扭曲张量积：Alexander-Whitney映射与Eilenberg-Zilber映射

《Journal of Algebra》：Twisted tensor products: Alexander-Whitney and Eilenberg-Zilber maps

　　摘要：
亚历山大-惠特尼（Alexander-Whitney）和艾伦伯格-齐尔伯（Eilenberg-Zilber）映射传统上用于转换代数张量积的标准分解与代数张量积的标准分解之间的关系。我们研究了这些映射在扭曲张量积代数（包括（量子）泛包络代数、斜群代数、 smash积与交叉积、Ore扩展以及具有三角分解的代数等）中的应用。这些映射能够在标准分解的扭曲形式与扭曲后的标准分解之间进行转换。我们将这些映射扩展到到其他分解形式的链映射，从而能够在代数的各种分解之间传输同调信息，并加速变形理论中的结果计算。

引言：
在同调和上同调的各种代数结构中，都是基于代数的标准分解来定义的，但无限的标准分解在进行直接计算时可能会非常复杂，导致难以提取具体信息。人们一直在寻找更方便的分解方法来研究同调或上同调，然而，这种便利性往往伴随着代价：诸如杯积（cup product）和分级李括号（graded Lie bracket）这样的同调构造往往不容易转移到其他分解形式上。此外，用于在不同分解之间传输信息的显式链映射往往缺乏，这限制了同调方法提供的有益启发。

传统上，亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射用于转换空间乘积 R×S 的链复形与各个空间 R 和 S 的张量积链复形之间的对应关系，当同调群是自由的时，它们提供双同构 H(R×S)?H(R)?H(S)。按特定顺序组合这些映射会得到恒等映射 AW°EZ=1，而反向组合得到的映射仅同伦于恒等映射 EZ°AW?1，对于 AW:Chains(R×S)?Chains(R)?Chains(S) 和 EZ:Chains(R)?Chains(S)?Chains(R×S)。传统的艾伦伯格-齐尔伯映射（也称为“洗牌积”或“单纯交叉积”）最初由艾伦伯格（Eilenberg）和麦克莱恩（Mac Lane）[13, §5] 定义，用于艾伦伯格-齐尔伯定理 [14] 中的同构；另见 [15]、[32, §29.7]、[44, Exercise 8.6.5]、[22, §3.B, p. 277] 以及 [1, Chapter 5.3]，还有 [31, Chapter VIII, Theorems 8.1, 8.5, 8.8] 中关于单纯模块的内容。

麦克兰（Mac Lane）[31, Chapter X, §7 和 §12]、谢瓦莱（Chevalley）和艾伦伯格（Eilenberg）[7, Chapter XI, §6]、梅（May）[32] 以及洛代（Loday）[28, §4.2] 描述了这种理论在代数张量积 R 和 S 上的版本。上述映射的代数形式还提供了从张量积的简化标准分解到其张量积简化标准分解之间的强变形收缩关系：AW:BR?S?BR?BS 和 EZ:BR?BS?BR?S。这里，BA 表示代数 A 的简化（规范化）标准分解，因此 (BA)n=A?Aˉ?n?A，其中 Aˉ=A/k?1A。乐（Le）和周（Zhou）[27] 使用这些映射描述了霍希尔德上同调（Hochschild cohomology）上的格斯特恩哈伯结构（Gerstenhaber structure）。

我们考虑了这种理论在扭曲张量积代数中的应用，这类代数在表示论和组合数学中非常常见。扭曲张量积简单来说就是任何在向量空间中与 A?B 同构的代数，其中 A 和 B 是两个代数，它们通过规范包含映射关联。这类非交换代数包括泛包络代数和量子版本（在超可解情况下）、具有三角分解的量子群代数、与霍普夫代数的 smash 乘积、半直积和交叉积、乔丹平面（Jordan planes）、某些斯里达兰包络代数（Sridharan enveloping algebras）、量子完备交叉积（quantum complete intersections）、Ore 扩展、某些斯克利亚宁代数（Sklyanin algebras）、韦尔代数（Weyl algebras）、量子/斜版本的多项式环（quantum/skew versions of polynomial rings）、量子舒伯特胞腔代数（quantum Schubert cell algebras）以及由 R-矩阵定义的编织张量积（braided tensor products）。

我们展示了如何使用亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射在扭曲张量积 R?τS 上传输携带同调信息的不同分解之间进行转换。这些链映射在一端将简化标准分解 BR?τS 与另一端将扭曲乘积分解 BR?τBS 转换起来，参见 Guccione 和 Guccione [21] 以及定理 6.1：AWτ:BR?τS?BR?τBS, EZτ:BR?τBS?BR?τS。有关涉及群作用或分级群双特征（bicharacters）的特殊情况，请参阅 [20] 和 [41]。

