谐波旋转悬臂梁的动态响应与准静态响应

《International Journal of Solids and Structures》：Dynamic versus quasi-static response of a cantilevered beam rotated harmonically

　　

研究人员实验验证了谐波旋转梁的弹性杆模型。研究人员发现欧拉数和离心数无量纲数可表征准静态与动态响应区域。基于离心刚化的理论分析预测了准静态到动态的转变。结果表明，更快的旋转反直觉地扩大了准静态响应区域。通过旋转诱导的频率偏移进行重标度后，跨越不同梁参数的准静态/动态转变可统一至一条主曲线。

### 谐波旋转悬臂梁的动态响应与准静态响应转变机理

**1. 研究背景与问题**

自工业革命以来，旋转构件一直是机械设备的核心组成，但现有研究大多关注恒速旋转下的结构响应，对具有时变角速度的旋转结构研究相对较少。在非惯性参照系中，旋转结构受离心力、欧拉力与科里奥利力三种惯性力共同作用。对于点质量，惯性力的作用机理清晰明了；然而，对于连续弹性结构，惯性力与其几何及材料属性相互耦合，使力学响应复杂化。已有关于变速旋转梁的研究表明，欧拉力会诱发切向变形且引入加速度相关的耦合效应，尤其当角加速度显著时，线性化的几何近似已不足以准确预测梁的弯曲幅值与扭转角。准静态近似因计算高效而广泛应用于工程分析，但其在变速旋转结构中的适用条件尚未被系统探索。为此，研究人员此前考察了匀角加速度驱动下旋转悬臂梁的屈曲行为及其在双稳态梁中的应用，但关于速度相关的离心力与加速度相关的欧拉力在时变条件下如何相互作用、以及准静态与动态响应之间转变规律的认知仍属空白。

**2. 研究目的与核心问题**

本研究旨在评估准静态近似对非稳态旋转悬臂梁的有效性，并系统回答两个关键问题：(i) 谐波旋转结构何时能产生可被准静态模型准确描述的响应？(ii) 惯性效应何时大到足以使响应偏离准静态行为而进入动态区域？研究人员采用旋转参考系中的弹性杆模型，并通过高精度实验验证其有效性，进而系统探索材料与几何参数对转变边界的影响，揭示离心刚化效应对准静态-动态转变的支配作用。该成果发表于《International Journal of Solids and Structures》。

**3. 关键技术与方法**（不超过250字）

研究人员采用了融合实验、数值模拟与理论分析的综合性方法。实验装置基于扭矩控制电机（ETEL RTMBi140-150）驱动刚性圆盘，使用高速相机在实验室系中采集梁的变形图像，通过自编Python程序（基于skimage）进行图像稳定与中轴线提取，以梁中点处挠度为测量指标。参考梁为VPS32弹性体材料，其杨氏模量E=1.22±0.05 MPa，长度40 mm，宽10 mm，厚2 mm。数值方面，研究人员将弹性杆模型离散为N=40个节点，用MATLAB刚性ODE求解器ode23tb对动力学方程积分；准静态解则令时间导数为零后用边界值问题求解器bvp4c获得。此外，研究人员利用Southwell方程和Rayleigh商理论推导了临界转变频率与离心刚化频率的联系，并对E∈[10?,10?] Pa、L∈[10??,10?2] m、长细比λ?∈{1/10,1/20,1/50,1/100}的广谱参数空间进行系统仿真验证。

**4. 研究结果**

**对比模拟与实验**：在均值角速度Ω?=5 rad/s下，模拟的均方根中点挠度随驱动频率的变化与实验数据高度吻合，两者均在约7 Hz处出现清晰共振峰，与理论一阶固有频率f?=6.37 Hz一致。共振条件下的时间序列与功率谱的模拟和实验结果同样匹配，验证了数值模型的有效性。

**准静态与动态响应的判据**：研究人员采用相对均方根差ΔRMS作为判据，定义ΔRMS=|RMS_dyn?RMS_QS|/RMS_dyn，阈值设为0.10。在低驱动频率下，动力学模拟与准静态模拟的RMS值几乎重合；随着频率增加，二者在共振前开始偏离，首次超过阈值的频率即定义为临界驱动频率f*?。研究人员在(??_max, ?_max)平面上构建相位图，发现临界欧拉数?*在低离心数区域（??_max?10）近似保持常数?*≈5，之后随离心数按?*~??_max^1/2标度增长，划分出准静态与动态两个响应区域。

**转变的物理机制分析**：研究人员将共振频率、临界频率与离心数关联分析，发现归一化共振频率在??_max?8时保持常数?f?≈1，之后按?f?~??_max^1/2增长。这一经典平方根标度归因于离心刚化效应——旋转产生的轴向张力增大了梁的等效刚度并提升了固有频率。临界频率与共振频率之间满足f*?=0.385 f?的线性关系，说明转变边界完全由离心诱导的频率偏移控制。

**广义相位边界的理论描述**：基于Southwell方程，研究人员推导出临界欧拉数表达式?* = c√(?_n2 + S?G a2 ??_max)，其中c=0.385±0.001，S?为Southwell系数，?_n为驱动频率等于固有频率时的欧拉数。将数值数据按1/?_n重标度后，不同杨氏模量、梁长和长细比下的所有数据点全部坍缩到同一主曲线上，从理论上确认了离心刚化对该转变的唯一支配作用。

**5. 讨论与结论**

研究表明，在谐波旋转悬臂梁中，准静态与动态响应之间的相位边界可以用离心数与欧拉数简洁描述。更快的旋转反直觉地抑制了惯性效应，因为离心刚化提升了梁的共振频率，使梁的等效刚度增大，从而将准静态响应的范围扩展到更高的驱动频率。这一发现为旋转柔性结构的工程设计提供了实用准则，明确了准静态近似的适用范围，并对机器人臂、涡轮叶片、软致动器及可展开航天部件等系统的设计与控制具有重要意义。未来工作可进一步探索模态相互作用、失稳等复杂非线性现象，初步观测表明特定驱动条件下系统可能出现包括混沌在内的复杂动力学行为。