Kostant-Rallis设置中的分级重数（Graded multiplicities in the Kostant-Rallis setting）

《Journal of Algebra》：Graded multiplicities in the Kostant-Rallis setting

　　**摘要**
本文包含两个主要结果。首先，我们为GL? ↓O?和GL?? ↓Sp??提供了组合分支规则，这些规则扩展了Littlewood限制规则。其次，我们利用这些分支规则和GL?-晶体组合学，推导出了GL?(?,?)、GL?(?,?)和GL?(?,?)中K型在K-幂零锥上的分级重数的公式。对于GL?(?,?)，Schmid和Vilonen的工作将这些分级重数与具有实无穷小特征的温和球形主系列的Hodge K-特征联系起来。

**引言**
设G是一个连通的复约化代数群，??是一个具有最大紧致子群??的实形，而??= ??⊕??是其李代数的Cartan分解。设?? :?? →??是相应的复化Cartan对合，?= ????是θ-固定点的群，?是G的李代数，?= {??∈?:??????(??)=??}是K的李代数，?= {??∈?:??????(??)=???}，因此?= ?⊕?。G的伴随表示限制为在?上的K的表示。设???是??的一个最大阿贝尔子代数，并设????是其复化。设M是??在K中的中心化子。设?2[?]表示在?上的多项式函数环，?3[?]??表示K-不变多项式环，?3[?]??+表示由?3[?]??中所有不含常数项的元素生成的理想。设????是?中的幂零锥，????= ??∩?是K-幂零锥。我们有定理1.1 [20, 定理14]。理想?3[?]??+是????的消失理想，即?2[?]??+= {??∈?2[?]:??2(??)=0 ??????? ?????∈????}。

**定理1.1 [20, 定理14]**
理想?3[?]??+是????的消失理想，即?2[?]??+= {??∈?2[?]:??2(??)=0 ??????? ?????∈????}。

**引言（续）**
设G是一个连通的复约化代数群，??是一个具有最大紧致子群??的实形，而??= ??⊕??是其李代数的Cartan分解。设?? :?? →??是相应的复化Cartan对合，?= ????是θ-固定点的群，?是G的李代数，?= {??∈?:?????2(??)=??}是K的李代数，?= {??∈?:?????2(??)=???}，因此?= ?⊕?。G的伴随表示限制为在?上的K的表示。设???是??的一个最大阿贝尔子代数，并设????是其复化。设M是??在K中的中心化子。设?2[?]表示在?上的多项式函数环，?3[?]??表示K-不变多项式环，?3[?]??+表示由?3[?]??中所有不含常数项的元素生成的理想。设????是?中的幂零锥，????= ??∩?是K-幂零锥。我们有定理1.1 [20, 定理14]。理想?3[?]??+是????的消失理想，即?2[?]??+= {??∈?2[?]:??2(??)=0 ??????? ?????∈????}。

**定理1.2 [20, 定理15, 16, 17]**
空间?2[?]是K-不变多项式环上的自由模，且?2[?]=?2[?]????。此外，作为K的表示，?与从G到K的平凡表示代数诱导的表示同构，即??Ind?????。我们将这种设置称为Kostant-Rallis设置。根据上述两个定理，我们得出以下推论。

**推论1.3**
作为分级K-表示，?与?2[????]同构。此外，作为非分级的K-表示，?与??的球形主系列表示中的K-有限向量同构。

**推论1.4**
在?中，K-不可约表示??????的重数可以通过将Frobenius互反性应用于Ind?????来立即计算。设??????表示集合??∈??的所有有理矩阵系数的有限维不可约复表示的等价类。对于?? ∈ ??????，设??????是一个模型。

**推论1.5**
不可约K-表示??????在?中的重数是??????中M-不变向量子空间的维数，即dim(??????)??。

**推论1.6**
描述分级重数较为困难。对于任何K-模V和任何?? ∈ ??????，定义mult(??????,??) ? dim(Hom???(??????,??)。如果??= ???≥0???是分级的，并且q是一个不定元，定义mult(q??????,??)? ∑??≥0 mul(t(??????,??)???。我们将这称为??????在V中的分级重数。特别地，当??= 1时，有mult?(??????,??)= mul(??????,??)。定义m?,0(??,??)?(??)? mul(q??????,?)。这些多项式是本文的主要研究对象。参数??表示K-类型，0表示我们考虑的是M的平凡表示。这里我们只考虑平凡的M-类型，但考虑与非球形主系列中的K-类型相关的其他M-类型也很有趣，如第1.4节和第2.4节所述。

