关于连通李群的自同构群的拟代数性

《Journal of Algebra》：On the almost algebraicity of groups of automorphisms of connected Lie groups

　　

摘要
设 $G$ 为连通李群，$C$ 为 $G$ 中心的极大紧连通子群，且记 $\operatorname{Aut}(G)$ 为 $G$ 的李自同构群，规范地也将其视为 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的子群，其中 $\mathfrak{g}$ 是 $G$ 的李代数。已知当 $C$ 为平凡群时 $\operatorname{Aut}(G)$ 是几乎代数的，即它是 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的一个代数子群中指数有限的子群，特别地只有有限多个连通分支。在本文中，我们在这方面进一步分析了这种情况，其中 $C$ 可能非平凡，并描述了几乎代数性成立的充要条件；这些准则是关于 $G$ 的自同构限制到 $C$ 上的群以及阿贝尔商李群 $G/\overline{[G,G]C}$ 的。对于允许具有离散核的有限维表示的那类李群，我们得到了 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数的更具体的准则，而在一般情况下，通过例子说明了各种模式。在此过程中，我们还研究了 $\operatorname{Aut}(G)$ 中逐点固定 $G$ 中给定包含 $C$ 的环面的子群的几乎代数性，这也被证明具有独立的兴趣。

引言
设 $G$ 为连通李群，$\mathfrak{g}$ 为 $G$ 的李代数。我们记 $\operatorname{Aut}(G)$ 为 $G$ 的所有李自同构群，通过将每个自同构与其在 $\mathfrak{g}$ 上的微分等同，将其实现为 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的子群，即 $\mathfrak{g}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一般线性群。如果 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的子群形式为 $\{\xi \in \operatorname{GL}(\mathfrak{g}) \mid p(\xi) = 0\}$，其中 $p$ 是 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 上的函数，在 $\mathfrak{g}$ 的某基下的矩阵表示中是 $\xi$ 的元素和 $(\det \xi)^{-1}$ 的多项式，则称该子群为代数子群。如果 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的子群是某个代数子群中指数有限的子群，则称其几乎代数。

在各种背景下，了解 $\operatorname{Aut}(G)$ 及其内蕴定义的各个子群是否是代数或几乎代数的都是有趣的；参见 [6]。$\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数特别意味着它几乎连通，即它只有有限多个连通分支。另一方面，由 Wigner [12] 的一个定理（另见 [5] 和 [10]）可知，$\operatorname{Aut}(G)$ 的恒等连通分支是几乎代数的；因此 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数当且仅当它几乎连通。已知各种条件能确保这一点；特别地，当 $G$ 的中心不包含正维紧子群时成立（见 [5] 和 [10] 得到后一结果，以及 [6] 对该主题的更广泛视角和其他相关参考文献）。

这里我们进一步探讨这一主题。设 $C$ 表示 $G$ 的中心唯一的极大紧连通子群。我们注意到 $C$ 是一个环面；设 $d \ge 0$ 为 $C$ 的维数。显然 $C$ 在所有 $\alpha \in \operatorname{Aut}(G)$ 下是不变的，我们得到一个自然同态 $\rho : \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Aut}(C)$，将 $G$ 的每个自同构映射为其在 $C$ 上的限制。我们注意到 $\operatorname{Aut}(C)$ 同构于 $\operatorname{GL}(d, \mathbb{Z})$，即由整数元素且行列式为 $\pm 1$ 的 $d \times d$ 矩阵组成的群；它是一个可数群，当 $d \ge 2$ 时是无限的。对于 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数，它必须是几乎连通的，因此 $\rho$ 的像 $\operatorname{Im} \rho$ 必须是有限的。因此当 $d \ge 2$ 时，一般地 $\operatorname{Aut}(G)$ 不必是几乎代数的，特别地当 $G = \mathbb{T}^d$（$d \ge 2$ 维环面）或更一般地包含 $\mathbb{T}^d$（$d \ge 2$）作为子群的连通阿贝尔李群时可见。

虽然 $\operatorname{Im} \rho$ 有限是一个必要条件，但它并不确保 $\operatorname{Aut}(G)$ 的几乎代数性；见 §7.2 中“胡桃群”的例子。在本文中，我们描述了另一个必要条件，并证明这两个条件合在一起足以确保 $\operatorname{Aut}(G)$ 是几乎代数的。

另一个必要条件如下产生。任何（连续）同态 $\psi : G \to C$ 如果其在 $C$ 上的限制是恒等映射，则诱导出 $G$ 的一个自同构 $\alpha$，定义为对所有 $g \in G$ 有 $\alpha(g) = g \psi(g)$。我们将以此方式产生的自同构称为螺旋剪切自同构（详情见 §5）；该术语的灵感在于，类似地用 $G$ 的中心 $Z$ 代替 $C$ 定义的自同构被称为剪切自同构（见 [5], [6]）。螺旋剪切自同构构成 $\operatorname{Aut}(G)$ 的一个闭子群，我们将其记为 $\operatorname{Sps}(G)$。我们证明对于 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎连通，$\operatorname{Sps}(G)$ 连通是必要的；比较定理 5.2。结果还表明，后一条件成立当且仅当要么 $C$ 平凡要么 $G/\overline{[G,G]C}$ 单连通；见注记 5.1。

