量子对称性的分类

《Journal of Algebra》：On the classification of quantum symmetries

　　

摘要
我们表明，为了将给定有限维代数上的霍普夫代数（余）作用分类至等价意义下，人们应从霍普夫代数余作用的可能余支集（即 H* 作用其上的线性算子集合）的分类开始，然后考虑对偶霍普夫代数作用。作为应用，我们分类了双点集的量子对称性和对偶数代数。此外，我们表明直线不允许存在一个（非分次的）万有共作用马宁霍普夫代数。而且，我们证明对于 n?14，全矩阵代数 Mn(k) 允许一个非平凡的霍普夫代数余作用，使得所有在余支集上有相同限制的霍普夫代数作用都是平凡的，即余支集可能在取对偶时缩减，且一个有限维代数可能比余作用拥有更少的等价作用类。同时，对于任意 n?14，我们通过一个无限群在全矩阵代数 Mn(k) 上定义了一个不能被任何有限群重新分次的初等分次。（先前已知的下界是 n?349。）

引言
当仿射代数群 G 形态地作用于仿射代数簇 X 时，X 上的正则函数代数 O(X) 是霍普夫代数 O(G) 上的一个余模代数，同时也是群霍普夫代数 kG 和 G 的李代数的泛包络代数 U(g) 上的模代数，其中 k 是基域。注意，在这种情况下，可以说 G 通过经典对称性作用于 X，O(X) 和 O(G) 是交换的，而 kG 和 U(g) 是余交换的。当一个不一定（余）交换的霍普夫代数 H （余）作用于一个不一定交换的代数 A 时，可以将其解释为量子群 H 通过量子对称性作用于一个“函数代数”为 A 的非交换空间。这种非常一般的方法可以追溯到 Yu. I. Manin 关于量子群和非交换几何的笔记 [34]。另一方面，给定代数的量子对称性分类问题可以看作是自同构、群分次、（斜）导数等分类问题的推广。虽然马宁霍普夫代数在所有不一定交换的共作用霍普夫代数中是万有的，但人们可以考虑万有交换共作用霍普夫代数，它正是对应于自同构群概型的霍普夫代数 [38, 1.5 节和 7.6 节]。因此，马宁霍普夫代数可以看作是自同构群概型的非交换对应物。关于霍普夫作用及其性质的一些近期工作包括，但不限于论文 [8], [9], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [21], [22], [23], [24], [31], [32]。
在某些情况下，群分次被分类至同构意义下，而在某些情况下被分类至等价意义下，见例如 [20]。虽然等价分类可能显得更粗糙，但同构分类本质上可以通过 J. Patera 和 H. Zassenhaus 在 1989 年引入的分次的万有群概念来恢复 [36]。霍普夫代数（余）作用的等价概念及其万有（余）作用霍普夫代数是在 [2] 中引入的。后者通过 V-万有（余）作用霍普夫代数的概念在 [3] 中被与 Sweedler-Manin-Tambara 万有（余）作用双/霍普夫代数统一为单一理论。此外，V-万有（余）作用霍普夫代数的对偶定理 [3, 定理 4.15] 得到了证明。在 [4], [5] 中采取了对量子对称性的纯粹范畴论方法。
虽然关于万有（余）作用霍普夫代数及其之间的对偶性有几项一般性结果，但迄今为止所有霍普夫代数作用被完全分类的唯一情况是对偶数代数 k[x]/(x2) 的情况 [2, 定理 6.7]，然而即使在这种情况下，万有作用霍普夫代数也仅针对三种可能的作用等价类中的两种进行了计算。在第 3.4 节中，我们提出了有限维代数量子对称性的一般分类策略，我们在第 4 节和第 5 节中遵循这一策略，并分类了双点集和 k[x]/(x2) 的所有量子对称性（包括霍普夫代数作用和余作用）。此外，我们计算了所有相应的万有（余）作用霍普夫代数。
对偶定理意味着对于有限维代数 A 上的每一个霍普夫代数作用等价类，存在一个在 A 上具有相同余支集的霍普夫代数余作用等价类。因此，作用的等价类数量不可能多于余作用的等价类数量。自然的问题是，作用等价类集合和余作用等价类集合之间是否总是存在双射。这个问题等价于：与余支集 cosuppρA,VHopf=V 的 V-万有霍普夫代数余作用 ρA,VHopf 对偶的 V-万有霍普夫代数作用的余支集是否会变得小于 V？在第 7 节中，我们表明答案是“是”。事实上，对于任意 n?14，我们通过一个无限群在全矩阵代数 Mn(k) 上定义了一个不能被任何有限群重新分次的初等分次，并表明与相应群代数余作用对偶的作用是平凡的。同时，我们解决了另一个问题，因为先前已知的 n 的下界，使得在 Mn(k) 上存在一个不能被有限群重新分次的初等分次，是 n?349，见 [27]。
虽然万有作用霍普夫代数总是存在的 [3, 4.1 节]，但万有共作用霍普夫代数对于无限维代数不一定存在。第一个例子是在 [3, 例 4.3] 中构造的。在定理 6.1 中，我们表明（非分次的）马宁万有（余）作用霍普夫代数甚至对于直线都不存在。

