过热液体中静止蒸气气泡热生长的相似性分析

《International Journal of Thermal Sciences》：A similarity analysis of the thermal growth of a stationary vapour bubble in a superheated liquid

　　

摘要
在本工作中，我们表明热层中热扩散方程的相似变换导致了对无限过热液体池中核态沸腾气泡生长动力学渐近理论的推广。该变换使我们能够定义相似变量，并将扩散方程的偏微分方程（PDE）简化为求解液体温度径向变化的常微分方程（ODE）以及求解热边界层厚度的常微分方程。因此，该方法有效地求解了扩散方程，消除了我们半解析解中忽略生长气泡移动表面引起的热对流的假设。我们通过汽液界面的能量平衡获得了气泡生长率。该工作免去了用于生长率的瑞利 - 普莱斯（Rayleigh-Plesset）方程。有趣的是，我们在薄热层假设下获得了符合普莱斯 - 兹威克（Plesset-Zwick）方程的生长率。我们还研究了热边界层常微分方程的渐近特征。因此，生长率的渐近解在初始阶段（小时间渐近解）t→0 演变为我们之前的极限解，而在最终阶段（大时间渐近解）t→∞ 演变为一个新的解。这些发现被证明与实验及我们的数值模型具有良好的一致性。最后，我们将努塞尔数（Nu）表述为雅可比数（Ja）的函数，适用于 t→0 和 t→∞ 的情况。

1. 引言
核态池沸腾中气泡的生长是气泡动力学（BD）的基本特征。其速率估算界面热通量和壁面热通量。由于核态沸腾具有惊人的快速传热率，它被广泛用于包括核反应堆 [1] 在内的能源系统中的热量移除。无限过热液体池中蒸汽气泡的生长起源于由局部压力突变形成的核（空腔）；表面张力的效应决定了空腔的半径 [2]。在此阶段，生长主要由于气泡内部的蒸汽压力 $p_v$ 与外部或环境压力 $p_\infty$ 之间的差异（水动力生长）。瑞利运动方程 [[3], [4], [5]] 决定了水动力生长率 [[6], [7], [8], [9]]；蒸发所需的少量热传递会导致气泡的显著生长。当气泡生长到在气泡表面形成较厚热层的尺寸（半径）时，该层为蒸发的热传递提供了阻力；此阶段主要由热传递引起的生长率（热生长）减慢。达到最大直径后，气泡开始通过液体池上升或脱离加热表面。过去几十年见证了关于气泡生长和形状的复杂动力学，以及气泡动力学对界面热传递和壁面热传递影响的大量工作 [10,11]。在生长初始阶段，宏观层（热层）蒸发率在某些操作条件下对于确定气泡的整体生长率和形状变得至关重要。尽管文献中报告了气泡生长率的渐近解，但它们未考虑在生长后期发生的微观层蒸发。微观层蒸发被广泛用于计算宏观层和微观层蒸发的计算流体动力学（CFD）代码中。在宏观层蒸发中，周围液体的能量方程（热扩散方程）和气泡表面（汽液界面）的能量方程被结合以确定气泡表面的温度梯度和气泡的热生长率 [[12], [13], [14], [15]]。蒸汽质量径向对流对气泡生长的影响首先由作者 [14] 通过使用连续性方程引入。热边界层的厚度在确定热通量时变得重要。热扩散方程计算气泡表面处的温度梯度 $(\partial T/\partial r)_{r=R(t)}$；$R(t)$ 是瞬时气泡半径。生长蒸汽气泡移动表面的梯度已被许多作者通过数值和解析方法确定 [8,[16], [17], [18]]。非球形（半球形）气泡液体温度场的渐近解和数值解都证实了气泡穹顶附近存在薄且不稳定的热层 [19]；在生长早期，通过边界层到穹顶的热传递是显著的。一项关于异质沸腾中气泡生长的数值分析，使用有限差分法包含了蒸汽气泡、微观层和加热表面之间的能量传递，并确定了气泡的生长和形状 [20]。