在实践中，人们经常能找到比标准分解更容易处理的代数 R 和 S 的兼容分解，从而进行显式计算。例如，对于循环群，可能希望使用周期性分解（参见 [25]）；对于泛包络代数，可以使用谢瓦莱-艾伦伯格分解（Chevalley-Eilenberg resolution）（例如参见 [44]）；对于 Koszul 代数，则可以使用 Koszul 分解。我们开发了在任意域上的工具（例如参见定理 8.2 和定理 9.2），用于将扭曲张量积 R?τS 的标准分解转换为 R 和 S 的具体分解，这些分解有助于具体确定同调或上同调。

作为一个应用例子，我们考虑了作用在 Koszul 代数上的霍普夫代数。相应 smash 乘积代数（扭曲张量积）的变形推广了卢斯蒂格（Lusztig）[29]、[30] 的分级仿射 Hecke 代数、德林费尔德（Drinfeld）[10] 的 Drinfeld Hecke 代数（另见 [19] 和 [36]）、埃廷戈夫（Etingof）和金兹堡（Ginzburg）[12] 的辛反射代数（symplectic reflection algebras），以及克劳利-博维（Crawley-Boevey）和霍兰德（Holland）[9] 的克莱因奇异点变形（Kleinian singularities）。这些变形源自作用于多项式环上的群；更一般的霍普夫代数作用例如出现在 [11]、[16]、[17]、[18]、[24]、[26]、[45] 中。在 [42] 中，我们考虑了作用在 Koszul 代数 R 上的霍普夫代数 H 作用的 smash 乘积代数 R#H 的变形。我们利用这里在第 11.8 定理中建立的转换链映射来构建“霍普夫-科苏尔 Hecke 代数”（Hopf-Koszul Hecke algebras），即使在霍普夫代数不是半简单的情况下也能在分解之间进行转换。

作为贯穿全文的例子，我们对作用在多项式环上的有限群进行了具体的构造，参见示例 4.4、4.9、11.6 和 11.11 以及第 8 节末尾的特殊情况。

注意，作者有时使用“扭曲张量积”（twisted tensor product）一词来表示通过上链（cocycle）或下链（cochain）进行的扭曲（例如参见 [2]、[4]、[5]）。这种扭曲的概念通常与这里考虑的不同。

**大纲：**
- 第 2 节回顾了扭曲张量积的基本符号并回顾了扭曲乘积分解的构造方法。
- 第 3 节专门讨论了标准分解的扭曲形式。
- 第 4 节构造了扭曲的亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射，并回顾了作用在多项式环上的有限群的特殊情况。
- 第 5 和第 6 节为了完整性，验证了这些映射在简化标准分解上是链映射，且满足合成关系 EZτ°AWτ=1（恒等映射）。
- 第 7 和第 8 节展示了如何使用这些映射在其他扭曲张量积分解之间进行转换，并再次以作用在多项式环上的群为例进行说明。
- 第 10 和第 11 节一般性地讨论了霍普夫代数的作用，展示了如何转换 smash 乘积代数的分解，特别关注作用在 Koszul 代数及其 Koszul 分解上的情况。

**符号和约定：**
- 我们使用任意满足 char(k)≠2 的域 k。
- 除非另有说明，所有张量积都是在 k 上进行的，记为 ?=?k。
- k 的单位元素与遇到的每个代数 A 的单位元素相同，尽管为了清晰起见，我们通常写成 k1A 而不是 k。
- 我们假设所有代数都是结合的 k-代数，除非另有说明。
- 对于任何代数 A，我们用 mA 表示乘法映射 A?A→A，并将任何 A-双模视为左 Ae-模（Ae=A?Aop）。
- 我们遵循标准的科苏尔符号约定：对于在 k 上的分级向量空间 P、P′、Q、Q′ 和分级映射 f:P→Q 与 f′:P′→Q′，映射 f?f′:P?P′?Q?Q′ 的定义为对于 P 中的 homogeneous p 和 P′ 中的 p′，有 (f?f′)(p?p′)=(?1)(deg?p)(deg?f′)(f(p)?f′(p′))。