章节片段
群分次
我们从群分次开始，因为它们是量子对称性的一个重要特例（见下文第 3.1 节中对后者的精确定义），且许多与量子对称性相关的定义和构造都受分次的启发。
回顾，Γ:A=?_{g∈G}A(g)（子空间的直和）是域 k 上（不一定结合的）代数 A 由群 G 给出的分次，如果对于所有 g,h∈G 都有 A(g)A(h)?A(gh)。那么 G 被称为 Γ 的分次群。代数 A 被称为

（余）模代数
关于霍普夫代数及其在代数上的（余）作用，我们请参考 [1], [19], [30], [35]。
设 A 是一个（不一定结合的）代数，设 H 是域 k 上的一个霍普夫代数。一个 k-线性映射 ψ:H?A→A 被称为 A 上的 H-作用，如果 ψ 在 A 上定义了一个左 H-模的结构，且对于所有 a,b∈A,h∈H 都有 h(ab)=(h(1)a)(h(2)b)，其中我们使用 Sweedler 记号 Δh=h(1)?h(2)（省略求和号）表示余乘法 Δ:H→H?H。赋予 ψ 的代数 A 被称为一个

双点集
双点集上的正则函数代数同构于基域 k 的两个副本的直积 k×k。注意 1_{k×k}=(1,1)。设 e:=(1,0)。
引理 4.1
设 ρ:k×k→(k×k)?H 是任意一个幺 H-余作用，其中 H 是霍普夫代数。通过 ρ(e)=1_{k×k}?h+e?c 定义 c,h∈H。则 c 可逆，h2=h，hc+ch+c2=c，Δc=c?c，Δh=h?c+1H?h，ε(c)=1，ε(h)=0，S_c=c?1，S_h=?hc?1。
证明
由 ρ 的幺性，我们有 ρ(1_{k×k})=1_{k×k}?1H。
等式 e2=e 意味着
1_{k×k}?h+e?c=ρ(e)=ρ(e2)=ρ(e)2=(1_{k×k}?h+e?c)2=1_{k×k}?h2+e?(hc+

对偶数
在域 k 上的对偶数代数 k[x]/(x2) 中固定基 1?:=1+(x2) 和 x?:=x+(x2)。
引理 5.1
设 ρ:k[x]/(x2)→k[x]/(x2)?H 是任意一个幺 H-余作用，其中 H 是霍普夫代数。通过 ρ(x?)=1??h+x??c 定义 c,h∈H。则 c 可逆，h2=0，hc+ch=0，Δc=c?c，Δh=h?c+1H?h，ε(c)=1，ε(h)=0，S_c=c?1，S_h=?hc?1。
证明
证明与引理 4.1 的证明完全类似。
□
定理 5.2
考虑域 k 上的自由幺结合代数 k〈c,d,h〉，具有自由生成元 c,d,h，即多项式代数在

直线
回顾 k[x] 是域 k 上直线上的正则函数代数。
定理 6.1
对于任意域 k，k[x] 上的（非分次的）马宁万有共作用霍普夫代数不存在。
证明
假设它存在。设 是对应的万有余作用。则 ρ_{k[x]Hopf}(x)=∑_{k=0}^n x^k?h_k，对于某个 n∈Z+。
选择任意 m∈N 使得 2m>n 并考虑由 ρ_m(x):=x?c+x^{2m}?cv 定义的幺代数同态 ρ_m:k[x]→k[x]?H_4。
我们声称 ρ_m 是一个 H_4-余作用。因为 ρ_m, ε 和 Δ

余支集可能在取对偶时缩减
给定一个霍普夫代数余作用 ρ:A→A?H，对偶作用 ρ^∨(?_H?id_A):H^°?A→A 不可能有更大的余支集。下面我们证明一个由有限分次产生的余作用及其对偶作用具有相同余支集的充要条件。
定理 7.1
设 Γ:A=?_{g∈G}A(g) 是域 k 上代数 A 由群 G 给出的分次，使得支集 supp Γ 是有限的。设 ρ:A→A?kG 是对应的 kG-余作用，即对于所有 a∈A(g), g∈G 都有 ρ(a):=a?g。则 cosupp ρ=cosupp(ρ^∨(?_{kG}?id_A)) 当且仅当

致谢
我们感谢 Anton Klyachko 建议我们考虑希格曼群。此外，我们想感谢审稿人仔细阅读了我们的手稿，指出了印刷错误并提供了有用的建议。
A.S. Gordienko|A.I. Pekarsky