我们的主要结果现在可陈述如下：

定理 1.1 设 $G$ 为连通李群，$C$ 为 $G$ 中心的极大环面。则 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数当且仅当满足以下条件：
i) $\operatorname{Aut}(C)$ 中由 $G$ 的自同构限制到 $C$ 上组成的子群是一个有限群，且
ii) 要么 $C$ 平凡，要么 $G/\overline{[G,G]C}$ 单连通。

现在设 $R$ 为 $G$ 的根，$S$ 为 $G$ 的半单 Levi 子群；（后续就此做出的陈述不依赖于半单 Levi 子群的选择，因为它们在 $G$ 中互相共轭）。关于上述 (ii) 中 $G/\overline{[G,G]C}$ 单连通的条件，我们注意到以下几点（证明见 §6）。

命题 1.2 假设 $S \cap R$ 是有限的。则 $G/\overline{[G,G]C}$ 单连通当且仅当 $C$ 是 $R$ 的极大环面。

在李群 $G$ 上增加一个附加条件后，我们从定理中推导出一个几乎代数性的特征化，直接以李群的结构表示（见推论 1.3）。如果李群 $G$ 允许一个表示 $\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$，其中 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有限维向量空间，使得 $\ker \rho$ 是离散的，则称 $G$ 属于 ?? 类；该类特别包括线性李群，以及所有单连通李群和所有半单李群。已知（见 [8], 命题 2.5）$G$ 属于 ?? 类当且仅当 $[R,R]$ 是闭的单连通（幂零）李子群，并且当且仅当 $\overline{[R,R]} \cap Z$（其中 $Z$ 是 $G$ 的中心）没有正维紧子群。

推论 1.3 设 $G$ 和 $C$ 如定理 1.1 中所述，并假设 $G$ 属于 ?? 类。则我们有以下结论：
1. $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数当且仅当要么 (i) $C$ 平凡，要么 (ii) $C$ 是一维的且 $G/\overline{[G,G]C}$ 单连通。
2. 如果进一步 $S \cap R$ 是有限的，则 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数当且仅当要么 (i) $C$ 平凡，要么 (ii) $C$ 是一维的且它是 $R$ 中的极大环面。

当李群 $G$ 是线性的，即对于某个 $d$ 是 $\operatorname{GL}(d, \mathbb{R})$ 的子群时，$S$ 有有限中心，从而 $S \cap R$ 是有限的。因此推论 1.3(2) 推广了 [3] 中为连通线性李群 $G$ 证明的 $\operatorname{Aut}(G)$ 代数性的特征化；在 [3] 中也考虑了几乎连通的线性李群 $G$，在额外的技术限制下获得了几乎代数性的结果；然而我们将不关注那种一般性。

注记 1.4 可以指出，这里考虑的 $\operatorname{Aut}(G)$，包括在线性李群的情况下，由 $G$ 的所有连续（因此解析）自同构组成。在实代数群（定义在 $\mathbb{R}$ 上的代数群的 $\mathbb{R}$ 点群）的情况下，这是李群的一个特例，人们可以考虑它们的是（代数态射的）限制的自同构群。利用这些群的结构理论（比较 [1]）可以很容易看出，后者几乎连通当且仅当 $G$ 的根与幂幺根重合。我们这里不深入细节。

在定理 1.1 证明的过程中，我们还考虑了 $\operatorname{Aut}(G)$ 中逐点固定 $G$ 中给定环面（紧连通阿贝尔子群）的子群的几乎代数性问题。对这一问题的考虑是由 [2] 中的研究引起的，该研究涉及连通李群作用于某些紧空间上远域作用自同构的特征化。另一方面，它在定理 1.1 的证明中也起着至关重要的作用。

对于 $G$ 中的环面 $T$，我们记 $F_T(G)$ 为 $\operatorname{Aut}(G)$ 中由所有 $\tau \in \operatorname{Aut}(G)$ 组成的子群，使得对所有 $x \in T$ 有 $\tau(x) = x$。我们证明以下结论。

定理 1.5 设 $G$ 和 $C$ 如定理 1.1 中所述，并设 $T$ 为 $G$ 中包含 $C$ 的环面。则 $F_T(G)$ 几乎代数当且仅当要么 $C$ 平凡要么 $G/\overline{[G,G]T}$ 单连通。特别地，如果 $T$ 是 $G$ 中的极大环面，则 $F_T(G)$ 几乎代数。此外，如果 $S \cap R$ 是有限的且 $T$ 是 $R$ 中的极大环面，则 $F_T(G)$ 几乎代数。