相似解方法 [[21], [22], [23], [24]] 通过在由偏微分方程描述的半无限几何问题中引入“相似”变量，简化了流体流动和热传递的边界层问题。偏微分方程被变换为常微分方程，后者易于求解。温度剖面形状不变的近似在几毫米或微米量级的距离上是合理的 [25]。剖面的幅度根据相似变量变化的缩放因子而改变。因此，该变量的选择是求解方程的关键。过去发展的关于热生长率（渐近解和半解析解）[3,6,12] 的理论，在中等过热度下和高过热度下大多显著高估生长率；其中少数低估了生长率。瑞利 - 普莱斯方程对气泡半径的高估最终导致与实验气泡半径的显著偏差（32-54%），特别是在高超热下。

目前的工作试图提出一个新的渐近解，以改进现有理论，并最小化高超热下预测与实验之间的差距。我们在文献综述中注意到，巴蒂 - 帕鲁亚（Bhati-Paruya）渐近解 [6,12]（时间 t→∞）是从过度简化的能量方程中获得的。该解的局限性在于忽略了由于界面运动引起的周围液体运动的对流效应（$u(\partial T/\partial r)=0$），这是假设拉格朗日框架（$\mathfrak{R}=(r^3-R^3)/3$，$\mathfrak{R}$ 是拉格朗日自变量，$r$ 是径向距离，$R$ 是瞬时气泡半径）得出的。值得注意的是，在拉格朗日框架中消除 $u(\partial T/\partial r)$ 是由作者 [5,18] 为其分析引入的，假设 $\mathfrak{R}/R^3 \ll 1$ 以获得 $R \sim \sqrt{12\alpha/\pi}Ja\sqrt{t}$（$Ja$ 是雅可比数，$Ja=\rho_l c_{pl}(T_\infty - T_v)/\rho_g h_{fg}$），$T_\infty$ 和 $T_v$ 分别是过热液体和饱和蒸汽的温度；$\rho_l$ 和 $c_{pl}$ 是液体的密度和比热容；$\rho_g$ 是蒸汽的密度；$h_{fg}$ 是相变潜热，适用于 $t \gg 0$（当热生长率和惯性生长率相等时）。作者 [5] 还获得了热边界层的厚度 $\delta$（$\delta \sim \sqrt{\alpha t}$）；$\alpha$ 是液体的热扩散率。在当前分析中，包含了由于气泡生长引起的周围液体运动的对流效应；$u(\partial T/\partial r)$ 被保留在公式 (1) 中。我们将表明，整体相似解在假设薄热层的情况下导致普莱斯 - 兹威克方程 [18] 对于 $R(t)=\sqrt{3Ja}\sqrt{4\alpha/\pi}\sqrt{t}$。尽管相似变换方法在文献报告的问题中使用，但本研究使用的变换导致了边界层方程。与以前的研究不同，本研究中演变出的边界层方程是所有渐近方程的中心点。热边界层方程的渐近特征使我们能够在最终阶段（大时间渐近解（LTAS），t→∞）获得气泡生长的新渐近解 $R(t)=\sqrt{2Ja}\sqrt{4\alpha/\pi}\sqrt{t}$，并在初始阶段（小时间渐近解（STAS），t→0）获得 $R(t)=Ja\sqrt{4\alpha/\pi}\sqrt{t}$。STAS 和 LTAS 的时间尺度已被重新制定。另一方面，相似分析也使我们能够获得随时间变化的 $\delta$ 的准确解。过去对于气泡生长的 $\delta$ 解大约是获得的。有趣的是，这些相似解消除了作者 [3,6,12] 在热扩散方程中做出的气泡壁速度可忽略的假设。气泡表面（汽液界面）热平衡的假设被保留。

