具有相近密度的双层液体系统中的对流现象

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Convection in a double-layered system of liquids with close densities

　　摘要：本文研究了在双层流体系统中，当上层自由边界受到热作用时激光诱导的马朗戈尼对流现象。通过数值模拟，探讨了当两种液体密度相近时，可变形的内液-液界面以及上液-气表面的流动动力学和变化过程。在基于纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）和奥贝克-布西涅斯克近似（Oberbeck-Boussinesq approximation）的双边模型框架内，分析了非稳态对流特征。研究结果对比了硅油-甘油系统中热传递过程和热毛细效应表面的行为。所采用的数值模型及计算算法经过了与已有实验数据的验证。两种模型的预测结果与实验数据吻合良好，这在科学上具有重要意义，暗示了布西涅斯克近似方法适用于描述具有可变形界面的流体中的对流现象。模拟结果有助于评估不同方法下的流动特性差异，同时阐明了可变形边界的热毛细响应特性，并描述了表面轮廓的变化以及上层工作液体的破裂时间。液体密度差异越小，上层液体的破裂速度越快。基于纳维-斯托克斯方程的模型预测的破裂时间偏差在10%以内。文中还讨论了导致这些定量差异的物理原因。

引言：研究由温度变化引起的、在具有可变形界面的流体复合体中的浮力-热毛细驱动的流体运动问题具有极高的研究价值，因为这类系统在多种技术中有着广泛应用，例如材料科学和表面改性的热涂层方法[1],[2],[3],[4],[5],[6]、热管理[7]、微流控分选技术[8]（用于生物工程[9],[10],[11]）、非接触式测量与测试过程[12],[13],[14],[15],[16],[17]等。界面变形的动态特性始终是研究的重点。在许多工程应用中，精确操控液-气或液-液界面的形状至关重要，例如红外-可见光图像转换器[18],[19]和光流体组件[10],[20],[21]。通过施加空间调制激光束可以实现所需的表面变形；在这种情况下，由于多层系统中上层透明液体对激光辐射的吸收，从而能够控制内部界面的形状。可靠预测液体介质的行为和可变形边界的热毛细响应参数对于这类系统的开发与改进至关重要。

现代的流体对流过程分析方法包括建立数学模型，以确保质量守恒、动量守恒和能量守恒定律得到满足，并能够准确确定每个时刻的界面位置。这需要对分隔不同流体的表面进行数学理想化处理。传统的表面处理方法认为无质量边界具有自由能，并基于吉布斯吸附方程（Gibbs adsorption equation）和拉普拉斯公式（Laplace formula）推导出表面的热力学和平衡关系[22]。关于边界条件的严格推导及可能的额外闭合关系的讨论，可见于[23],[24]。在[24],[25],[26],[27],[28]中分析了推导一致理论及解决这类问题所涉及的各种方面和难点。使用适当的数学模型和适定的问题表述，可以对受到外部热负荷作用的流体中的界面形状变化以及对流和热质交换过程进行准确描述[27],[29],[30],[31],[32]。

大约50年前开始了对激光诱导的马朗戈尼流动的深入研究（详细综述参见[33]）。最初主要研究了具有自由表面的单层体系。在[34]中，提出了利用高斯激光束描述液体表面变化的理论方法，并提出了一种用于热毛细透镜重构的光毛细驱动方法。在[35]中，从理论上研究了在高强度短脉冲激光作用下，具有自由表面的 liquid 层中马朗戈尼对流的驱动力机制。对轴对称情况下的非稳态控制方程进行了尺度分析，并对不同激光束尺寸和强度下的液体表面时间依赖性变化进行了数值模拟。在[36]中推导出了描述受高斯激光束照射的吸收液体薄层表面形状的方程。基于该方程，估计了在不同激光功率值下的激光诱导热毛细变形的稳态轮廓。在[37]中提出了一种基于长波近似的模型，该模型允许采用渐近方法分析液体层在局部激光加热下基本特性和自由表面变形的演变过程。借助该模型，预测了在不同激光加热条件下，长波不稳定性的局部和全局模式的存在，以及流动拓扑、热场和自由表面形状的变化；实验室实验结果在定性上验证了这些分析结果。尽管单层模型在忽略气体相影响方面看似有用，但在[38]中基于单层和双层模型得到的实验数据对比，确实证明了双边方法的优越性。针对从下方加热的液体中的表面张力驱动对流问题，发展了一种双层非线性理论，能够描述由温度不均匀性引起的液-气界面变形，并阐明由长波模式引起的不稳定性参数。特别是推导出了一种通用形式的演化方程，用于预测新的相界面轮廓的形成（即局部隆起），这是单层模型无法揭示的。

