基于深度库普曼算子的非线性系统数据驱动鲁棒移动时域估计

《Computers & Chemical Engineering》：Data-driven robust moving horizon estimation for nonlinear systems using deep Koopman operators

　　

•从噪声数据中学习稳定的 Koopman 模型，以形成一类非线性过程的线性替代模型。•基于 Koopman 的鲁棒 MHE 避免了非线性估计中的非凸优化。•推导了稳定性条件，以确保估计值的鲁棒全局渐近收敛。•案例研究证实了优于基于 EDMD 的 Koopman 估计方法的建模和估计性能。

引言先进控制系统在确保现代工业系统安全、可靠和高效运行方面发挥着至关重要的作用 (Daoutidis et al., 2018, Wu et al., 2025, Christofides et al., 2013, Wu and Christofides, 2019)。在综合的先进控制系统中，状态估计构成了一个关键组成部分。状态估计基于可用的传感器测量值，提供过程全状态变量的在线估计值，这些值用于实时监测和干预过程运行 (Rao et al., 2001)。状态估计不仅对于控制系统设计至关重要，而且在监测过程中无法实时测量的关键状态变量方面也发挥着关键作用。状态估计器的发展依赖于能够表征底层系统动态行为的精确系统模型。如果可以获得非线性第一性原理模型，那么状态估计问题可以通过应用现有的非线性状态估计方法来解决，例如扩展卡尔曼滤波器 (Reif et al., 1999)、移动视界估计 (MHE) (Rao et al., 2003, Alessandri et al., 2008) 和高增益观测器 (Khalil and Praly, 2014, Boizot et al., 2010)。然而，对于表现出复杂结构和显著非线性的现代工业系统，建立高保真第一性原理模型并获取准确的模型参数可能非常具有挑战性。

为了克服缺乏精确第一性原理动态模型所带来的挑战，数据驱动和基于机器学习的建模方法有望为状态估计设计奠定模型基础。最近，Koopman 算子理论因其在高维可观测量空间内以线性表示对复杂非线性过程动态进行建模的卓越性能而引起了广泛关注 (Koopman, 1931, Mezi? and Banaszuk, 2004)。除了获取准确的过程动态模型的能力外，使用 Koopman 算子还允许设计线性决策代理，尽管底层工业过程具有非线性动态。通过这种方式，可以利用线性控制理论对非线性系统进行状态估计，与 nonlinear 方法相比，计算效率有显著提高。这一优势在 MHE 的背景下更加明显，其中非线性公式化 (Rao et al., 2003, Alessandri et al., 2008) 通常需要求解大型非凸优化问题。

在 Koopman 算子框架内，已提出或利用各种 Koopman 建模方法来为非线性系统开发线性模型预测控制 (MPC) 方案。动态模态分解 (DMD) (Schmid, 2010) 与扩展动态模态分解 (EDMD) (Li et al., 2017) 构成了两种代表性的 Koopman 建模算法。在 Korda and Mezi? (2018) 中，利用通过 EDMD 算法识别的 Koopman 算子，将非线性 MPC 转换为线性 MPC。解决了输入到输出情况以及全状态测量情况。在 Narasingam and Kwon (2019) 中，基于使用 EDMD 建立的 Koopman 模型，为非线性化学过程设计了线性 Lyapunov MPC 控制器。在 Son et al. (2022) 中，通过识别多个基于 EDMD 的 Koopman 算子形成了混合模型，并提出了一种混合 MPC 用于控制表现出显著进料波动的间歇制浆蒸煮器。值得一提的是，EDMD 依赖设计者的先验知识手动选择合适的一组可观测量函数以达到最佳建模性能 (Narasingam and Kwon, 2019)。在 Morton et al. (2018) 中，提出了一种深度 Koopman 建模方法，以自动学习可观测量函数并提高建模精度。在最初考虑系统不确定性的努力中，Han et al. (2025) 提出了一种随机基于 Koopman 的学习框架，用于对带有噪声系统数据的不确定非线性系统进行建模和控制。关于基于 Koopman 的控制的更多相关结果可参见 Yeung et al., 2019, Han et al., 2020, Xiao et al., 2022, Shi and Meng, 2022, Xu et al., 2026, Jia et al., 2026b, Jia et al., 2026a。

