OpenFOAM中的一种隐式简化统一气体动力学求解器，采用混合X空间并行化技术，适用于多尺度非平衡气体流动问题

《Computer Physics Communications》：An implicit simplified unified gas-kinetic solver with hybrid X-space parallelization for multiscale nonequilibrium gas flows in OpenFOAM

　　摘要：开发了一种隐式简化的统一气体动力学求解器，并将其集成到开源CFD平台OpenFOAM中，以实现多尺度非平衡气体流的高效稳态模拟。该求解器采用隐式宏观-微观耦合演化框架，具有双重时间尺度：通量在物理时间步长内进行评估，而控制方程则采用更大的数值时间步长来加速收敛。采用无矩阵公式结合点松弛对称高斯-赛德尔（PR-SGS）迭代来降低计算开销。该实现支持结构化和非结构化速度离散化，提供了平衡模拟精度和计算成本的灵活性。通过对广泛Knudsen数范围的基准测试，验证了所提求解器的准确性和效率。此外，还采用了一种混合X空间并行化策略，在物理空间和速度空间中同时运行，以进一步提高大规模模拟的效率。

引言：稀薄气体流在多种工程应用中非常普遍，包括微机电系统（MEMS）[1]、页岩气开采[2]和航空航天器再入[3]。在这些流动条件下，气体分子的平均自由程与特征流动长度相当甚至超过后者，导致连续介质假设失效。因此，纳维-斯托克斯（NS）方程不再能够精确描述非平衡传输现象，需要基于玻尔兹曼方程的动理论述。然而，玻尔兹曼方程的高维性和碰撞积分的复杂性导致了过高的计算成本。为了在保留非平衡流动基本物理特性的同时降低计算复杂性，提出了几种动力学模型方程，包括Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型[4]、椭球形统计BGK（ES-BGK）模型[5]和Shakhov BGK（S-BGK）模型[6]。

解决玻尔兹曼方程及其动力学模型的数值方法通常可以分为随机粒子方法、确定性离散方法和混合方法。随机粒子方法，以直接模拟蒙特卡洛（DSMC）方法[7]、[8]为代表，在局部速度空间中模拟粒子传输和碰撞，为高Knudsen（Kn）数和高马赫数条件的流动提供稳健且可扩展的预测。然而，DSMC的固有统计噪声需要大量粒子或集合平均，这在低速或接近连续介质的条件下会降低计算效率。相比之下，确定性方法（如离散速度方法（DVM）[9]、[10]、[11]）将速度空间离散化并直接求解玻尔兹曼方程及其动力学模型，得到高分辨率的无噪声非平衡结构解。然而，DVM通常依赖于全局均匀的速度网格进行通量评估，特别是在高维或高速流动情况下会导致显著的计算和内存成本。此外，随机和确定性方法通常将粒子传输和碰撞过程分开，对空间分辨率和时间步长施加严格限制，从而在接近连续介质的条件下大大降低计算效率。混合方法试图通过在流场的不同区域自适应耦合不同的物理模型或数值策略来结合NS求解器和动力学方法的优势[12]、[13]。然而，这些方法通常需要复杂的域分解和接口处的信息交换标准，可能会引入额外的建模复杂性和潜在的不准确性。

近年来，开发了一类多尺度算法来模拟广泛Kn数范围的气体流动，包括统一气体动力学方案（UGKS）[14]、[15]、离散UGKS（DUGKS）[16]、[17]和气体动力学统一算法（GKUA）[18]。通过在统一演化框架内耦合分子传输和碰撞，这些方法消除了平均自由程和碰撞时间对网格大小和时间步长的传统限制。因此，它们可以在连续极限下恢复欧拉方程，在自由分子区域恢复无碰撞动力学方程，并在接近连续介质的区域高精度地再现NS解，展现出统一保持（UP）特性[19]。后续发展导致了几个改进和简化的变体，如保守DUGKS（CDUGKS）[20]、[21]、简化DUGKS（SDUGKS）[22]、[23]和优化DUGKS（ODUGKS）[24]。然而，对这些方案依赖于显式时间积分，使其受到Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）约束。此外，需要在离散速度点存储和演化分布函数，导致高昂的计算和内存成本，阻碍了它们在大型工程模拟中的应用。为了缓解这些限制，引入了隐式演化策略来放宽稳定性约束，使时间步长主要由精度而非数值稳定性决定。提出了多种隐式动力学公式，包括隐式UGKS[25]、[26]、[27]、多预测隐式UGKS[28]、[29]、隐式自适应UGKS[30]和隐式简化UGKS[31]、[32]。这些方法通常采用耦合迭代框架，其中宏观守恒方程和微观动力学方程交替更新，从而在连续和稀薄流动条件下实现快速收敛，同时保留了原始方案内在的多尺度特性。除了基于DVM的方法外，还开发了基于粒子的多尺度公式，如统一随机粒子BGK（USP-BGK）方法[33]、[34]、统一气体动力学波粒（UGKWP）方法[35]、[36]和简化统一波粒（SUWP）方法[37]、[38]。这些统一粒子策略显著降低了内存消耗，并在高速度三维稀薄流动模拟中展示了高效率。尽管取得了这些进展，大多数现有实现仍然嵌入在内部研究代码中，这限制了它们的可访问性、可重复性和更广泛的社区采用。将此类多尺度动力学方法集成到开源CFD框架中，在透明度、可扩展性和大规模实际应用方面提供了显著的好处。