在[18]中讨论了双层配置问题的理论方面，研究了在红外辐射不均匀加热下液-气和液-液界面的演变过程。特别讨论了使相关伴随问题简化以及边界条件形式的近似方法。推导出了适用于实际应用的速度场和界面变形的确定关系。在[19]中提出了评估受红外辐射照射的薄液层中液-液界面变形的表达式；研究表明，界面的变形程度大于上层液-气表面的变形。在[39]中提出了基于双边方法描述多层流体系统中激光诱导对流的数学模型。分析了界面变形的动态过程以及流体中对流热质交换的过程，这些过程依赖于层厚比和液体粘度。研究表明，在粘度和层厚度相等的情况下，界面保持不变。将该模型应用于液体纤维的动力学数值模拟，证明了光毛细效应在光驱动的马朗戈尼应力作用下导致的局部挤压或膨胀现象[40]。在[41]中研究了在上层自由表面受到局部加热的多层流体中的热毛细对流问题。提出了一种基于将初始复杂问题分解为具有特定匹配条件的单元模块的数学模型。多层流体系统被视为一组通过界面边界条件相互关联的单一类型域，并构建了一个有效的专用数值算法来计算流动模式和界面演变。后来，这些数学和数值模型被修改用于模拟底层吸收泵浦激光束、上层传输光信号的双层系统的动力学[42]。使用Oberbeck-Boussinesq近似对甘油-硅油系统进行的直接数值模拟结果得到了实验数据的验证，发现与实验数据有很好的定性一致性，并讨论了由于内在误差导致的定量差异原因。关于相应的实验装置、测量技术和实验数据处理方法的详细描述，可见于[21]。

本研究在二维框架下，研究了两种不相溶的粘性不可压缩液体系统中的热毛细对流现象，该系统包含液-液界面和上层液-气自由表面。双层系统位于具有不透水等温固体底部和侧面边界的内腔中。利用两个数学模型确定了由泵浦激光束在自由表面引起的对流运动特性。其中一个模型基于粘性不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程（NSEs），而另一个模型则使用奥贝克-布西涅斯克方程（OBEs）作为控制方程。NSEs和OBEs系统都是基于斯托克斯假设（Stokes assumptions）对牛顿流体控制方程的简化结果，这些假设认为某些小参数趋于零[24]。OBEs是通过将小布西涅斯克参数??的幂级数展开得到的控制方程的主导项[43],[44]。控制流体动力学方程本身通常被称为可压缩流体的纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），它们是质量守恒、动量守恒和能量守恒定律的微分形式。对流模型的层次结构、其严格性证明以及各种对流问题（包括具有界面的情况）的正确表述，可见于专著[24],[45]。在布西涅斯克近似中，基本思路是在实际引发运动的地方（即浮力作用处）考虑温度相关的液体密度变化。这里假设密度对温度的依赖是线性的；在其他情况下，密度被视为常数（具有平均值或参考值）。同时引入了修正压力代替了液体压力函数；它等于液体压力与静水压力的偏差。这有助于排除一些微弱效应（例如在连续性方程中忽略密度的微小变化），这些效应在大多数液体对流问题中并不关键。

