配点 - 遗传算法方法用于玻色 - 爱因斯坦凝聚体中格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程的新量子化涡旋解

《Computer Physics Communications》：Collocation – Genetic Algorithm Method for New Quantized Vortex Solutions of the Gross-Pitaevskii Equation in Bose-Einstein Condensates

　　

摘要静态格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）提供了玻色 - 爱因斯坦凝聚体中量子化涡旋的平均场描述。然而，其非线性结构和奇异行为使得精确的数值解具有挑战性。在本工作中，我们提出了一种混合指数配点 - 遗传算法（GA）框架，用于求解不存在外部囚禁势情况下的静态径向 GPE。凝聚体波函数已使用紧凑指数基进行近似，而未知系数则是通过无导数全局优化确定的。所提出的公式将非线性边值问题转化为全局优化问题，无需解析雅可比矩阵或初始猜测。进行了系统研究以确定基函数中独立函数的最小数量。结果表明，六个指数项可以成为求解精度、残差最小化和计算效率之间的最佳折衷方案。随后获得了涡旋环绕数（??=1?10）的数值解，并针对高精度自适应配点基准以及切比雪夫 - 高斯 - 洛巴托配点法、牛顿法、打靶法（LSODA）和松弛法进行了验证。所提出的方法准确地再现了静态涡旋剖面，最大绝对误差保持在 6×10?3 以下，并且对于各种环绕数发现了具有竞争力的均方根误差值。收敛性和统计分析表明，尽管遗传算法具有随机性质，但仍表现出稳定的优化行为、良好的可重复性和鲁棒性能。计算出的密度剖面揭示了当环绕数增加时，涡旋核的预期展宽。此外，基于阈值定义的涡旋核半径遵循对环绕数的二次依赖关系。这反映了离心动能项影响的增加。虽然诸如 LSODA 等确定性方法实现了略高的数值精度，但所提出的框架在精度、鲁棒性和计算灵活性之间提供了有吸引力的平衡。该方法提供了一种基于优化的有前景的替代方案，用于求解非线性格罗斯 - 皮塔耶夫斯基边值问题，并可扩展到更复杂的量子流体系统。

引言格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）是一个非线性薛定谔方程，描述了极低温下玻色 - 爱因斯坦凝聚体的行为 [1,2]。在玻色 - 爱因斯坦凝聚体中，足够低的温度下，宏观比例的玻色子占据最低量子态 [2]。此外，由于量子涨落导致的凝聚体耗尽非常小。在这些条件下，零温度下的囚禁气体完全由满足格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程的单一凝聚体波函数描述 [[3], [4], [5]]。GPE 具有广泛的应用，包括量子光学中的激光束传播 [6,7]、水下声学中的长距离波传播 [8]、等离子体物理 [9]、粒子物理 [10]、半导体物理 [11,12]、材料的第一性原理模拟 [6,12] 以及超流体动力学 [12,13]。

可以使用 GPE 研究被限制在不规则或非均匀势中的玻色系统。该方程是从变分原理推导出来的：???(????????0)???Ψ*=0，其中 ??0 表示粒子总数，μ 是化学势，H 是给定的格罗斯 - 皮塔耶夫斯基能量泛函 [[1], [2], [3]]：???[Ψ,Ψ*]=∫[?22????∣??Ψ∣2+??ext?(??)?∣Ψ∣2+??2?∣Ψ∣4]????。在上述方程中，??=4?????2????? 是相互作用强度，而 ?? 代表散射长度。相互作用参数 g 编码了玻色子之间的双体相互作用，并决定了凝聚体是稳定的（排斥，g > 0）还是将坍缩（吸引，g < 0）。应用变分原理得到不含时格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程：[??22?????2+???????????(→??)+???|Ψ|2]?Ψ?(→??)=???Ψ?(→??)。方程 (2) 是一个非线性薛定谔方程，其中三次非线性源于玻色子之间的接触相互作用 [1,2]。波函数 Ψ?(→??) 必须满足 GPE 的归一化条件，即 ∫∣Ψ?(→??)∣2????→??=??0，其中 ??0 是系统中的粒子总数。

在极坐标系 (??,??,??) 中，格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）可以表示为 Ψ?(??,??,??)=???(??)????????????????????????，其中 ???(??) 是波函数的径向分量。将此假设代入不含时 GPE 导致以下径向微分方程 [1,2]：??22????(??″+1?????′)+?2???22??????2???+??ext???+?????3=?????。上述方程通过引入标度变量 ??=√?22?????????, ??=√??????? 和无量纲势 ??=???????????? 分别变为无量纲。将这些代入方程 (3)，我们得到无量纲形式：??2????????2+1???dy?????+{1????(??)}????(??)???2??2????(??)???3?(??)=0。这里，?? 是涡旋环绕数（拓扑荷），它指定了凝聚体波函数围绕涡旋核的 2??? 相位缠绕的整数个数。较大的 ?? 值与具有较高量子化环量和较大涡旋核的涡旋有关。

在本工作中，我们考虑了一种简化情况，即外部势不存在，即 ???(??)=0。施加在方程 (4) 上的边界条件是 ???(0)=0 和 ???(100)=1 分别。在数值计算中，远场条件 ???(∞)=1 通过施加 ???(100)=1 来近似，因为 ??=100 足够大以代表渐近区域。这些条件确保了原点处的正则性，并固定了足够大半径处的渐近行为。

