动态价格竞争与包含搜索行为的进化博弈

《International Journal of Industrial Organization》：Dynamic Price Competition and Evolutionary Behavior with Search

　　摘要：本文构建了一个动态定价模型，该模型考虑了具有有限理性消费者搜索行为的情景。消费者观察到单一价格，可以选择进行成本较高的搜索以了解其他价格，然后从观察到价格最低的公司购买商品。只有当观察到的价格超过消费者的动态调整后保留价格时，消费者才会选择进行搜索。公司在当前保留价格分布的情况下进行优化。短期内，定价特征表现为埃奇沃思循环（Edgeworth cycles）。每个循环不是通过混合策略重置，而是当拥有较大市场基础的公司通过垄断其剩余需求而放弃竞争时重置。循环的上限和下限会随着消费者搜索行为的变化而变化，但变化方向不一定相同。这些循环是否会在长期内持续存在，或者定价动态会收敛到钻石悖论（Diamond paradox）、伯特兰悖论（Bertrand paradox）还是折弯需求均衡（kinked-demand equilibrium），取决于我们在这里概述的外生条件。

引言：动态定价和消费者搜索理论为产业组织学引入了几个著名的均衡现象和悖论。来自消费者搜索研究的钻石悖论（Diamond, 1971; Dale and Stahl, 1989），以及动态定价研究中的三种重要模式：伯特兰悖论、折弯需求均衡和埃奇沃思循环（Maskin and Tirole, 1988）。通过将有限理性的消费者搜索动态与价格竞争结合起来，本文展示了埃奇沃思循环在这些均衡模式之间的联系。如果消费者没有因为搜索行为而受到足够的抑制，短期内定价将以埃奇沃思循环为特征，并且在长期内这些循环可能会持续存在。否则，通过收缩的埃奇沃思循环，价格会收敛到折弯需求均衡，这可能是通过垄断价格（钻石悖论）或搜索成本实现。

本文借鉴了进化博弈论的工具，并将Dale和Stahl（1989）的无向消费者搜索静态框架与Maskin和Tirole（1988）的粘性价格动态框架相结合，将其应用于连续时间环境，并假设消费者和公司都具有有限理性。传统方法通常认为消费者会对公司的均衡价格分布形成理性预期，并在预期节省的成本超过搜索成本时才进行搜索（即保留价格均衡）。也有文献研究了非保留价格均衡。然而，在我们的模型中，消费者根据简单的经验法则做出决策，并通过不需要信息或认知负担的机制定期调整其决策规则。具体来说，如果观察到的价格超过消费者的特定保留价格（该保留价格是接受阈值的组合以及个体特定的随机冲击），消费者就会开始搜索。然后，消费者通过模仿表现更好的其他消费者的策略来调整自己的阈值。我们的保留价格概念与传统的定义不同（参见例如Anderson和Renault, 2018），在传统定义中，保留价格是通过 对价格分布的理性预期形成的。

我们假设公司能够观察到消费者选择的阈值的当前分布，但并不了解消费者调整这些选择的过程。在这种有限的认知条件下，公司选择价格以最大化短期利润，尽管主要结果对这一假设并不敏感。由于消费者保留价格的冲击是个体特定的，从公司的角度来看，每个消费者似乎是随机地进行搜索的，搜索概率随着观察到的价格的提高而增加。每个消费者都有一个单位的潜在需求，他们会从观察到的公司购买一个单位商品，或者进行搜索并从价格最低的公司购买一个单位商品。在这个框架下，消费者的行为可以简单地描述为：当公司价格之间的差异超过搜索成本时，消费者会更频繁地搜索（采用更低的阈值）；否则，搜索频率会降低（采用更高的阈值）。尽管这种动态在直观上显而易见（但与Lewis, 2011等中的自适应搜索模型不同），但它对价格演变和收敛可能性有重要影响。短期内，市场表现为埃奇沃思循环，这是无向搜索研究中特有的现象。一家公司会不断降低价格以吸引那些不进行搜索的消费者，直到另一家公司提高价格以垄断剩余需求，然后这一过程重复。长期来看，这些埃奇沃思循环可能会持续存在，或者市场可能会收敛到钻石悖论或折弯需求均衡。在零售汽油市场中经常观察到这种循环（Castanias和Johnson, 1993; Eckert和West, 2004; Noel, 2007a; Noel, 2008; Wang, 2009; Doyle等人, 2010; Zimmerman等人, 2012; Isakower和Wang, 2014），这使得消费者难以观察到或了解价格分布。由于价格周期的存在，价格通常与边际成本脱钩，从而降低了搜索决策的信息价值。我们证明循环的上限通常不是垄断价格，而下限通常高于边际成本和搜索成本，两者都降低了信息价值。此外，循环的上限和下限会随着总体搜索行为的变化而变化（但变化方向不一定相同），这使得从过去的经验中学习变得困难。