我们指出，对于不包含 $C$ 的环面 $T$，即使 $G/\overline{[G,G]T}$ 单连通，$F_T(G)$ 也不必是几乎代数的；见 §7.1.3，有一个例子。

本文组织如下。在 §2 中我们引入记号并讨论一些预备知识。§3 致力于定理 1.1 和 1.5 充分性部分的证明。在 §4 中我们提出关于 $\operatorname{Aut}(G)$ 结构的一些一般结果，这些结果让人联想到 [5] 中的一些结果，并加上这里所需的一些强化。在 §5 中我们讨论“螺旋剪切自同构”类；这些是定理 1.1 中涉及的 $\operatorname{Aut}(G)$ 几乎代数性的另一个障碍的来源。上述结果的证明在 §6 中完成。在最后一节 §7 中，我们讨论广泛的例子，特别是说明上述结果中条件的关联性以及涉及的各种条件之间的相互依赖。

章节片段
记号与预备知识
上述 $\operatorname{Aut}(\cdot)$ 的记号将用于任何连通李群或连通李子群 $H$ 代替上述的 $G$；因此 $\operatorname{Aut}(H)$ 将表示 $H$ 的所有李自同构群，实现为 $\operatorname{GL}(\mathfrak{h})$ 的子群，其中 $\mathfrak{h}$ 是 $H$ 的李代数。用代数群的理论术语，群 $\operatorname{GL}(\mathfrak{h})$ 也被视为 $\operatorname{GL}$ 的 $\mathbb{R}$-元素群，$\operatorname{GL}$ 是对应于 $\mathfrak{h}$ 维数的一般线性代数群。因此 $\operatorname{GL}(\mathfrak{h})$ 的子群是代数子群如果它是...

Aut(G) 代数性条件的充分性
现在我们假设 $G$ 和 $C$ 如定理 1.1 中所述，且满足条件 (i) 和 (ii)；在 §3 中，经过一些准备步骤后，$G$ 几乎代数性的证明将完成（见推论 3.3）。我们首先指出以下几点。

命题 3.1 对于包含 $Z_0$ 且被 $S$ 正规化的 $N$ 的任何连通李子群 $M$，$SM$ 是一个闭子群。特别地 $SN$ 是一个包含 $\overline{[G,G]C}$ 的闭正规子群。
证明 由于 $S$ 是半单的，$\operatorname{Int}_S(G)$ 是 $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ 的一个几乎代数子群。现在设 $M$

自同构群的结构
在本节中，我们证明一些关于李群自同构群结构的结果，这些结果将在后面使用。我们遵循前面引入的记号。我们首先回忆以下有用事实。

定理 4.1 设 $H$ 为 $G$ 的任何闭连通子群。则 $\operatorname{Int}_{[H,H]}(G)$ 是一个几乎代数子群。特别地它是一个闭子群，且 $\overline{\operatorname{Int}_{[H,H]}(G)} = \operatorname{Int}_{[H,H]}(G)$。
证明 第一个陈述直接来自 [4], 第二章，定理 15。显然几乎...

螺旋剪切自同构
如前所述，$G$ 是连通李群，$C$ 是 $G$ 中心的极大环面。回忆 $\operatorname{Sps}(G)$ 表示 $G$ 的所有螺旋剪切自同构群；（见 §1）。设 $A = G/\overline{[G,G]C}$，这是一个连通阿贝尔李群。

设 Hom(A, C) 表示从 A 到 C 的所有连续同态构成的群。对于每个 ?? ∈Hom(A, C)，我们都有一个螺旋剪切自同构，由 Θ(??)(??)= ?? ??(??????????????????[??,??]???) 对所有 ?? ∈?? 给出，我们将把它记为 Θ(??)。我们还注意到，如果 ?? :?? →?? 是一个连续同态，其

主要结果的证明
定理 1.1 的证明
如前所述，推论 3.3 建立了“如果”部分。现在我们证明其逆命题。假设 Aut(G) 是几乎代数的。那么，如引言中所述，条件 (i) 必须成立，因为对于同态 ?? :Aut(G) →Aut(C)，它将 G 的每个自同构映射为其在 C 上的限制，Im ?? 必须是几乎连通的，并且由于 Aut(C) 是可数的，它必须是有限的。为了完成证明，只需证明如果 C 是非平凡的，则 ???/???????????????????[??,??]??? 是单连通的。由于 Aut(G) 是几乎

例子和结论性评论
在本节中，我们讨论了一些特殊的李群类，并展示了一些例子，以突出所述结果中所涉及的各种条件的意义。

未引用的参考文献 [9] [11]

致谢
作者们很高兴地感谢参与国际研讨会（IC 2024）所获得的支持，该研讨会由孟买塔塔基础研究所（TIFR）和浦那印度科学与研究教育学院（IISER）联合组织；这篇论文源于作者们在会议期间的讨论。作者们还要感谢一位匿名审稿人对论文早期版本提出的有益评论。

S.G. Dani|Riddhi Shah