**章节片段：**
- **扭曲乘积分解：**我们解释了如何将单个代数的分解一起扭曲，以得到新的扭曲张量积代数分解。
- **扭曲张量积：**扭曲张量积是由两个子代数 R 和 S 生成的代数，在向量空间中与 R?S 同构，通过规范映射 r?s?rs 实现。
- **扭曲标准分解：**我们首先考虑了一对代数 R 和 S 的标准分解与扭曲映射 τ:S?R→R?S 的扭曲乘积分解，然后再讨论一般分解。
- **标准分解：**代数 A 的标准分解和简化（即规范化的）标准分解分别为 (BA)n=A?A?n?A 和 (BA)n=A?Aˉ?n?A，其中 Aˉ=A/(k?1A)，并且 (BA)0=(BA)0=A?A，其微分定义为 dn(a0???an+1)=∑i=0n(?1)ia0???ai?1?aiai+1?ai+2???an+1，适用于 BA 和 BA。
- **扭曲的亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射：**对于 k-代数 R 和 S 及其扭曲映射 τ:S?R→R?S，我们描述了在简化标准分解上的扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射 AWτ:BR?τS?BR?τBS 和 EZτ:BR?τBS?BR?τS，首先在未简化标准分解上定义了相应的映射 AWBτ:BR?τS?BR?τBS 和 EZBτ:BR?τBS?BR?τS。这些映射是通过扭曲映射 τ 结合张量分量的完美置换/反置换以及传统的正面/背面映射（front/back face maps）和洗牌积映射（shuffle product maps）迭代得到的（参见 [32]）。
- **作为链映射的扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射：**我们在本节展示了第 4 节为（未简化）标准分解构造的扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射是链映射。同样，固定代数 R 和 S 及其扭曲映射 τ:S?R→R?S。
- **定理 5.1：**对于（未简化）标准分解，扭曲的亚历山大-惠特尼映射 AWBτ 和艾伦伯格-齐尔伯映射 EZBτ 都是 (R?τS)-双模复形的链映射。
- **证明：**我们用 1 表示 R 或 S 上的恒等映射。由于 τ 是一个扭曲映射（见备注 2.2），AWBτ 和 EZBτ 与...
- **分割简化标准分解：**我们现在使用第 4 节中为未简化标准分解构造的扭曲亚历山大-惠特尼映射 AWBτ 和艾伦伯格-齐尔伯映射 EZBτ 来定义简化标准分解上的链映射 AWτ 和 EZτ。我们展示了在这样的设置中，AWτEZτ 的合成是恒等映射，从而将扭曲张量积 R?τS 的简化标准分解 BR?τS 分解为包含 BR?τBS 作为直和项的形式。比较 [21, Theorem 1.5]。
- **定理 6.1：**对于任何 k-代数 R 和 S 及其扭曲映射 τ:S?R→R?S...**
- **兼容的链映射：**在使用扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射转换分解之前，我们在这里明确了保持扭曲映射 τ:S→R→S 的链映射的概念。我们展示了这种兼容性允许我们将链映射扩展到扭曲张量积分解。
- **定义 7.1：**我们说一个双模分解的链映射...**如果映射...**与扭曲映射 τ 兼容，则认为该链映射与 τ 兼容。
- **使用兼容的满射和单射映射进行分解转换：**在本节中，我们结合了扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射与兼容的链映射，以在其他分解之间传输显式的同调信息。在下一节中，我们考虑仅在一个方向上有兼容链映射的情况。
- **转换定理：**再次固定 k-代数 R 和 S 及其扭曲映射 τ:S?R→R?S，该映射记录了 R?S 上的代数结构。我们使用第 6.1 定理中构造的扭曲亚历山大-惠特尼和艾伦伯格-齐尔伯映射将扭曲张量积的默认简化标准分解 BR?τS 与该代数的扭曲乘积分解 C?τD 联接起来，但在定理 8.2 的假设中可能没有给出兼容的链映射 πR 和 πS 的情况下，我们提供了更一般的解决方法。
- **应用：**我们现在专门讨论由群和霍普夫代数作用产生的 smash 乘积代数。在下一节中，我们进一步专门讨论作用在 Koszul 代数上的作用，这些将用于在 [42] 中探索变形。具体来说，我们将使用这里建立的转换链映射来描述由霍普夫代数作用在 Koszul 代数上的 PBW 变形，为霍普夫-科苏尔 Hecke 代数提供庞加莱-伯克霍夫-维特条件（Poincaré-Birkhoff-Witt conditions）。注意，与...**我们将 \( H^\bar = \frac{H}{k_1H} \) 视为 \( H \) 的向量子空间 \( \ker(\epsilon) \)（其中 \( \epsilon \) 是单位元），并选择了一个特定的方向。