在可用的开源CFD框架中，OpenFOAM是使用最广泛的平台之一，它具有模块化和灵活的数值基础设施，支持基础研究和工程应用。其开源性质促进了透明性，并便于独立验证模拟结果，同时允许轻松扩展和定制数值算法。此外，内置的并行基础设施和大型用户社区的支持促进了新物理模型和数值方案的高效实现、验证和传播。在此框架内，开发了几种稀薄气体求解器，包括dsmcFOAM[47]及其扩展版本dsmcFOAM+ [48]用于DSMC方法，hybridDCFOAM[49]用于混合连续体-粒子模拟，unigasFOAM[50]用于USP方法，以及dugksFOAM[51]和cdugksFOAM[52]、[53]、[54]分别用于DUGKS及其保守公式。这些求解器提供了用于工程规模稀薄流动模拟的实际三维工具。除了稀薄气体流动模拟，OpenFOAM还在多个工程领域得到了广泛应用。在热传递和制造研究中，基于OpenFOAM的数值研究涵盖了橡胶手套固化过程中的强制对流热传递和旋转手形模具上的流体流动[39]、[40]、[41]，以及丁腈-丁二烯橡胶乳胶薄膜制造过程中的共轭热传递[42]。在燃烧建模方面，记录了多种基于OpenFOAM的开发，包括甲烷燃烧的降阶化学机制[43]、预混火焰热传递的混合AI-CFD架构[44]，以及描述层流预混火焰的扩散通量模型[45]。在能源系统领域，OpenFOAM求解的三维CFD结合敏感性驱动的替代模型已被用于质子交换膜燃料电池的耦合厚度优化[46]。这些工作展示了OpenFOAM的广泛工程适用性，并强调了在OpenFOAM框架内嵌入先进动力学求解器的实际意义。尽管取得了这些进展，但在OpenFOAM中尚未实现完全集成的隐式统一气体动力学框架，这限制了更高效的多尺度动力学方法在大型工业问题中的应用。

本文介绍了在OpenFOAM框架内实现的隐式简化UGKS求解器。该求解器旨在通过隐式框架耦合宏观-微观方程来高效处理多尺度气体流动，支持结构化和非结构化速度空间积分，并利用基于物理和速度空间分解的混合并行化进行大规模三维模拟。通过一系列基准案例展示了其能力，包括冲击结构、Couette流动、热驱动流动和盖子驱动的立方腔流动。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了隐式简化UGKS的数值公式和离散化；第3节提供了数值验证和性能评估；第4节讨论了所提求解器的并行效率；第5节总结了主要贡献并指出了未来工作的方向。

**节选：**
- **S-BGK模型用于玻尔兹曼方程**：粒子速度分布函数f的演化受S-BGK模型方程控制，表示为：????????+??·????=Ω≡??????????，其中??=???(??,??,??,??,??)表示粒子速度分布函数，??=(??1,?,????)表示D维空间中的粒子速度，??=(??1,?,??3???)对应于剩余的速度分量，??=(??1,?,????)表示多原子气体的内部自由度（包括旋转和振动贡献）。??=(??1)

**冲击结构**：一维冲击结构问题具有相对简单的边界条件，使其成为研究可压缩流动的经典基准。计算域的左半部分被指定为参考状态，作为模拟的基线。上游和下游的密度、速度和温度满足Rankine-Hugoniot关系，初始分布函数被指定为Maxwellian平衡分布。

**并行效率**：本研究调查了三种并行化策略：物理空间并行化（PSP）、速度空间并行化（VSP）和混合X空间并行策略（XSP）[52]。使用具有不同空间分辨率的盖子驱动立方腔流动案例评估了它们的性能。对于PSP，在OpenFOAM框架内实现了域分解。在每个时间步长中，更新场时所有离散速度方向都需要MPI通信。

**结论**：开发了一种隐式简化的统一气体动力学求解器，并将其集成到OpenFOAM框架中，以提高多尺度气体流动模拟的效率和可扩展性。该求解器采用介观分布函数和宏观流动变量的耦合演化机制，实现了连续和稀薄流动条件下的高效和一致数值模拟。采用双重时间尺度公式，其中通量在物理时间步长内进行评估。

**CRediT作者贡献声明**：
- Mengbo Zhu：写作——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
- Chengwen Zhong：写作——审阅与编辑、监督、资源、项目管理、方法论、调查、资金获取、概念化。
- Congshan Zhuo：写作——审阅与编辑、监督、资源、项目管理、方法论、资金获取、概念化。
- Sha Liu：写作——审阅与编辑。

**利益冲突声明**：作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**作者信息**：
Mengbo Zhu | Chengwen Zhong | Congshan Zhuo | Sha Liu | Yang Yanguang
西北理工大学航空学院，中国陕西省西安市710072