由全序半格产生的加权卷积代数的性质研究

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Arens regularity of weighted convolution algebras that arise from totally ordered semilattices

　　摘要
我们研究了完全有序半格情形下加权半群卷积代数的Arens正则性。本文是对[9]中未加权情形研究的自然延续。我们还研究了这些代数的其他一些性质，例如Banach代数预对偶的存在性。

引言
自Arens在[2]中引入第一和第二Arens乘积以来，Banach代数的Arens正则性仍然是一个吸引Banach代数专家关注的话题。同年，Arens在[1]中证明了具有逐点乘积的代数?1(?)不具有Arens正则性，这引发了我们在本文中重点关注的关于半群代数研究的丰富研究方向。给定一个Banach代数A，其乘积可以自然地扩展到其双对偶??″上，使得A是??″中的一个封闭子代数，这里我们将代数A与其在??″下的像等同起来。这种扩展可以通过两种完全对称的方式进行。由此产生了第一（□）和第二（◇）Arens乘积。这两种乘积能一致的最大集合是整个双对偶空间，而它们必须相等的最小集合是A本身。这引发了Arens正则性和强Arens非正则性的定义，并在[6]中对这两种特性进行了研究。特别是，半群代数的Arens正则性得到了广泛研究，例如参见[8]、[9]，其中研究了没有权重的半群代数，而在[5]、[13]和[12]中，则主要关注加权卷积代数。本文我们专注于加权情形的研究。关于半群代数Arens正则性的最早成果之一可见于[3]，1974年Craw和Young研究了加权半群代数的Arens正则性，特别是可消半群的情况。

我们在第2节给出了Arens乘积、Arens正则性、加权半群代数以及本文中需要的其他背景定义。我们提供了主结果[3，定理1]必要部分的另一种证明方法，显著缩短了证明的长度。在这一节中，我们还添加了一些与一般半群相关而非本文特定关注对象的结果。接着在第3节中介绍了本文主要研究的半格家族。在研究加权半群代数的Arens正则性时，通常会限制在可消半群或弱可消半群上。然而，本文介绍的半格家族包括了一些不一定属于弱可消半群的例子。因此，我们的研究框架更加通用。考虑这个特定半格家族的灵感来自于[9]，他们研究了未加权情形下的Arens正则性。他们的主要结果是用S的某些性质来表征强Arens非正则性。然而，我们在例子3.5和3.6中看到，这种表征不能直接应用于加权半群代数。我们在命题3.4中提供了一个加权半群代数不做强Arens非正则性的充分条件。与强Arens非正则性相反，在定理3.3中，我们给出了仅依赖于权重性质的加权半群代数的Arens正则性的表征。具有额外性质（即对偶Banach代数，见§2中的定义）的Banach代数在某些条件下可以是Arens正则的。因此研究这一性质是自然的（见命题3.10、3.11、3.13）。在对偶Banach代数的一般研究中，了解Banach代数预对偶是否唯一也很有趣（详见第2节中的定义）。因此，我们有一些关于此方面的结果，即命题3.12和3.4。

在第4节中，我们关注了一个特定的半格??= (?,∧)。这个半格因其有趣的性质而多年来一直吸引着专家们的关注，例如在[4]中重点研究了其AMNM性质。对我们来说，它特别有趣的地方在于它不是弱可消的。在[8]中研究了这个半格的未加权情形下的Arens正则性。在命题4.2中，我们得到了类似的结果。我们之所以关注这个加权半群代数家族的另一个原因是，正如[7]中所指出的，它们的Gel'fand变换是之前在[14]和[17]中研究过的加权有界变分代数。

部分摘录
Banach代数预备知识
在下文中，我们将简要回顾与本文相关的背景、符号和术语。我们主要遵循[10]中的约定。
给定一个Banach空间E，其对偶表示为??′。在文档的其余部分，当我们有Banach代数A及其双对偶??″时，我们将A与其在??″下的像等同起来。首先，我们介绍了Banach代数A的双对偶上的两种Arens乘积：□和◇。我们假设读者熟悉关于完全有序半格的结果。

设(??, ≤)是一个无限半格，如第2节所述。同时假设序≤是一个总序，意味着对于??中的任何两个元素??,??，总是有?? ≤??或?? ≤??。我们将具有这些特征的(??, ≤)称为完全有序半格。完全有序半格是本节的研究对象。相反，如果取????= min{??,??}，则任何完全有序集合S都可以形成一个半群；这个半群是一个半格，并且满足Arens正则性和强Arens非正则性中定义的部分序。

考虑半群?? := ?，其半群运算为??∧??=min{??,??}（??,??∈?），这是上述情况的一个特例。在本节中，我们将????表示为?1(?∧,??)，其中ω是一个权重。

下面我们将给出一些改进了更一般情况下所得结果的结论。

在前一节中，我们看到了加权半群代数何时不是强Arens非正则的，但我们还没有对其进行强Arens非正则性的表征。

致谢
献给我的导师H.G. Dales教授（追思），他在生命的最后时刻仍然与我分享了对数学的热爱。