与聚焦非局部马纳科夫方程相关的有限维李-泊松哈密顿系统

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：The finite-dimensional Lie-Poisson Hamiltonian systems associated with the focusing nonlocal Manakov equation

　　

摘要 本研究介绍了两个与聚焦非局部 Manakov 方程相关的 Lie-Poisson 哈密顿系统，这些系统是通过非线性化方法获得的。在 Casimir 函数的公共水平集上，我们构造了与以三边曲线为特征的系统相关的分离变量。应用哈密顿 - 雅可比定理使我们能够确定作用量 - 角变量，从而能够推导与聚焦非局部 Manakov 方程相关的雅可比反演问题。

引言 Manakov 方程表示为
?{ { {?{ { {?????=13?i????????+23?i????(|??|2+|??|2),????=13?i????????+23?i????(|??|2+|??|2),
通常被称为耦合非线性薛定谔方程组。公式 (1.1) 中描绘的方程代表了一种非线性薛定谔方程的双分量向量形式。最初由 Manakov 作为波导中电场传播的渐近模型进行研究 [1]，随后这些方程被认定为光波在光纤中传播的基本模型 [2]。

自从 Ablowitz 和 Musslimani 引入了一种新型可积非局部非线性薛定谔方程，并成功使用逆散射方法推导出其显式解 [3] 以来，作者发现了更多的可积非局部演化方程，并表明它们是可积的无限维哈密顿方程。此后不久，这些发现引发了对可积系统的 renewed 兴趣，非局部系统迅速成为孤子理论中的新热点之一。该研究领域采用了多种方法，包括逆散射技术 [4]、[5]、[6]，黎曼 - 希尔伯特方法 [7]，达布变换 [8]、[9]，B?cklund 变换 [10] 以及 Hirota 双线性方法 [11]。此外，已经提出并研究了非局部可积方程的几个高维和多分量推广。

实际上，2017 年识别出了许多新的非局部方程 [12]，在这些新方程中，聚焦非局部 Manakov 方程：
?{ { {?{ { {?????=i3????????+23?i?[?????*?(???)+?????*?(???)]???,????=i3????????+23?i?[?????*?(???)+?????*?(???)]???
被包括在内，它是标量可积反空间非局部 NLS 方程
????=i????????+2?i???2???*?(???)
的双分量可积扩展，其中符号'i'是虚数单位，星号'*'表示势函数的复共轭。

孤子理论的一个重要目标是识别和研究可积有限维系统。已经开发了各种系统的方法来推导有限维可积系统 [13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。已经建立了多种系统的方法来推导此类可积系统，特别是包括代数几何方法 [22]、[29]，Lax 对的非线性化 [17]、[19]，极点展开技术 [16]、[24] 等。

已经进行了几项关于源自与双椭圆谱曲线相关的 2 × 2 Lax 矩阵的非局部有限维可积哈密顿系统的研究 [32]、[33]、[34]。当前的研究重点是从 3 × 3 Lax 矩阵推导出的系统，这些矩阵对应于三边曲线。具体而言，这项工作探索了在 Lie-Poisson 结构框架下与聚焦非局部 Manakov 方程 (1.2) 相关的非局部有限维可积哈密顿系统。本文组织如下。首先，我们介绍了与聚焦非局部 Manakov 方程相关的非局部 Lie-Poisson 哈密顿系统，并证明了它们的刘维尔可积性。因此，聚焦非局部 Manakov 方程可以分解为有限维哈密顿流，这是系统 (1.2) 的非线性化。随后，我们提出了在 Casimir 函数的公共水平集上对 Lie-Poisson 结构进行约化，并引入分离变量来研究这些哈密顿系统。根据经典哈密顿理论，我们找到了作用量 - 角变量，并为由此产生的 Lie-Poisson 哈密顿系统和聚焦非局部 Manakov 方程建立了雅可比反演问题。

