波动率模糊性下的最优停止

《Journal of Economic Theory》：Optimal Stopping under Volatility Ambiguity

　　

摘要

我们开发了一个在 G-布朗运动下的无限视界最优停止验证定理，并将其应用于几个具有经济意义的停止问题。该定理给出了在波动率、协方差或联合漂移 - 波动率模糊性下，变分不等式系统的候选解成为价值函数的充分条件。在经典的不可逆投资问题中，波动率模糊性促进投资，因为最坏情况情景为凸性延续价值选择了最低的可行波动率。因此，关于波动率的模糊性作用方向与波动率本身相反，后者推迟投资。在其他环境中，最坏情况波动率可能随状态变化，改变项目相关性，创建双边估值楔子，缩短搜索时间，并通过协方差和相关性模糊性改变二维投资回报。一个基于凸性的共同机制驱动了这些结果：波动率模糊性改变了感知到的未来结果的分散度，而漂移模糊性则通过单调性起作用。

引言

许多经济决策涉及实物期权，自然地表述为最优停止问题，即决策者在不确定性下选择何时采取不可逆或部分可逆的行动（Dixit and Pindyck, 1994）。1 例如，投资和撤资、市场进入和退出、搜索以及调整决策。在标准的基于扩散的实物期权模型中，不确定性由单一概率律下的已知随机过程表示。在 Mcdonald 和 Siegel (1986) 的基准模型中，波动率是已知的；在高维扩展中，协方差结构同样被视为已知。一个核心见解是，较高的波动率通过增加未来有利结果的可能性来提高延续价值。2

然而，丰富的实证证据表明，波动率是随机的、随时间变化的且难以估计（Bloom, 2009, Bloom, 2014）。此外，管理者在实践中并未精确评估波动率（Ben-David et al., 2013）。这些观察结果激发了我们对决策者认识到波动率模糊性且厌恶波动率时的实物期权决策的分析（Ellsberg, 1961）。

我们采用 Epstein 和 Ji (2013, 2014) 的连续时间偏好框架，该框架将 maxmin 模糊厌恶（Gilboa and Schmeidler, 1989）扩展到涉及波动率和协方差模糊性的环境，并建立在 Peng (2019) 总结的 G-期望理论之上。3 由于驱动过程是 G-布朗运动，关于波动率和协方差的模糊性由非受支配先验族表示，停止规则在最坏情况分散情景下进行评估。4 该框架在多维环境中特别有用，其中经济决策不仅取决于边际波动率，还取决于状态变量之间的依赖性（Epstein and Halevy, 2019）。

我们的方法论贡献是在 G-期望框架下开发无限视界最优停止的验证定理。该定理为解决其中模糊性可能涉及波动率、协方差或同时涉及漂移和波动率的经济停止问题提供了易于处理工具。我们将问题表述为变分不等式系统，并提供了候选函数与价值函数重合的充分条件。在此过程中，我们将经典的验证论证（如 ?ksendal (2013, Theorem 10.4.1)）扩展到通过非受支配先验族而非单一概率律表示不确定性的环境。

验证定理的动力在于波动率模糊性与更常见的模糊形式之间的经济和技术差异。在漂移模糊性下，最坏情况信念通常由延续价值的单调性主导。当延续价值随状态增加时，最坏情况信念选择最低的可行漂移（例如，Chen and Epstein, 2002, Cheng and Riedel, 2013）。基于单调性的相关机制出现在某些在 Lévy 过程框架下构建的跳跃模糊性模型中（Quenez and Sulem, 2013, Quenez and Sulem, 2014）。5 例如，在 Cao et al. (2025) 中，单调性决定了跳跃强度和跳跃大小分布的最坏情况扭曲。

波动率模糊性有所不同，因为波动率影响分散度而非方向。因此，最坏情况信念由延续价值的凸性而非单调性主导（Epstein and Ji, 2013）。如果延续价值是凸的，较高的波动率会提高其价值，因此最坏情况信念选择最低的可行波动率。6 在局部凹性下可能发生相反的情况。这种基于凸性的机制将波动率模糊性与漂移模糊性及某些跳跃模糊性模型区分开来。

同样的区别也造成了主要技术困难。现有的在漂移模糊性（Cheng and Riedel, 2013）或基于 Lévy 过程的跳跃模糊性（Quenez and Sulem, 2014）下的最优停止结果是在等价或受支配先验下开发的。它们不能直接应用于波动率模糊性，因为改变布朗分量的波动率会改变路径二次变差。相关测度通常是非受支配的，并且可能是互奇的。在多维环境中，同样的非受支配问题扩展到协方差模糊性，因为不同的先验可能意味着不同的二次协变差过程。7 因此，在固定概率空间下或等价先验下开发的标准求解技术未经修改无法应用。

我们将该定理应用于跨越不确定下的投资、双边契约、劳动搜索和环境政策的互补实物期权环境。应用通过变化收益结构、状态空间和模糊性来源，系统地展示了波动率和协方差模糊性如何影响停止决策。大多数应用抽象掉漂移模糊性以隔离基于凸性的机制：最坏情况信念扭曲感知到的未来结果的分散度，从而重塑等待价值、行权激励、项目选择和契约估值。表 1 总结了应用、最坏情况机制和经济含义。