**组合表示理论中的大量文献**
组合表示理论探索了对应于复李群的Kostant-Rallis设置的特殊情况。考虑???= GL?(?,?)、O?(?,?)和Sp?(??,?)作为具有??= U?、O?和Sp?(??)的实群。由于我们主要处理复代数群，我们将GL?(?,?)、O?(?,?)、Sp?(??,?)分别记为GL?、O?、Sp??。复化后，我们有(??,?)= (??2,?)= (GL??,GL?)、(O??,O?)和(Sp???,Sp??)。这里?2= ??×?，更一般地，??= ??×…×?。Cartan对合交换K的两个因子。在这种情况下，?自然与?同一，M是K的最大环面，而K在?上的表示是其伴随表示。由于M是最大环面，推论1.4中的M-不变向量子空间是零权重子空间。因此，在这种设置中，K-类型??????在?中的重数是??????的零权重空间的维数。我们称这种设置为Kostant设置，因为它对应于[21]。

**推论1.7**
在Kostant设置中，很多工作致力于描述分级重数m?,0(???,?)?，Kostant称之为广义指数，用零权重子空间中的元素来表示。例如，Hesselink的一个定理表明m?,0(???,?)?等于与??????中的零权重重数相关的Lusztig q-类比[11]。更多背景信息见[18]、[25]、[33]。

**本文的内容**
本文考虑实群GL?(?,?)、GL?(?,?)和GL?(?,?)。所需数据总结在下面的表格中，见[9, 第12.3.2节]。设M?,??表示复数?? ×??矩阵的空间，M? ?M?,?表示?? ×??对称矩阵，AM?表示?? ×??反对称矩阵。对于这些情况，我们的主要结果是定理1.5和定理6.1。

**定理1.5**
对于?? ∈ ??和?? ∈ ??，设m?,0(??,??)?=∑??∈(??????)? ?????，其中(??????)?是索引不可约表示??????中M-不变向量空间的半标准表格的子集，???是使用晶体算子计算的统计量。

**定理1.6**
(1) 对于对应于多项式表示的?? ∈ ???，有mul(??????,Sp??,????GL??)=∑??∈??(1,1)??????????(Sp??,??)。
(2) 对于对应于多项式表示的?? ∈ ???，有mul(??????,O?,????GL??)=∑??∈??(2)?????????(O?)。

**推论1.7**
整数???????(??)是标准Littlewood-Richardson系数的推广，可以使用通常的Littlewood-Richardson表格的温和标志条件来计算。??(2)??表示具有最多n列的偶数行的划分集合。??(1,1)???表示具有最多2n列和偶数列的划分集合。第5节中有许多示例展示了明确的计算，我们认为这些计算不比通过Littlewood限制规则计算稳定的分支更复杂。

**本文的主要组合工具**
本文使用的主要组合工具是晶体基理论；我们的约定遵循[4]。我们在第3节和第4节回顾和开发了所需的材料。我们的阐述有两个特点对下面的应用特别重要。首先，我们处理的是复约化李代数的晶体，而不仅仅是半单李代数，以GL?作为主要例子。其次，我们对称地处理最高权重和最低权重的构造。特别是，我们给出了熟悉的最高权重构造的最低权重对应物，包括Yamanouchi单词和Littlewood–Richardson规则的各种表格表述。在GL?-晶体中，两个使用的映射是Schützenberger对合??:???????????和旋转-补对称对合????:???/??????????/????。使用这些映射，我们将几种等价的最高权重和最低权重形式的Littlewood–Richardson规则联系起来。这一框架允许我们将[16]、[22]、[25]中的分支公式转换为最低权重伴随表格的通用语言。例如，Jang和Kwon的规则是使用旋转形状????上的最高权重伴随表格来表述的；应用????得到使用ν上的最低权重伴随表格的等价描述。这些重新表述导致了定理5.6中陈述的更简单和统一的分支规则。最低权重公式不仅对分支规则的陈述很重要。结果伴随表格属于用于参数化??????中相关M-类型的相同表格集合??????。因此，在证明分级重数公式时，分支求和可以按表格重新组织。晶体统计量?????(??)然后决定了分支求和中的最小允许项，从而确定了定理6.1中出现的度数???。接下来，我们讨论了这里研究的分级重数与实约化群的幺正对偶问题之间的联系。最近的研究表明，可以使用π的某种过滤的分级（称为Hodge过滤）来测试具有实无穷小特征的不可约Harish-Chandra模π的幺正性[1]、[6]。我们将gr(??)的分级K-特征称为Hodge K-特征，记为????。这种Hodge过滤是通过Beilinson-Bernstein局部化将π实现为K-等变??-模的全局截面而产生的。在这种情况下，基案例是具有实无穷小特征的温和球形主系列对于???的分裂。我们有以下定理：

