。第三，原始的控制多函数是非凸且无界的，因此通常无法对预设约束使用投影类型的论证。最后，放宽后的问题涉及凸化的多函数。因此，任何有用的后验估计都应该可以从近似的状态-控制对计算得出，而不需要预先分配的精确解。

本文的目标是为这种受控二阶DVHVI系统开发一个定量残差理论。为此，我们引入了一种适应于基于速度的不等式和状态依赖控制约束的正则化间隙构造。局部间隙密度测量了沿速度方向的VHVI违规情况，而全局残差还包括控制与可接受集之间的距离。这种统一的构造涵盖了预设的约束U(t, x(t))及其放宽后的对应物cl?co????(??,???(??))。

主要贡献如下。首先，我们为预设和放宽的表述构建了正则化间隙函数，并证明了它们的精确优值特性。我们在适当的假设下还建立了放宽后的间隙的顺序下半连续性。其次，对于固定控制管上的放宽问题，我们推导出了一个明确的后验误差界限：从近似三元组到管状放宽解集的距离，在状态、速度、记忆和控制变量中测量，由放宽间隙的平方根控制。第三，我们得到了一个定量放松估计，它根据原始控制选择误差给出了从预设解到放宽解的明确收敛速率。这细化了Han和Zhou[39]的定性放松性质。一个示例说明了放宽后间隙和相关后验证明的可计算性。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了受控二阶DVHVI、预设和放宽的表述以及后续使用的固定控制可解性结果。第3节介绍了正则化间隙函数，并证明了它们的精确优值特性和半连续性特性。第4节建立了固定控制管上放宽问题的后验误差界限估计。第5节证明了定量放松估计。第6节说明了放宽后间隙和相应的误差证明的可计算性。最后，第7节包含了结论性的评论和可能的未来研究方向。

初步知识和受控二阶DVHVI
设??:=[0,??]，T?>?0。在整篇文章中，‖?·?‖和??·?, ?·??表示有限维空间中的欧几里得范数和内积。对于一个正整数d，空间??2?(??;???)由可测量函数??:??→???的等价类组成，使得∫??0∥???(??)∥2????<+∞，并赋予范数∥??∥??2?(??)=(∫??0∥???(??)∥2????)1/2。

对于??=1,2，Sobolev空间????,2?(??;???)由所有属于??2?(??;???)的函数??∈??2?(??;???)组成，其分布导数y(j), ??=1,…,??, 也属于??2?(??;???)。它赋予了范数msub

正则化间隙函数
在本节中，我们为预设和放宽的控制问题构建了正则化间隙函数。其思想是在每个时间点??∈??通过局部正则化上确界函数来测量变分-半变分不等式的违规情况。然后通过积分这种局部违规并将平方距离加到相应的控制约束上来获得全局间隙函数。我们证明了这些函数是精确的优值函数：它们的零水平集与

放宽控制管上的后验误差界限估计
在本节中，我们为放宽问题建立了后验误差界限估计。由于原始的控制多函数U可能是非凸和无界的，我们使用凸化的放宽多函数?????(??,??)=cl?co????(??,??)。该估计是在第2节中引入的固定控制管????0上制定的，并以放宽间隙函数?????????表示。其主要特点是从近似对(x, u)计算出上界，不需要先验的

定量放松估计
本节通过从预设解到放宽解的明确收敛速率来补充定性放松性质。该速率以原始控制选择误差的形式表示。这种类型的量在放松和抖振论证中是自然的：即使控制本身不强烈收敛，它们时间积分中的抵消仍可能导致相应状态轨迹的强收敛。

假设5.1
设(??,??,??)∈????0?????。存在

数值示例
在本节中，我们展示了定理4.1中获得的放宽间隙函数和后验估计。该示例是一维的，因此可以明确计算局部间隙密度。同时，它保留了抽象模型的主要特征：记忆项、非凸半变分贡献以及限制在固定控制管上的无界状态依赖放宽控制约束的误差界限估计。

示例6.1
设??=??=1且??=[0,1]。考虑数据???(??,??)=2

结论
本文为具有无界多值控制约束的受控二阶微分变分-半变分不等式开发了一个基于正则化间隙函数的框架。我们构建了间隙函数??????和?????????，并证明了它们对预设和放宽表述的精确优值特性。对于固定控制管上的放宽问题，我们获得了在状态、速度、记忆中测量的距离的明确后验估计

CRediT作者贡献声明
Jinxia Cen：写作——审阅与编辑、撰写——原始草稿、方法论、形式分析。Jinjie Liu：写作——审阅与编辑。Yehui Peng：写作——审阅与编辑、撰写——原始草稿、方法论、形式分析。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

Jinxia Cen | Jinjie Liu | Yehui Peng | Minh Tam Vo
中国重庆重庆师范大学数学科学学院，国家应用数学中心，重庆，401331