最后一个应用通过不可逆环境政策引入联合漂移 - 波动率模糊性，并将我们的表述与κ-无知（Chen and Epstein, 2002）进行对比。在这两种框架中，单调性选择最坏情况漂移。然而，在κ-无知下，漂移模糊性由等价测度变换表示，因此波动率机械地影响漂移扭曲。在 G-框架中，漂移和波动率模糊性可以分别建模：单调性选择最坏情况漂移，而凸性选择最坏情况波动率。这种分离阐明了第一和第二矩模糊性的不同角色。

在有限视界设置下，Li et al. (2018) 研究了反射 G-反向随机微分方程（G-BSDEs），这为障碍问题提供了 Snell 包络的非线性类似物，且 Li (2018) 通过支配收益过程的最小 G-超鞅刻画了 G-期望下的最优停止。我们的目标不同。我们研究具有流量收益的无限视界经济停止问题，并开发了变分不等式验证定理，为在波动率、协方差和联合漂移 - 波动率模糊性下验证候选价值函数提供了充分条件。

本文还贡献于模糊性下的最优停止文献。Riedel (2009) 和 Cheng and Riedel (2013) 分别研究了离散时间和连续时间下漂移模糊性的停止。相关的稳健停止结果由 Bayraktar and Yao (2011a, 2011b) 在滤子一致非线性期望下以及由 Quenez and Sulem (2014) 为 Lévy 过程开发。这些论文提供了重要的基础，但它们通常是在等价或受支配先验下构建的。

最后，我们通过研究连续波动率和协方差分量的模糊性贡献于实物期权文献。现有关于实物期权中模糊性的工作主要集中在漂移模糊性（Attaoui et al., 2021, Delaney, 2022, Flor and Hesel, 2015, Miao and Wang, 2011, Nishimura and Ozaki, 2007, Thijssen, 2011）。最近的工作（如 Cao et al., 2025）也使用与 Lévy 过程框架相关的工具研究跳跃模糊性（Quenez and Sulem, 2013, 2014）。在这些模型中，模糊性通常通过等价测度变换表示，因此最坏情况信念扭曲漂移或跳跃特征，并且通常由单调性主导。

我们的论文不同之处在于专注于波动率和协方差模糊性。由于波动率影响未来结果的分散度，最坏情况信念由凸性而非单调性主导。G-期望框架非常适合这种环境，因为波动率和协方差模糊性自然产生非受支配先验。它还分离了第一和第二矩模糊性：漂移模糊性通过单调性起作用，而波动率和协方差模糊性通过凸性和分散度起作用。这种分离隔离了第二矩模糊性的经济角色，并产生了在由单调性驱动的漂移或跳跃模糊性模型中不会出现预测。

章节片段

模糊波动率和 G-布朗运动

我们开始回顾 Epstein 和 Ji (2013, 2014) 的框架。设$\Omega=C_0([0,\infty);\mathbb{R}^m)$表示所有$\mathbb{R}^m$值的连续路径$\omega=(\omega_t)_{t\geq 0}$的空间，其中$\omega_0=0$，配备度量
$$d(\omega^{(1)},\omega^{(2)}):=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-i}[(\sup_{t\in[0,i]}|\omega_t^{(1)}-\omega_t^{(2)}|)\wedge 1].$$
这是典型路径空间。定义坐标过程为$B_t(\omega)=\omega_t$，并写作$B=(B_t)_{t\geq 0}$。信息由$B$生成的滤子$\mathbb{F}=\{F_t\}$建模。设$\mathbb{P}_0$为$\Omega$上的 Wiener 测度，在此测度下$B$是标准布朗运动。

应用于经济时机决策

在本节中，除了第 3.6 和 3.7 节外，状态过程$X$遵循一维 G-It? 扩散
$$dX_t=\mu X_t dt+\sigma X_t dB_t, X_0=x>0,$$
其中$\mu$是漂移，$\sigma>0$是参考波动率。在所有应用中，小写字母$x$表示状态变量的当前值，等价于初始条件$X_0=x$，$V(x)$表示基于此当前状态的最优停止问题的价值函数。

除非明确引入边界，否则偿付能力区域是

结论

我们开发了一个在 G-布朗运动下的无限视界最优停止验证定理。该定理给出了在波动率、协方差或联合漂移 - 波动率模糊性下，变分不等式系统的候选解成为价值函数的充分条件。因此，它为研究在波动率、协方差和联合漂移 - 波动率模糊性下的经济停止问题提供了易于处理工具。

应用阐明了一个共同机制。在许多漂移模糊性模型中，

手稿准备过程中生成式 AI 和 AI 辅助技术声明

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CRediT 作者贡献声明

Wenbin Cao: 写作 - 审查与编辑，写作 - 初稿，验证，监督，软件，项目管理，方法论，研究，形式分析，概念构思。Xiaowei Chen: 写作 - 审查与编辑，验证，监督，研究。Yinghui Ye: 写作 - 审查与编辑，写作 - 初稿，验证，软件，方法论，研究，形式分析。Wei Yuan: 写作 - 审查与编辑，验证，监督，方法论，研究。

利益冲突声明

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Wenbin Cao|Xiaowei Chen|Yinghui Ye|Wei Yuan