相应模型的数值实现难度由模型本身决定。在完整的NSEs模型中，密度是所有方程（特别是连续性方程）中的变量函数，必须规定连接压力、密度和温度的流体状态方程。这使得系统具有高度非线性，导致严重的数值难题：由于声学干扰，时间步长必须严格限制。基于完整NSEs的模型实现具有特定的数值实现特性。解决由NSEs离散化得到的方程组往往需要使用迭代方法（例如共轭梯度法或其改进方法）并进行预处理。为了简化非稳态问题的求解，可以分割算子；因此可以实现分裂方法[46],[47],[48]。关于可压缩介质流动的数值研究方法也在积极发展中[46],[47],[48]。参考书[49]是一份重要的专著，其中包含了广泛的参考文献、方法分析和流体流动数值研究的实现细节，包括可压缩流动的研究。此外，可以参考[50]，其中专门讨论了在可压缩流体中对流现象的研究。在讨论深层流动的情况时，可压缩性效应变得重要且需要被考虑，但这里没有采用Boussinesq近似方法，因为该方法被认为是不可接受的。与完整的Navier-Stokes（NSEs）系统相比，Boussinesq方法在处理自然对流问题时具有许多重要的优势。在Boussinesq近似下，充满系统的密度与压力之间的刚性关系消失了，从而加快了计算速度。在对流问题中，常常会出现静水压力分量远大于局部压力变化的情况[44]。Boussinesq近似方法允许我们将这部分静水压力部分正式分离出来。如果在控制方程的所有项以及界面或自由表面的边界条件中都考虑变密度，那么计算域及其边界上的压力变化可能会增大，从而导致精度损失。使用Boussinesq近似可以避免这个问题，因为压力主要由平均密度决定，而浮力作用中的压力偏差仅在局部考虑。由于简化了计算过程，Boussinesq近似方法使得可以使用对网格选择（或更广义地说，对离散化方法）不那么敏感的高效数值方法。这一事实通过减少计算错误和提高算法稳定性来提高了整体计算精度。

值得注意的是，用于基于Oberbeck-Boussinesq方程（OBEs）模型的数值实现的离散化方法。在计算流体动力学程序中，广泛使用半隐式压力相关方程方法（SIMPLE，Patankara方法）来计算基于真实变量编写并包含压力函数的对流方程[51]。附加特征法（MAC，Harlow方法）对于具有移动边界的问题非常有效（参见综述[52]）。对于具有刚性不透水边界的域中的对流问题，可以使用基于物理过程分割思想的数值方法。这些算法要求实现对流和扩散阶段[53]、[54]。许多分割方法的变体更为稳定，并且需要更小的时间步长。

当密度变化非常小的情况下（这通常适用于许多自然和技术系统，例如封闭系统、具有薄层和适度温度变化的系统），使用Oberbeck-Boussinesq模型是特别合理的。需要注意的是，Boussinesq近似的适用性是有局限性的。它不适用于密度降较大、温度梯度非常高或者介质完全可压缩性至关重要的情况（例如，在模拟冲击波或特定声学效应时）。在这种情况下，必须使用完整的NSEs。因此，Boussinesq近似的优势在于它为那些基本物理原理已经体现在浮力中的问题提供了一个实用的简化方案，在这些情况下，可压缩性不会显著改变流动的状态。Boussinesq方法为广泛的对流问题提供了可接受的精度，并减少了计算所需的时间和资源。然而，其应用需要对具体问题进行仔细分析，并理解该方法的局限性。

关于在特定情况下使用Boussinesq近似来模拟流体系统中对流热和质量交换的科学讨论，为进行这项研究提供了动力。关于Boussinesq型模型可用性条件的主要问题在[55]中进行了回顾。其中一个案例涉及使用标准OBEs来描述具有不同性质流体的可变形表面域中的对流的正确性。在[56]、[57]、[58]、[59]、[60]、[61]中，考虑并评估了在Boussinesq近似框架下的自由表面变形。在[55]中，对基于NSEs和OBEs方法的双边模型得到的数值结果进行了比较，研究对象是一个在刚性墙壁封闭区域内、具有可变形液-气界面的局部加热两相系统中的非稳态对流问题。这一分析表明，即使界面发生强烈变形，OBEs建模也能一致地描述双层系统的动态和可变形边界的行为。使用Oberbeck-Boussinesq模型还可以额外评估由非等温性引起的密度下降对界面变形的影响。然而，一些作者指出，在研究具有变化曲率的可移动边界域中的对流问题时，标准Boussinesq近似假设的可变形性是不成立的[62]、[63]、[64]、[65]。在这种配置下，必须正确考虑界面两侧密度跳跃对动态条件的影响[63]、[64]、[65]。特别是当接触流体的密度接近时，密度跳跃的值与非等温性引起的密度下降相当，界面变形可能会显著影响流体系统的动态。因此，当密度差有限时，界面扰动会受到重力的抑制。在[66]中提出了一个非Boussinesq模型，该模型考虑了具有有限密度跳跃（外部密度为零）的双层系统中的自由表面变形。我们还参考了[67]、[68]中的工作，这些工作基于广义Boussinesq近似研究了Rayleigh-Benard-Marangoni对流在单层和双层系统中的表面变形的影响。