与基于 Koopman 的控制的广泛研究相比，状态估计 counterpart 受到的研究关注较少。在 Surana and Banaszuk (2016) 中，提出了一种用于离散时间非线性系统的基于 Koopman 的状态估计方法。在 Surana et al., 2017 中，介绍了一种基于 Koopman 算子的约束状态估计算法。在另一条研究路线中 (Netto and Mili, 2018)，提出了一种专门用于非线性电力系统的 Koopman 驱动卡尔曼滤波器。在 Yin et al. (2023) 中，为一类非线性过程开发了一种基于数据的 Koopman 移动视界状态估计方案。这种数据驱动 MHE 方法依赖 EDMD 进行 Koopman 建模，这需要手动选择可观测量函数——这是一项具有挑战性且繁琐的任务。在 Yan et al. (2025) 中，提出了一种整合有限数据和部分物理知识的物理信息机器学习 Koopman 建模方法，基于此为非线性系统制定了自整定移动视界估计设计。值得一提的是，Yin et al., 2023, Yan et al., 2025 中上述基于 Koopman 的 MHE 方法没有提供估计误差的稳定性保证。

最近，Willems 基本引理 (Willems et al., 2005) 使得无需动态模型即可进行数据驱动状态估计。针对集中式 (Turan and Ferrari-Trecate, 2021) 和分布式框架 (Wei et al., 2024)，提出了数据驱动未知输入观测器，从而能够对线性时不变系统的状态进行估计。考虑到估计具有高度复杂动态的系统状态的复杂性，Disarò and Valcher (2024) 开发了一种数据驱动降阶未知输入观测器。此外，在 Disarò and Valcher (2025) 中，在对收集数据的温和假设下，证明了基于模型的数据驱动未知输入观测器是等价的。Mishra et al. (2024) 提出了数据驱动卡尔曼滤波器。为了处理状态约束，Wolff et al. (2022) 针对无噪声离线数据的情况提出了数据驱动 MHE，而 (Wolff et al., 2024) 进一步扩展并提出了鲁棒 MHE 方案以考虑噪声离线数据。在 Liu et al., 2023, Duan et al., 2025 中，数据驱动 MHE 方法已成功应用于速度估计。这些方法主要专注于线性系统的数据驱动状态估计。

受这些观察的启发，在本工作中，我们旨在提出一种基于 Koopman 的状态估计方法，以确保一般非线性系统的稳定估计误差动态。与现有方法不同，我们的方法将自动确定与 Koopman 算子相关的可观测量，消除了手动选择可观测量函数的需要。具体来说，我们提出了一种深度概率稳定 Koopman 建模方法，从一般受随机噪声影响非线性系统的噪声数据集中学习准确且计算效率高的动态模型。

我们首先建立了一个充分条件，在此条件下，稳定的 Koopman 表示意味着原始非线性系统的增量输入/输出到状态稳定性 (i-IOSS) 性质。受这一结果的启发，我们对从数据学习的有限维 Koopman 算子进行参数化。然后，利用深度概率稳定 Koopman 算子开发了一种鲁棒 MHE 算法。这种线性状态估计方法有效地解决了约束非线性估计问题，并被证明在存在模型失配的情况下，对底层非线性系统是鲁棒全局渐近稳定的。所提出的基于学习的 Koopman 建模和状态估计框架使用数值示例和反应器 - 分离器过程进行了评估。