2. 数学模型与方法
向蒸汽气泡传热以使其在过热液体池中生长的非稳态能量方程由公式 (1) 给出（图 1）。在图中，$dR/dt$ 是诱导液体惯性力的气泡生长率。蒸汽压力 $p_v=p_{sat}(T_\infty)$ 对应于过热液体温度 $T_\infty$；$p_\infty$ 是环境压力。随着气泡的生长，它由于气泡 - 水界面的移动而在周围液体中诱导运动惯性，速度 $u$ 为 $u=R^2(dR/dt)/r^2$。我们在分析气泡生长以找到气泡半径 $R$、热层厚度 $\delta$ 和努塞尔数 $Nu$ 的渐近解时做出以下假设：
(1) 生长气泡的形状是球形的 [6]。
(2) 气泡内部和表面处于平衡状态，使得气泡表面（界面）的温度等于对应于 $p_\infty$ 的饱和温度。
(3) 热层两侧的总温度差保持恒定（遵循假设 2）。
(4) 水和液体钠的粘性效应可忽略 [5]。
(5) 液相和气相都是不可压缩的。

图 1. 过热液体中蒸汽气泡的示意图。

周围液体的非稳态能量方程：
(1) $\frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\alpha}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) \quad R \le r \le \infty \quad (= \delta(t)) \quad (\text{见图 1})$
其中，$u = \frac{R^2 U}{r^2}$; $U = \frac{dR}{dt}$;
注意，温度变化主要发生在热层中，超过该层变化变得平坦。这允许引入一个边界条件 $(\partial T/\partial r)_{r=\infty}=0$。
周围液体的速度 $u=R^2(dR/dt)/r^2$ [26] 是从连续性方程中获得的，假设液体是不可压缩的：
(2a) $u(4\pi r^2)\rho_l = U(4\pi R^2)\rho_l$
公式 (1) 重写为：
(2b) $\frac{\partial T}{\partial t} + \frac{U R^2}{r^2}\frac{\partial T}{\partial r} = \alpha\left(\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r}\right)$
具有初始条件：
(2c) $T(r,0) = T_\infty$
边界条件：
(2d) $T(R,t) = T_v$
(2e) $T(\infty,t) = T_\infty$
变量 $r$ 到 $y$ ($y = r-R$) 的变换以及假设 $y/R \ll 1$ ($y \sim \delta$) 给出：
(3a) $\left(\frac{R}{r}\right)^2 = \left(\frac{R}{R+y}\right)^2 = \left(1+\frac{y}{R}\right)^{-2} \approx 1 - \frac{2y}{R}$
(3b) $\frac{1}{r} = \frac{1}{R+y} = \frac{1}{R}\left(1+\frac{y}{R}\right)^{-1} \approx \frac{1}{R}\left(1-\frac{y}{R}\right) \approx \frac{1}{R} \quad (y/R \ll 1)$
薄热层近似 $\delta/R \ll 1$ 由普莱斯 - 兹威克 [18] 提出以简化问题，这忽略了在极高生长率下的热传导阻力。当由于界面两侧的压力差导致惯性诱导生长时就会发生这种情况。普罗斯佩蒂 - 普莱斯（Prosperetti-Plesset）[5] 表明该假设在高 $Ja$ 或高超热下是有效的。
注意我们非常感兴趣于气泡表面附近（$0 \le y \le \delta$）的温度剖面和其梯度。当气泡达到足够大的尺寸时（$t \gg 0$ 且 $\delta/R \ll 1$），浮力超过粘性阻力，气泡将处于运动状态。
变量 $r$ 到 $y$ ($y = r-R$) 的改变使我们能够将公式 (2b) 写为：
(3b) $\frac{\partial T}{\partial t} + \left[U\left(1-\frac{2y}{R}\right) - \frac{2\alpha}{R}\left(1-\frac{y}{R}\right)\right]\frac{\partial T}{\partial y} = \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}$
上述方程已针对热层求解，即 $0 \le y \le \infty (= \delta)$，具有以下初始和边界条件。对于 $y > \delta$，温度剖面保持平坦。
初始条件：
(3c) $T(y,0) = T_\infty$
边界条件：
(3d) $T(0,t) = T_v$
(3e) $T(\infty,t) = T_\infty$
汽液界面（气泡表面）处的能量方程：
蒸发液体所需的能量由通过液体的热扩散提供。对于球形气泡，汽液界面处的能量平衡由下式给出
(4) $\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_g h_{fg}\right) = \int_{A_s} -k_l \left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)_{r=R} dA$
具有初始条件：$R(0)=R_0$。在上述方程中，$\rho_g$ 和 $h_{fg}$ 是蒸汽密度和汽化潜热。由于假设汽相是不可压缩的，其密度变化和压力 - 体积功可忽略。因此，消除了气泡内部的压力变化。这可能发生在气泡生长速率缓慢时，正如在热生长中所预期的。基于这些近似，有 $d\rho_g/dt=0$ 和 $dh_{fg}/dt=0$。