在非稳态问题的框架内，需要特别关注的三相接触线运动建模问题。在二维配置中，当一个封闭的平面单元部分被液体填充时，液体-气体表面与刚性边界相接的点就是三相接触点；相边界与固体墙壁之间的角度就是接触角。关键点是为速度函数设定运动学上兼容的边界条件以及确定动态接触角[69]、[70]、[71]。在[72]中简要回顾了类似本文中使用的方法来正确描述具有可移动三相接触点的域中的流体动力学的问题。

研究的目的是通过比较使用OBEs和基于NSEs的模型得到的数值模拟结果，来论证在具有紧密密度差的分界面的系统中应用Oberbeck-Boussinesq近似来描述对流的可行性，或者找到限制Boussinesq型模型适用条件的情况。为了验证数值结果，使用了[42]中提出的关于在自由边界进行局部激光加热时硅油-甘油系统中对流研究的物理实验数据。这两个模型都包含了确定双层系统初始状态的初始条件以及外部固体壁、内部界面和自由表面的边界关系；这里，液体-液体和液体-气体表面的条件是基于守恒定律和一些补充假设推导出来的[23]、[24]。寻找界面和自由边界的位置是研究的一个特定子问题。在所使用的数值模型中，每个时间点的液体-液体和液体-气体位置是通过基于Gibbs假设制定的运动学条件来确定的。计算结果表明，在密度接近的情况下，基于OBEs的双边模型得到的结果与基于NSEs模型得到的结果是一致的。两个模型都预测上层在液体密度差减小时的破裂速度更快；在这里，模型预测的上层破裂时间的定量差异不超过12%。因此，可以说基于OBEs的模型非常适合描述所考虑流体系统中的激光诱导对流。

**数学模型**
考虑了一个由粘性不可压缩液体组成的双层系统，这些液体填充在一个矩形开放单元中（见图1），该系统处于重力场中，其中??=(0,???)，??是自由落体的标准加速度。在笛卡尔坐标系（??,??）中，底部和侧面的边界??=0, ??=0, ??=??是不可渗透的固体墙壁，上层边界????={(??,??):??=?????(??,??)}是自由表面。相邻的液体由表面??={(??,??):??=???(??,??)}分隔，这是内部界面。

**系统参数**
研究了在地球重力（??=9.81 m/s2）下，激光束作用引起的双层流体中对流的起始和发展。系统的几何参数如下：腔体长度为??=200 mm，未受扰动状态下的层厚度?1和?2分别为5 mm（5000μm）和1.5 mm（1500μm）。热量从自由表面一侧施加；这里的激光束是...

**密度跳跃的影响**
在某节中讨论了使用OBEs型模型得到的结果。激光泵浦会产生一系列响应。当外部源产生的热量到达自由表面时，会产生切向应力，导致液体沿着????从加热区向周围扩散。在????上的热毛细运动的特征速度为??2????=?????2????/(??2???2)。对于所研究的??2值，有??2????={6.97?1?0?2, 6.56?1?0?2,...

**结论性评论**
在基于Navier-Stokes方程及其Oberbeck-Boussinesq近似的模型框架内，研究了具有接近密度值的液体双层系统中的非稳态热毛细对流。使用CRediT方法数值研究了由激光束从上层自由边界侧作用引起的密度下降对系统对流过程的影响。

**作者贡献声明**
V.B. Bekezhanova：撰写-原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、概念化。O.N. Goncharova：撰写-原始草稿、验证、软件、方法论、研究、形式分析、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能会影响本文所述的工作。

**致谢**
V.B. Bekezhanova的工作是在ICM SB RAS的国家任务框架内完成的，项目编号为FWES-2024-0025。O.N. Goncharova的工作是根据俄罗斯科学与高等教育部的项目“用于环境管理、工业系统和极地力学的现代流体动力学模型”（2024-2026年）进行的，政府合同代码为FZMW-2024-0003。计算是在计算集群上进行的。

V.B. Bekezhanova | O.N. Goncharova
俄罗斯科学院计算建模研究所，Akademgorodok 50/44，Krasnoyarsk，660036，俄罗斯