**定理1.7**
设???是分裂的，π是具有实无穷小特征的???的温和球形主系列。那么，作为分级K-表示，π上的Hodge过滤的相关分级与?同构。本文中计算的????,0(??,??)仅与gr ????(0)相关。将这种联系扩展到非分裂群、计算对应于非平凡M类型的系数，以及将结果扩展到其余的经典对称对，是未来工作的自然方向。最后，我们简要概述了我们的方法。对于任何G-模V，让Spec?(??) ?{?? ∈??? :mult?(??????,??) ≠0}表示V的谱。在我们考虑的情况下，存在一个在G作用下无重数的分解??[??]，参见下面的定理2.9。因此，我们可以写char???(??[??])=∑??∈Spec?(??[??])???????????????，其中??????是??????在??[??]的无重数分解中出现的次数，??????是??????的特征。从G分支到K，char???(??[??])=∑??∈Spec?(??[??])?????????∑??∈????????????????=∑??∈??????????∑??∈Spec?(??[??])???????????????，我们将其识别为char???(??[??])=∑??∈??????????mult???(??????,??[??])的分解。由此，我们得到mult???(??????,??[??])=∑??∈Spec?(??[??])???????????????。根据定理1.2，char???(??[??])=char???(??[??]??)?char???(?)。我们的目标是计算char???(?)。使用前面的恒等式，我们可以写char???(?)=1char???(??[??]??)?char???(??[??])=1char???(??[??]??)?∑??∈??????????∑??∈Spec?(??[??])???????????????。所以，????,0(??,??)?(??)=mult???(??????,?)=1char???(??[??]??)?∑??∈Spec?(??[??])???????????????。但我们希望更明确地用M-不变量(??????)??的基来表示????,0(??,??)?(??)，如上面的定理1.5所示。为此，我们采取以下方法：(1)回顾??[??]??的结构。(2)将??[??]理解为一个无重数的G表示。(3)从G分支到K。(4)提取不变量。项目(1)和(2)将在下一节中讨论。(3)在第3-5节中处理，(4)在第6节中完成。我想感谢Jeb Willenbring就有益的讨论，以及Jeff Adams解释了与Hodge过滤的联系。

**表示论初步**

我们首先建立一些关于我们将要在晶体处理中使用的李代数和李群的符号。我们的符号主要遵循[9]。由于我们只需要GL??-晶体来发展分支规则，在第2.2节中我们为GL??设定了约定。在第2.3节中，我们通过杨图回顾了GL??、O??和Sp2???的不可约表示的参数化。我们在第2.4节讨论了M多项式和非球形主系列之间的联系。

**李代数的晶体**

我们简要回顾了关于晶体所需的几个事实。更多内容请参见[4]、[12]。我们的约定遵循[4]。在本文中，晶体的目的是为复李代数的有限维表示提供一个组合模型。晶体最初是作为量子群表示的极限/结晶化以及标准单项式理论和Littelmann路径的产物而独立出现的。Bump和Schilling[4]提供了纯GL??-晶体和表格。从现在开始，我们遇到的唯一晶体将是正常的??????-晶体。实际上，我们只使用GL??-晶体，即与GL??的表示相关联的正常??????-晶体。回想一下第2.2节，这对于中心???(??????)= ????的作用有约束。

**分支规则**

在本节中，我们发展了Littlewood限制规则的概括：用于计算mult?(????O??,????GL??)和mult?(????Sp2???,????GL2???)的组合规则，其中GL??-和GL2???-表示是多项式。我们关注最低权重的伴随表格，如第4.6节所定义的，因为这使得与定义2.5中的熟悉K-表格的联系最为自然。这些结果也可以通过第4.6节中的映射S、????和?转化为各种等价陈述。

**K类型的分级重数**

回想一下定义2.7，(??????)0是表示??????中零M-权空间基的表格，且????,0(??,??)?(??)= mult???(??????,?)。本节的主要结果是以下定理，定理6.1：对于(GL??,O??)、(GL2??,GL??)和(GL23??,Sp23??)，????,0(??,??)?(??)=∑??∈(??????)0?????(??)，其中????ev表示大于或等于a的最小偶数。

(GL2??,GL??)的情况是众所周知的电荷统计量的一个体现，该统计量是用有理GL??-表格表示的。正如Andrew Frohmader在文中讨论的。