2.1 气泡半径的渐近解
使用相似解方法，定义了一个结合 $y$ 和 $t$ 的无量纲相似变量 $\eta$：
(5) $\eta = \frac{y}{\delta(t)}$
$\delta(t)$ 是热边界层的厚度。公式 (5) 中 $\eta$ 的标度通常在边界层方法（鲁肯斯坦 - 戴维斯 [24]）中使用。使用该标度，人们可以很容易地找到边界层的厚度和跨层的热梯度。

Scriven [14] 提出了一个看似不同的标度 η=r/√4?α?t，由于 δ(t)～√α?t，这本质上与式 (5) 相同。标度温度 ? 定义为：
(6a) ?=(T?Tv)/(T∞?Tv)
利用式 (3b)、(5) 和 (6a) 以及 B=(1/R)?dR/dt=U/R，我们得到：
(6b) ??/?t+[(U/R)(1?2?η?δ/R)?2?α/R?(1?η?δ/R)]???/?y=α??2?/?y2
应用链式法则 ??/?t=(d?/dη)?(?η/?δ)?(dδ/dt) 和 ??/?y=(d?/dη)?(?η/?y)，我们得到：
(6c) ?(η/δ)?d?/dη+[(B/R)(1?2?η?δ/R)?2?α/R?(1?η?δ/R)]?(1/δ)?d?/dη=(α/δ2)?d2?/dη2
由于 2?α?η?δ2/R2～0，因为 δ/R?1，我们得到：
(7a) [η?δ?(dδ/dt)?(B?R2/δ)?(δ/R)+2?η?B?δ2+2?α?δ/R]?d?/dη+α?d2?/dη2=0
边界条件 (BCs) 为：
(7b) ?(η=0)=0, ?(η=∞)=1
由于在 η=∞（远离气泡表面）处 ? 的变化是平缓的，我们有一个附加边界条件：
(7c) (d?/dη)|η=∞=0
我们在以下情况下推导渐近解。
(1) 它是纯热生长，因此，对于 t→0/∞ 的热生长，BR (=dR/dt)→0。在这种情况下，如果使用瑞利 - 普莱塞特 (Rayleigh-Plesset) 方程来确定 R，对于 t→0/∞ 的近似 BR (=dR/dt)→0 可能行不通，因为生长的驱动力是界面两侧的压力差。
(2) 热层很薄，因此 δ/R ?1，基于此得到式 (7a)。
在上述条件下，可以很容易地忽略项 B?R2?δ/R 和 2?α?δ/R。随着 BR (=dR/dt)→0 随后 δ/R ?1，B?R2?δ/R →0 且 2?α?δ/R →0。这些近似是为了在热生长阶段实现实际上很小的气泡生长率，正如实验 [27,28] 中所观察到的。
忽略项 B?R2?δ/R 和 2?α?δ/R，我们从式 (7a) 得到：
(8a) η?[δ?(dδ/dt)+2?B?δ2]?d?/dη+α?d2?/dη2=0
它可以重排为：
(8b) η?(d?/dη)/(d2?/dη2) = ?α/(δ?(dδ/dt)+2?B?δ2) = K
