高斯场泛函的积分形式几乎必然中心极限定理

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：An integral-form almost sure central limit theorem for functionals of Gaussian fields

　　

• 建立积分形式的高斯泛函几乎必然中心极限定理（ASCLT）。
• 将平均权重推广到对数平均以外的范围。
• 引入一种可通过Malliavin可验证的总变差准则。
• 推导三个过程的二次变差的ASCLT。

**引言**

设 {Y_n : n ≥ 1} 是一个独立同分布（i.i.d.）随机变量序列，满足 E[Y_1] = 0 且 E[Y_12] = 1。定义 S_n = ∑_{k=1}^n Y_k。设 {q_k : k ≥ 1} 为正数列，令 Q_n = ∑_{k=1}^n q_k。几乎必然中心极限定理（ASCLT）的最经典表述为：当 q_k = 1/k 时，对任意 x ∈ ?，

lim_{n→∞} (1/Q_n) ∑_{k=1}^n q_k · I{S_k/√k ≤ x} = Φ(x) a.s.,

其中 Φ(x) = P(N ≤ x) [N ～ N(0,1)]，I 表示示性函数。关系式 (1.1) 首先由 Lévy [15] 陈述但未给出证明，随后由 Brosamler [7] 和 Schatte [23] 独立地重新发现并证明了该结果。

在过去几十年中，经典ASCLT中的对数平均已被推广以涵盖更广的权重族。例如，Peligrad 和 Révész [22] 证明了当 q_k = (log k)^α / k, α > ?1 时 (1.1) 成立；Berkes 和 Csáki [2] 证明了当 q_k = exp((log k)^α) / k, 0 ≤ α < 1/2 时 (1.1) 同样成立。此外，H?rmann [11] 所证明的结果使我们能够获得更接近普通（Cesàro）平均的逼近，即ASCLT (1.1) 对任何满足类似于Kolmogorov迭代对数定律的温和增长条件的权重序列 {q_k : k ≥ 1} 成立，我们在此记录如下以供参考：

(C1) 1/(k·q_k) = O(1)；
(C2) q_k · k^α 最终非递增，对某个 0 < α < 1 成立；
(C3) q_k = O(Q_k / (k · (log Q_k)^ρ))，对某个 ρ > 0 成立。

注意 H?rmann [11] 的结果作为特殊情形包含了这样一个具体事实：序列 q_k = exp((log k)^α) / k 对所有 0 ≤ α < 1 满足ASCLT，这表明ASCLT在对数均值与任意接近普通均值的平均族上仍然成立。关于ASCLT中的非标准权重，参见 Berkes 和 H?rmann [3]、Hu 等人 [13]；关于更复杂随机结构的ASCLT，参见 Chazottes 和 Gou?zel [8]、Li 和 Zhang [16]、Zheng [28] 及其中的参考文献。在这些工作中，一个与我们的工作特别相关方向涉及高斯场的泛函。对于这一类对象，Malliavin微积分提供了一个强有力的分析框架。

设 X = {X(h) : h ∈ ?} 是定义在某个实可分Hilbert空间 ? 上的等正态高斯过程（精确定义见第2节），设 {J_n : J_n ∈ ??^{2,4}, n ≥ 1} 是过程 X 的二次Malliavin可微泛函序列，满足 E[J_n] = 0, E[J_n2] = 1。在文献 [1] 中，Bercu 等人通过将等正态高斯过程的Malliavin微积分与Ibragimov–Lifshits充分条件 [14, Theorem 1.1]（将收敛于分布推广到ASCLT）相结合，获得了该泛函序列对数平均ASCLT的一个准则。具体结果如下（参见 [1, Theorem 3.2]）。假设有

sup_{n≥1} E[‖D J_n‖_?^4] < ∞

且 lim_{n→∞} E[‖D2 J_n ?? D2 J_n‖_{?^{?2}}2] = 0。

则当 n → ∞ 时，J_n 依分布收敛于 N。其中 ?? 表示第1阶缩并算子（见第2节）。此外，假设以下两个条件也成立：

∑_{n≥2} (1/(n · log2 n)) · (∑_{k=1}^n (1/k) · E[‖D2 J_k ?? D2 J_k‖_{?^{?2}}2])^{1/4} < ∞,

以及

∑_{n≥2} (1/(n · log3 n)) · ∑_{k,l=1}^n |E(J_k · J_l)| / (k·l) < ∞。

则序列 {J_n} 满足对数平均的ASCLT。

基于Bercu等人建立的离散Malliavin框架来研究ASCLT，自然会提出一个问题：能否同时（i）将该技术从离散序列设定迁移到连续参数积分形式，从而获得 (1.1) 的一个一般版本，涉及等正态高斯过程的给定非线性泛函；以及（ii）将对数权重替换为H?rmann条件 (C1)–(C3) 的连续参数类似物。我们对该问题给出了肯定回答。确实，本文的主要贡献是为一个具体的且广泛应用性强的连续参数泛函族建立了积分形式的ASCLT。考虑以下泛函：