我们将涡旋核半径 ???? 定义为归一化密度达到体值 90% 的径向位置，即 ∣???(????)∣2∣???(∞)∣2=0.9。这个定义提供了涡旋核尺寸的实用数值度量，不应与愈合长度 ?? 混淆，后者表征均匀凝聚体中的密度恢复。

格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）包含一个考虑粒子相互作用的非线性项，产生了孤子和涡旋等丰富而复杂的现象 [14]。这种内在的非线性使得 GPE 在解析求解方面具有挑战性，特别是在涉及奇点或复杂边界条件的情况下 [15]。因此，关于 GPE 的许多研究致力于寻找近似解，包括孤子和其他在谐振子囚禁势或空间变化外部场中出现的局域波形 [16]。

广义格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程的公式化也已进行，其中包含了外部势和相互作用强度的任意空间和时间变化 [17,18]。这种广义形式能够研究更广泛的孤子解谱和非线性波动力学，特别是在一维玻色 - 爱因斯坦凝聚体中 [19,20]。这些研究正在帮助在实验和理论设置中控制和操纵物质波。特别是，非线性与外部囚禁之间的相互作用已被证明在超冷原子实验中产生了观测结果 [9,10]。

在过去三十年中，格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）的数值优化和计算已经使用确定性和随机方法进行了广泛研究。确定性方法包括归一化梯度流、有限差分格式、克兰克 - 尼科尔森时间积分、傅里叶和切比雪夫谱方法、自适应配点、有限元公式和能量最小化技术 [[21], [22], [23], [24], [25]]。在这些方法中，克兰克 - 尼科尔森有限差分方法已被广泛用于求解含时非线性薛定谔方程。谱方法对于求解谐振子囚禁势中的含时 GPE 非常有效。傅里叶谱技术也成功用于计算偶极玻色 - 爱因斯坦凝聚体的基态和动力学。此外，帕德近似方法可用于构建均匀凝聚体中环绕数从 1 到 6 的精确量子化涡旋解。虽然这些方法已证明在广泛问题中表现优异，但它们存在一定的局限性。根据特定的数值公式，局限性可能包括条件稳定性、高计算成本、严格的网格分辨率要求、与特定边界处理或基函数相关的限制，以及在强非线性或高环绕数区域效率降低。这些问题激励了开发更鲁棒、灵活和计算高效的数值技术，以在复杂和现实的物理系统中求解 GPE [[24], [25], [26], [27]]。

随机数值技术通过执行全局搜索来求解复杂的非线性优化问题，从而降低对局部最小值和初始猜测的敏感性 [28,29]。在这些方法中，遗传算法（GA）采用了生物启发算子 [[30], [31], [32], [33]]。这些包括选择、交叉和变异，以进化候选解。它是一种基于种群的优化技术，灵感来源于自然选择和生物进化。通过受控随机变化进化多样化的候选解集，我们可以探索复杂的搜索空间。由于具有无导数性质，GA 非常适合求解如格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程（GPE）这样的非线性、高维问题。为了评估解的质量，使用适应度值作为由遗传算法最小化的目标函数。此外，对满足控制 GPE 的收敛解测量残差和均方根误差。

在本工作中，我们提出、开发并验证了一种用于 GPE 静态涡旋解的混合指数配点/遗传算法（GA）框架。凝聚体波函数由有限指数基近似，并通过最小化控制微分方程连同边界条件的残差来确定相应的展开系数。得到的数值解用于直接从凝聚体密度剖面计算基于阈值的涡旋核半径 ????。这允许评估 ???? 对涡旋环绕数的依赖关系。所提出的方法进一步应用于更高环绕数（??=7–10）。这种扩展允许系统研究强旋转涡旋状态下的涡旋核演化和密度恢复。所提出的技术作为一种灵活的计算替代方案呈现。此外，通过详细比较与既定方法，包括自适应配点、切比雪夫 - 高斯 - 洛巴托配点、牛顿法、打靶法（LSODA）和松弛法，验证了所提出框架的数值精度和鲁棒性。

章节摘要提议的方法论已经开发了一种混合指数配点 - 遗传算法（GA）框架，用于求解量子化涡旋状态的静态径向 GPE。非线性边值问题通过将波函数近似为有限指数基转化为优化公式。未知参数通过残差最小化确定。而不是取代既定的确定性方法（如打靶法或自适应配点法），该方法探索了是否

指数基函数数量的选择研究了指数基函数数量（??）对提议的指数配点/GA 方法准确性的影响。这些结果在表 2 中针对各种 N 值进行了比较。该表还显示了 ??=1 的高精度自适应配点基准的结果。

在测试的案例中，?? 等于六，提供了与基准解最接近的一致性。这里绝对误差保持在 0.0 到 0.0057 的范围内。此外，误差范围是

结论本工作中开发了一种混合指数配点 - 遗传算法框架，用于求解均匀玻色 - 爱因斯坦凝聚体的静态径人格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程。所提出的公式使用紧凑指数基近似波函数，并通过无导数全局优化确定未知系数。它将非线性边值过程转化为残差最小化问题，无需解析雅可比矩阵或

CRediT 作者贡献声明 Rubina Nasir：写作 - 审阅与编辑、监督、形式分析、概念化、方法论、验证、可视化。Gul Haider：写作 - 初稿、形式分析。Noman Yousaf：写作 - 初稿、调查。Nasir M. Mirza：方法论、验证、写作 - 审阅与编辑、软件。

Rubina Nasir|Gul Haider|Noman Yousaf|Nasir M. Mirza
巴基斯坦伊斯兰堡 E-9，巴基斯坦空军综合体，AIR 大学物理系，44000