任意常数 K 的选择是为了满足边界条件式 (7c)。为方便起见，我们取 K=?1/2。我们进一步说明，可以从式 (8b) 得到以下方程。
(8c) d2?/dη2=(η/K)?d?/dη
上述方程的解是
(8d) ?=C??η∫(从 0 到 η) e^(η2/2K) dη+C?
利用 BC ?(η=0)=0，我们得到 C?=0。为了满足 BC ?(η=∞)=1 并找出 C?，K 必须小于零且等于 ?1/2，从而导致误差函数 erf (η)。式 (7c) 给出的边界条件也证实了 K<0。
现在，式 (8b) 给出以下方程：
(9a) δ?(dδ/dt)+2?B?δ2=2?α
对于静止的蒸汽泡，式 (9a) 也被 Ivashnyov-Smirnov [29] 获得。
式 (9a) 的初始条件
(9b) δ(0)=0
我们看到 Ivashnyov-Smirnov 使用的 δ(0) 是 √π?R/(3?Ja)。
从式 (8b)，我们也得到
(10) d2?/dη2+2?η?d?/dη=0
式 (10) 的 BCs 由式 (7b) 给出。式 (10) 的解见附录-I。
δ(t) 的式 (9) 的解：
对于热生长，假设 R 的解为 R=A?√t。因此，B 变为 1/2t。令 χ=δ2，式 (9) 简化为
(11) dχ/dt+2?χ/t=4?α
这导致 χ 和 δ 的以下解：
(12a) χ=(4/3)?α?t
(12b) δ(t)=√((4/3)?α?t)
式 (11) 及其解式 (12) 可被视为热边界层的统一方程组。
? 和 ?′(0) 的式 (10) 的解：
(13a) ?=erf?(η)
气泡表面的无量纲温度梯度：
(13b) ?′(0)=2/√π
见附录-I 以获得式 (13b)。利用式 (13b)，我们找到气泡表面的温度梯度
(14) (?T/?r)|r=R=(?T/?y)|y=0=(T∞?Tv)/(δ(t)??′(0))=(T∞?Tv)/(√(4?α?t/3)?2/√π)=√(3/π)?(T∞?Tv)/√(α?t)
由式 (13a) 给出的无量纲温度 ? 分布表明，液体温度沿 r 方向增加。因此，对于生长中的气泡，温度梯度沿 r 方向为正，我们在式 (13) 中得到了 T∞>Tv。来自过热液体到界面 (r=R) 处气泡的热通量，无论是传导还是对流，都是负的（与图 1 中的 r 方向相反）。对于崩溃的气泡，温度梯度为负，T∞ t* 时使用长时间解。t* 是一个小时间，在此时惯性控制的生长开始，并从 Mikic 等人 [9] 的 MRG 解中获得。对于组合的 LTAS-STAS，如果 t < t* = R/(2 dR/dt)，我们使用 STAS；否则我们使用 LTAS。