我们的埃奇沃思循环与传统的埃奇沃思循环（Maskin和Tirole, 1988, Wallner, 1999; Eckert, 2003）有几个重要区别。首先，由于搜索的随机性，高价公司的剩余需求不为零，这削弱了降价竞争的动机。其次，当价格竞争到足够低时，公司会选择放弃竞争，这是出于自身利益。由于高价公司仍有剩余需求，因此它在剩余利润超过低价公司时才会放弃竞争。这与Maskin和Tirole（1988）的模型不同，在该模型中不存在剩余需求，所以公司不会立即从放弃竞争中获益。因此，公司通常不会将价格降到边际成本。非零的剩余需求为公司提供了更大的动机，使其更有可能在价格战中率先提价，这一结果与汽油市场的实证发现一致（例如Noel, 2007b; Atkinson, 2009; Isakower和Wang, 2014）。此外，我们可以通过Gelman和Salop（1983）的柔道价格（judo price）理论，准确描述公司何时会放弃竞争：柔道价格是指竞争对手能够设定的最高价格，使得该公司更倾向于垄断剩余需求而非继续价格战。这种联系将消费者搜索解释为一种软性容量限制，因为降价带来的销售增长幅度小于消费者需求所要求的幅度。第三，与Varian（1980）或Maskin和Tirole（1988）的传统模型不同，我们的模型内生化了竞争强度随时间的变化过程。消费者的搜索意愿取决于当前观察到的价格，而不是固定的搜索概率或随机方差。这种机制导致埃奇沃思循环的峰值和低谷都会随着搜索活动的变化而变化，正如零售汽油市场中的观察结果（Noel, 2007a）。实证研究表明，价格比较流量、广告或价格警报等指标不仅应与价格周期的低谷相关（如Lewis和Marvel, 2011所示），也应与峰值相关；然而，这种相关性可能是正的也可能是负的。因此，该模型为竞争强度随时间变化提供了微观基础，这是传统搜索和循环模型所缺乏的。最后，我们模型中的循环是非周期性和随机的。由于价格粘性的特点，循环的周期长度本身是随机的。价格和消费者搜索阈值的收敛（或不收敛）取决于埃奇沃思循环的峰值（剩余需求最大化者）和低谷（柔道价格）之间的差距。如果这种差距足够大，价格和消费者的搜索阈值将保持不变，非周期性的随机埃奇沃思循环将持续存在；如果柔道价格和剩余需求最大化者之间的差距较小，消费者将逐渐采用最高阈值，循环将以固定的界限稳定存在。因此，如果消费者在最高阈值下搜索的频率足够低，循环会缩小，收敛到垄断价格（钻石悖论）。还存在一种特殊情况（当定价等于搜索成本时，可以在所有消费者都采用最高搜索阈值的情况下最大化剩余利润）。价格不会收敛到钻石悖论，而是收敛到搜索成本。如果将搜索成本设为零，则会出现伯特兰悖论；然而，由于某些消费者仍会进行搜索，价格会上升至高于零的水平，因此伯特兰悖论并不是渐近稳定的。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍模型，第3节讨论比较静态分析和动态分析，第4节提供分析和计算示例，第5节进行讨论和总结性评论。在线附录提供了额外的结果，并对模型中的假设进行了扩展。

模型概述：本节构建了一个连续时间的双寡头模型，其中公司通过选择价格进行竞争，而消费者根据带有影响搜索决策的阈值来调整这些阈值。价格和阈值具有粘性：公司和消费者调整策略的机会是随机的，并由泊松过程控制。

均衡：由于公司的策略仅依赖于当前状态，而消费者的调整协议取决于当前价格pt和当前状态xt，我们的解构成马尔可夫完美均衡（Markov Perfect Equilibrium, MPE）。接下来，我们探讨了xt沿均衡路径的演变过程。正如下面将展示的，一阶随机优势为这种搜索动态提供了一种自然的描述方式。

分析示例：本节通过一个分析示例和计算模拟来说明定理1、2和命题5。假设σt～{U(?2,?1)的概率为0.004，U(?1,1)的概率为0.992，U(1,2)的概率为0.004，其累积分布函数φ在(?2,2)区间内严格递增。这些权重和其余参数满足了说明所有三个结果（C1、C2′和命题5）的条件。由此可知，φ(g?τk)={1/2+0.496(g?τk) if τk≤g，0.004(g?τk+2) if τk>g。

讨论与总结性评论：通过构建一个包含公司竞争的无向消费者搜索模型，本文描述了市场结果，并得出了几个可被实证检验的预测，包括由于代理人有限理性而产生的短期和长期动态。短期动态表现为随机埃奇沃思循环，这些循环在特定条件下通常会在长期内持续存在。对于给定的消费者搜索阈值分布，拥有较大市场份额的公司CRediT。

作者贡献声明：Blake Allison负责撰写——原始草稿、方法论、调查、形式分析、概念化；Michael Sacks负责撰写——审阅与编辑、原始草稿、方法论、调查、形式分析、概念化。作者们没有需要声明的利益冲突。