G_T := (1/√T) ∫_0^T (f(X(h_v)) ? E[f(X(h_v))]) dv,
F_T := G_T / σ_T,

其中 σ_T2 = Var(G_T), h_v ∈ ?, 且 f : ? → ? 是非常数对称实函数，具有连续二阶导数，且满足 E|f(N)| < ∞ 和 E|f''(N)|? < ∞。我们的主要结果如下。在核 h_v 满足适当的衰减条件且权重函数 q(t) 满足H?rmann条件 (C1)–(C3) 的自然连续类似物时，连续参数族 {F_T : T > 0} 满足积分形式的ASCLT：

lim_{u→∞} (1/Q(u)) ∫_a^u q(r) · I{F_r ≤ x} dr = Φ(x) a.s.,

其中 Q(u) = ∫_a^u q(r) dr → ∞ 当 u → ∞ 时，a > 0 为某常数。

我们证明的一个关键步骤是发展了一个新的积分形式ASCLT的充分准则，该准则以概率距离表示（准则4.3，第4节）。该准则通过将Ibragimov–Lifshits方法推广到连续情形而推导得出，并且在Malliavin框架内是可行的。对于特定的泛函 F_T，Malliavin微积分使我们能够从确定性核 h_v 和非线性函数 f 直接界定距离，从而简化了在H?rmann型平均下准则4.3的验证。作为应用，我们推导了三个典范高斯过程的二次变差的ASCLT。

本文其余部分组织如下。第2节回顾涉及Malliavin微积分和概率距离的一些预备结果。第3节给出我们的主要定理。第4节发展连续Ibragimov–Lifshits准则和概率距离准则。第5节给出积分形式ASCLT的证明。最后，第6节将其应用到分数布朗运动（fBm）、次分数布朗运动（sfBm）和缓变分数布朗运动（tfBm）的二次变差上。

**预备知识**

我们现在描述等正态高斯过程、Malliavin微积分和概率距离的一些基本事实。更完整的阐述参见 [12], [18], [19], [21]。

**主要结果**

设 ? = L2(?, ??(?), dx) 配备内积 ?·, ·?_? 和范数 ‖·‖_? = ?·, ·?_?^{1/2}。对 T > 0，考虑函数族 {h_v : v ∈ [0, T]} ? ?，使得对所有 v ∈ [0, T] 有 ‖h_v‖_? = 1，这意味着 X(h_v) 依分布等于 N。假设有不依赖于 T 的常数 ζ > 0 和 ε_0 > 0，使得当 |v ? z| ≤ ε_0 时 |?h_v, h_z?_?| ≥ ζ。此外，假设存在对称非负函数 γ ∈ L1(?) 使得对所有 v, z ∈ [0, T] 有 |?h_v, h_z?_?| ≤ γ(v ? z)。

设 f : ? → ? 是二次可微的对称实函数，且……

**准则**

我们从研究Ibragimov–Lifshits准则的连续类似物开始。设 {Z, Z_t : t > 0} 为随机变量族。该准则在下述准则4.1中给出，提供了关于 {Z_t}（不一定为等正态高斯过程的非线性泛函）的H?rmann型平均积分形式ASCLT的一个充分条件。

**准则4.1** 假设 Z_t 依分布收敛于 Z，函数 q 和 Q 满足定理3.1中的条件 (1)–(4)。定义 φ_u(v) = (1/Q(u)) ∫_a^u q(r) · exp(ivrZ_r) dr，且……

**定理3.1的证明**

在本节中，我们验证泛函 (1.4) 的准则4.3中的条件 (A2)，从而证明定理3.1。下面的命题5.1提供了一个将应用于我们特定泛函的一般性质。

**命题5.1** 设 {F_t : t > 0} ? ??^{2,4} 为 {X(h), h ∈ ?} 的二次Malliavin可微泛函族，其中 ? = L2(?, ??(?), dx)。定义 I_{t,s}(x,y) = (D2F_t ?? D2F_s)(x,y) 和 J_{t,s}(x,y) = DF_t(x) · DF_s(y)。若对所有 s, t > 0，F_t ? F_s 具有绝对连续分布，且 F_t 满足 E[F_t] = 0 和 E[F_t2]……

**应用**

设 {B_t : t ∈ ?} 为双侧布朗运动，使得 B_t = B_1(t) · I{t ≥ 0} + B_2(?t) · I{t < 0}，其中 {B_1(t) : t ≥ 0} 和 {B_2(t) : t ≥ 0} 是两个独立的标准布朗运动。由 {B_t} 生成的高斯空间可识别为形式 X = {X(h) : h ∈ ?} 的等正态高斯过程，其中 ? = L2(?, ??(?), dx)。

本节给出定理3.1的三个应用：fBm、sfBm和tfBm的二次变差。此处给出的证明采用了一种不同于经典方法的更简单技术。

**资助**

本工作受吉林省教育厅（批准号 JJKH20261637KJ）、国家自然科学基金（批准号 12171198）和中央高校基本科研业务费资助。

**致谢**

我们感谢编辑和匿名审稿人提出的细致且具有建设性的意见，这些意见帮助我们显著提高了论文的清晰度和完整性。

Yi Yuan | Yong Zhang | Jingyu Li