在图 2 中，我们注意到，当 t→∞ 时，LTAS 与 F?rster 和 Zuber (FZ) [7] 的理论显著不同，且与实验结果偏差较大，而 STAS 则显著低估了半径。渐近理论（PZ、FZ 和 MRG）和 SAM 使用瑞利 - 普莱塞特方程计算了一个本质上较高的增长率（见图 2），这是由于界面两侧的压差造成的，在此情况下，薄热层近似（δ/R ?1）似乎是合理的。瑞利 - 普莱塞特方程在生长早期阶段对气泡半径的高估最终导致了与实验气泡半径的显著偏差（45-65%），特别是在 17.89 K 的高过热度下。正如预期那样，LTAS 和 STAS 计算出的增长率低于理论值，因为热生长在本质上受到热层阻力的限制。尽管假设了 δ/R ?1，但为了获得 LTAS 和 STAS，我们需要简化问题，其增长率并没有像理论（PZ、FZ 和 MRG）和 SAM 那样高。LTAS 和 STAS（热控制生长）基于求解热扩散方程，即使 δ/R ?1，热阻力也是显著的。有趣的是，在图 2 中可以看出，组合的 STAS-LTAS 与实验结果吻合极好。由于 STAS 最初计算出的增长率较低，它允许 LTAS 计算出较低的气泡半径，最终接近实验值。

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图 2. ΔTsup = 17.89 K 和 p = 1 atm 下气泡半径随时间的变化。

图 3 展示了 ΔTsup = 12.89 K 和 1 atm 下气泡半径的变化。与图 2 类似，实验气泡半径紧密跟随组合的 LTAS-STAS。LTAS 与实验相比相对较低，而理论（PZ、FZ 和 MRG）和 SAM 计算出的半径非常大，且与实验结果偏差较大。

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图 3. ΔTsup = 12.89 K 和 1 atm 下气泡半径随时间的变化。

表 3 列出了这两种情况下 STAS-LTAS、LTAS、STAS、理论模型和 SAM 相对于实验的最大和最小相对误差。相对误差表明，组合的 STAS-LTAS 在案例 1 和案例 2 中表现优异，其次是 LTAS。

表 3. 两种测试案例中理论的相对误差 (%)。
理论 案例 1 案例 2
STAS-LTAS 7.09 (最大) 0.49 (最小) 5.04 (最大) 0.27 (最小)
LTAS 14.45 4.83 23.86 13.48
STAS 35.46 20.97 33.55 7.66
Forster-Zuber (FZ) 理论 30.55 17.80 35.61 15.50
半解析法 (SAM) 58.73 45.95 53.48 30.15
MRG (Mikic 等) 65.91 45.95 63.57 31.86
Plesset-Zwick (PZ) 理论 65.91 45.95 63.57 31.86

3.2. 理论与数值模型的比较
虽然在上述两个测试案例中组合的 LTAS-STAS 表现要好得多，但组合的 LTAS-STAS 与数值模型之间的比较也是必不可少的。数值模型是基于第 2 节中的假设 (1-5) 开发的。我们使用隐式有限差分法 (FDM) 对式 (1) 进行了离散化，并使用三对角矩阵算法 (TDMA) 求解差分方程组。使用四点有限差分格式 [35]，根据计算出的液体温度的径向变化来评估气泡表面的温度梯度 (?T/?r)r=R。一旦我们计算出 (?T/?r)r=R，我们就从式 (4) 和 Nu 数值计算 R。热边界层厚度 δ 通过以下方程数值获得。
(30)δ=2RNu
我们在图 4 和图 5 中分别展示了 ΔTsup = 17.89 K 和 12.89 K 的数值模拟结果。我们看到在图中，与单独的 STAS 和 LTAS 相比，组合的 STAS-LTAS 和数值模型与实验结果高度接近。有趣的是，我们在图 6 中看到，对于案例 1 和案例 2，数值模型计算出的热层厚度接近其渐近解（式 (16b)），当 t→∞ 时。这也许是数值模型在 t→∞ 时收敛于 LTAS 的原因。式 (12b) 和 (17b) 与数值模型相去甚远（图 6）。

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图 4. ΔTsup = 17.89 K 和 1 atm 下理论与数值模型的比较。

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图 5. ΔTsup = 12.89 K 和 1 atm 下理论与数值模型的比较。

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图 6. 理论和数值模型获得的热边界层厚度比较。黄色圆圈代表 ΔTsup = 17.89 K 时的数值结果，蓝色圆圈代表 ΔTsup = 12.89 K 时的数值结果。