章节片段
聚焦非局部 Manakov 方程
在本节中，我们将通过 Lenard 梯度序列介绍聚焦非局部 Manakov 方程。
首先，考虑谱问题
????=?????,??=?? ? ????1??2??3?? ? ??,??=??0+?????1,
其中
??0=?? ? ??0???????*?(???)00???*?(???)00?? ? ??,??1=?? ? ???2?i000i000i?? ? ??.
为了简单起见，我们记 ??=???(??,??),??*?(???)=??*?(???,??)，分别。交换关系
?????[??,??]=[????????]???
成立，其中 Lenard 算子
??=???a?????0,??=a?????1,??=??????,a????????=[??,??].
递归定义 Lenard 序列 {gj} 为
??????1=0,????????1=???????,??=0,1,….
直接计算得到

非局部 Lie-Poisson 哈密顿系统
考虑谱问题 (2.1) 的 N 份伴随表示以及辅助谱问题 ????=??2???：
????,??=[???(????),????],??=1,…,??,????,??=[??2?(????),????],??=1,…,??,
其中
????=(?????????)3×3=?? ? ? ? ? ???i?(??22??+??33??)??12????13?????12*???(???)i???22????23?????13*???(???)??23*???(???)i???33???? ? ? ? ? ??,?????????=????????*???(???),??=2,3,
以及 N 个不同的谱参数 λj 满足 ????=???*??。为了简单起见，我们在本文其余部分使用以下符号
?????????=??∑??=1????????????????,???????*???=??∑??=1??????????????*???(???).
在约束
??=??120,??=??130
下

Lie-Poisson 结构的约化
在本节中，我们将考虑 Casimir 函数公共水平集上的 Lie-Poisson 结构约化：
?={????∣12?t????(??2??)=0,13?t????(??3??)=0,??=1,…,??}.
取
????=???(????,??*???(???))=?????(?????*???(???))??
其中
????=(??1??,??2??,??3??)??,??=d??????????(1,?1,?1),??=1,?,??,
其中 φj 是标准泊松结构的正则坐标
{??,??}?(????,?????*???(???))=??∑??=1(????????1???????????1*???(???)?????????2???????????2*???(???)?????????3???????????3*???(???))?(????????1*???(???)?????????1???????????2*???(???)?????????2???????????3*???(???)?????????3??).
经过直接计算，我们得到
{??

分离变量
在本节中，我们提出了 Casimir 函数 (4.1) 公共水平集上的分离变量，以分析 Lie-Poisson 哈密顿系统。
在下文中，我们通过 Sklyanin 方法 [35] 给出 3???2 对分离变量 μi, νi。
与聚焦非局部 Manakov 方程 (1.2) 相关的 Lax 矩阵 Vλ的特征多项式关于空间和时间变量 x 和 t 是不变的。其显式展开表示为
d???????(??????????)=??3??2?(??)?????3?(??

作用量 - 角变量和雅可比反演问题
在本节中，我们通过应用哈密顿 - 雅可比理论引入作用量 - 角变量。因此，我们建立了守恒积分的函数独立性，从而证明了 Lie-Poisson 哈密顿系统 (3.4) 和 (3.5) 的刘维尔可积性。此外，我们通过采用分离变量中的正则变换，构建了与系统 (3.4)、(3.5) 以及聚焦非局部 Manakov 方程 (1.2) 相关的雅可比反演问题。

结论 本研究提出了两个源自与聚焦非局部 Manakov 方程相关的 3 × 3 谱问题的有限维 Lie-Poisson 哈密顿系统，这是通过非线性化方法获得的。在 Lie-Poisson 框架内，与定义在标准辛流形上的传统方法相比，可以更方便地建立由此产生的有限维哈密顿系统的刘维尔可积性。与大多数现有的非线性化处理不同，主要

CRediT 作者贡献声明
Xue Geng：写作 – 初稿。
Liang Guan：写作 – 审查与编辑，方法论。
Xianguo Geng：写作 – 审查与编辑。

竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些可能影响本文报告的工作。

Xue Geng|Liang Guan|Xianguo Geng
安阳师范学院数学与统计学院，中国河南安阳，455000