本文的贡献包括：
1.我们建立了一个充分条件，将稳定的 Koopman 矩阵与原始系统的 i-IOSS 联系起来；这一结果激发了从数据学习有限维 Koopman 算子的稳定参数化。
2.我们提出了一种深度概率稳定 Koopman 算子（DPSKO）建模方法，并开发了一种基于 Koopman 的线性 MHE 方案，用于非线性系统的高效数据驱动状态估计。
3.我们证明了所开发的基于 Koopman 的数据驱动状态估计方案的鲁棒全局渐近稳定性。
4.我们展示了基于学习的建模和约束状态估计方法的有效性和优越性能。

章节片段
符号说明
I[a,b] 表示区间 [a,b]?R 内的整数集。I≥a 表示不小于 a 的整数集。对于向量 x∈Rn，|x| 表示向量 x 的欧几里得范数。|x|P 表示加权范数，计算为 |x|P?xTPx。x 表示有限或无限的向量序列，表示为 x?x0,x1,…; ‖x‖?supk∈I≥0|xk|（略有滥用符号）表示序列的上确界范数，而 ‖x‖[a,b]?supk∈I[a,b]|xk|，且 ‖x‖≥a?supk∈I≥a|xk|。‖A‖ 表示矩阵 A 的谱范数。

深度概率稳定 Koopman 算子
在本节中，提出了一种深度概率稳定 Koopman 算子（DPSKO）建模方法。首先，简要回顾 Koopman 算子的基础。然后，介绍所提出的 DPSKO 建模方法的构建模块。此外，我们提供了使用收集数据集进行训练过程的细节。

基于 Koopman 的鲁棒 MHE
在本部分，将基于学习到的 DPSKO 模型开发鲁棒 MHE 方案。此外，我们为该基于 Koopman 的 MHE 方案建立了稳定性保证。
在实际中，最优 Koopman 矩阵 A,B 和神经网络参数 通常是无法获得的；相反，通过训练过程 (27) 获得次优解 A?,B?,C? 和 ?。最优和次优 Koopman 算子之间的不匹配导致了建模残差 rk?(A?A?)gk+(B?B?)uk。

数值示例
首先，我们引入一个源自 Müller (2017) 的数值示例，以验证所提方法的有效性。该非线性系统的动态由以下方程表征： x1x2=0.8x1+0.2x2+0.5w?0.3x1+0.5cos(x2)y=x2+v 正如 Müller (2017) 中所讨论的，通过使用 i-IOSS Lyapunov 函数 L(x,y):=(x?y)TP(x?y)，其中 P=2.540.380.381.10，公式 (74) 中描述的系统是 i-IOSS 的。在此案例研究中，我们考虑公式 (74) 未知的情况。过程

结论
这项工作为了一类非线性系统开发了一种高效的基于学习的约束状态估计方案。构建了一个深度概率稳定 Koopman 算子模型，以从噪声数据集中描述非线性过程的动态行为。基于所提出的 DPSKO 模型，提出了一种鲁棒线性 MHE 方法。在存在建模误差的情况下，该估计方案对 i-IOSS 非线性系统是鲁棒全局渐近稳定的。所提出的

CRediT 作者贡献声明
Minghao Han: 写作 – 原稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析。Xunyuan Yin: 写作 – 审查与编辑，监督，资源，项目管理，资金获取，概念化。

关于手稿准备过程中生成式 AI 和 AI 辅助技术的声明
在手稿准备过程中，作者使用 ChatGPT 改进了文本某些部分的句子结构和语言。使用该工具/服务后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对发表文章的内容承担全部责任。

竞争利益声明
作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作。

致谢
本研究得到新加坡研究基金会和新加坡国家水务机构 PUB 的支持，资助项为其 RIE2025 城市解决方案与可持续性（USS）（水）卓越中心（CoE）计划，授予新加坡南洋理工大学南洋环境与水研究院（NEWRI）。本研究还得到新加坡教育部的支持，资助项为其学术基金第一层级（RG63/22）。任何意见、发现和
Minghao Han|Xunyuan Yin