3.3. 数值模型的网格收敛性分析
数值模型解的精度需要通过网格收敛性分析来评估。我们通过相应地在图 7 和图 8 中增加网格点的数量，获得了近似网格无关解 (GIS)，分别对应 ΔTsup = 17.89 K（案例 1）和 ΔTsup = 12.89 K（案例 2）。在案例 1 中，N = 1205 时的最终气泡半径数值结果与 N = 605 和 905 的平均偏差分别为 2.33% 和 5.03%，而在案例 2 中偏差分别为 2.86% 和 6.34%。对于 N 进一步增加到 1505，两种情况下气泡半径的变化均小于 1%。因此，本研究中报告的用于图 3 和图 4 比较的 N = 1205 的数值结果是令人信服准确的。收敛的数值结果也显示出与实验数据相当良好的一致性。

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图 7. ΔTsup = 17.89 K（案例 1）时的近似网格无关解。

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图 8. ΔTsup = 12.89 K（案例 2）时的近似网格无关解。

评估我们为模型所做的假设是相当重要的。我们推导出的关于 δ(t)/R(t) 的式 (15b)、(18b) 和 (20b) 表明，δ(t) 随 Ja 减小，这取决于过热度。在高过热度下，热边界层变薄（当 Ja →∞ 时 δ(t)/R(t) →0），由于热阻减小，促进了通过界面的热传输，随后加速了蒸汽气泡的生长率。我们还展示了 Nu 如何随 Ja 增加。利用式 (29) 中 STAS 和 LTAS 的新公式化时间尺度，我们在图 9 中利用数值模拟结果和组合的 STAS-LTAS 展示了过热度 ΔTsup 对气泡生长（以 R 表示）的影响。在最低的 ΔTsup 为 4.17 K 时，模拟结果与 STAS-LTAS 结果之间的平均差距为 44.95%，而在最高的 ΔTsup 为 17.89 K 时，差距为 7.75%。总体而言，如图 9 所示，当我们将从 4.17 K 增加的过热度提高到 17.89 K 时，由于较薄的热层导致更高的热传输，STAS-LTAS 更接近数值模拟。关于 δ(t)/R(t) 的式 (15b)、(18b) 和 (20b) 也发现与此发现一致。

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图 9. p = 1 atm 时过热度对气泡半径的影响。

这种验证趋势也与 Prosperetti-Plesset [5] 的工作相当，尽管他们是通过液态钠中钠蒸汽气泡的生长来验证其蒸汽气泡生长理论的薄层假设。他们使用了 Dalle Donne 和 Ferranti [36] 进行的钠蒸汽气泡生长的数值模拟结果。冷却剂液态钠被广泛用于核电站的快中子增殖反应堆 (FBR) 中。注意，我们在图 9 中展示的 ΔTsup = 12.79 K 和 17.89 K 时的 STAS-LTAS 结果与图 2、图 3 中的不同。原因是式 (29) 中 STAS 的新公式化时间尺度长于图 2、图 3 中通过 MRG 方法（Mikic 等 [9]）获得的时间尺度。基于实验 R（图 2、图 3）低于 2.5 mm 且理论和数值 R 低于约 3 mm 的事实，球形气泡假设似乎是合理的。具有“不稳定”蒸汽气泡发生形变的可能性不能完全排除。由于本研究中的蒸汽气泡是静止的，且其形变希望能小到足以排除长宽比对周围液体运动的影响。已假设热平衡条件，因为本研究考虑的实验中的气泡形成发生在约 100°C 和约 1 atm 下，且 ΔTsup<19 K，在此条件下蒸汽的过热度可以忽略不计，因此可以合理地假设气泡表面的液体温度等于气泡内约 1 atm 压力下的饱和温度。

我们对数值模型在 ΔTsup = 17.89 K 和 p = 1 atm 下的初始气泡半径 R0 进行了灵敏度分析。R0 的变化范围为 0.1 mm 到 0.001 mm。分析结果如图 10 所示。它清楚地表明，初始阶段的生长率随着 R0 的降低而变得更快。我们数值模型的这一结果显然验证了 Plesset-Zwick [18] 从瑞利 - 普莱塞特方程获得的瑞利解 (dR/dt)2~4σ/(3ρlR0)，因为气泡壁的实际运动 dR/dt 与瑞利解有很大偏差。

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图 10. ΔTsup = 17.89 K 和 1 atm 下数值模型初始气泡半径 R0 的灵敏度。

4. 结论
我们成功地使用相似解方法，获得了池内沸腾中气泡生长的气泡半径、热边界层厚度和努塞尔数的小时间和大时间渐近解，该方法求解了周围液体的能量（热扩散）方程。本研究中使用的相似变量摆脱了过去作者使用的任何特定分组。计算出的气泡半径已与过热水汽泡实验以及现有理论 [7,9,12,34]、SAM [6,12] 和我们的数值模型在高过热度及 1 atm 下进行了比较。我们总结了以下主要结果。
(1) 总体相似解在高 Ja 下假设薄热边界层，给出了 Plesset-Zwick 解 [18]，R=√3Ja√4α/π√t。
(2) 通过薄热边界层，我们研究了热边界层方程的渐近特征。因此，LTAS 给出了一个新的渐近解，当 t→∞ 时 R=√2Ja√4α/π√t，而 STAS 在 t→0 时给出 R=Ja√4αt/π，收敛于解 [6,12]。然而，图 2、图 3 的结果表明，当 t→∞ 时，它们单独使用会与实验结果显著偏差。STAS 的新公式化时间尺度长于通过 MRG 方法获得的时间尺度，因此，STAS-LTAS（图 9）的气泡半径小于我们数值模拟获得的半径，平均偏差在可接受的 7.75% 范围内。
(3) 图 2、图 3 和相对误差表明，组合的 STAS-LTAS 似乎在计算 1 atm 下高过热度气泡半径时更为适当，且与实验结果吻合极好。我们的数值模型也与组合的 STAS-LTAS 和实验结果一致。还可以看到，当 t→∞ 时，从数值模型获得的热层厚度接近其渐近解（式 (16b)）。然而，理论（PZ、FZ 和 MRG）和 SAM 在高过热度下计算出的气泡半径与实验相比要大得多。
(4) 从 STAS 和 LTAS 获得的静止生长气泡的界面热传递 Nu 分别为 Nu=4Ja/π 和 Nu=8Ja/π。总体相似解给出 Nu=12Ja/π，这也是 Prosperetti [2]、Legendre 等 [30] 和 Ivashnyov-Smirnov [29] 获得的结果。热层厚度对时间尺度和热通量敏感。分析还表明，热层最初以较快的速率建立，式 (17b)，最终速率减慢，式 (17b)。

尽管我们看到组合的 STAS-LTAS 在高过热度气泡生长实验中表现良好，但我们在这项工作中开发的用于支持渐近解的数值模型，在变化的计算域（瞬态气泡半径 R(t) 的 1.002-1.004 倍）和初始域（初始气泡半径 R0 的 3 倍）上存在限制。研究计算域的灵敏度分析是至关重要的。在我们的数值模拟中，初始阶段（在 t = 0.1 ms 内平均）的平均 Nu 为 7.48Ja/π，而在最终阶段，Nu 达到几乎稳定的值 5.7Ja/π。从 STAS 和 LTAS 获得的 Nu 似乎不准确。

除了对 tPZ 进行更精确的计算外，我们还需要在未来研究这种不确定性。我们在网格收敛性中看到，该模型存在约 1% 的数值不确定性。由于我们的数值模型中未包含力平衡方程，似乎还存在额外的不确定性。
Swapan Paruya