具有非线性边界条件的一维波动方程的动态控制

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Dynamic control for one-dimensional wave equation with nonlinear boundary

　　•在??2?(0,?) ×??2?(0,?)上使用第二类van der Pol边界对波动方程进行稳定化。•提出一种新的积分展开补偿策略，采用非共位边界测量。•两种基于输出的反馈设计：双低增益方案和基于观测器的方案。

引言
振动研究长期以来一直是工程和应用数学中的关键研究领域。特别是，具有阻尼特性的波动模型可以用来描述实际系统，如管道燃烧动力学和钻井过程中的粘滑现象（例如，Bresch-Pietri和Krstic [1]，Su和Wang [19]，Zhang等人[27]）。阻尼的存在导致未控制系统所有特征值的实部都是正的，这是一种独特的不稳定机制。这激发了大量的研究工作，主要目标是阐明这种不稳定的潜在机制并开发有效的对策。在各种控制策略中，反步法作为一种系统且可靠的方法脱颖而出，用于设计针对无限维系统的反馈控制器[18]，[30]。
在实际工程应用中，系统经常受到不确定干扰和固有非线性现象的影响。特别是，具有非线性边界条件的波动方程通常会导致混沌振动[2]，[3]，[22]。外部干扰可能会进一步加剧系统稳定性的下降，甚至导致完全不稳定。特别是对于具有非线性边界条件的无限维系统，累积的干扰可能导致系统动态响应的振荡或发散。已经开发了多种控制方法来减轻和补偿干扰，包括基于Lyapunov的控制[9]、自适应控制[11]和滑模控制[8]等。主动干扰拒绝控制（ADRC）已经从常微分方程（ODE）系统发展到偏微分方程（PDE）系统，实现了对不确定性和干扰的有效估计和补偿[6]，[25]，[31]。最近的研究在受到非线性边界条件和干扰影响的波动方程的输出反馈稳定化方面取得了重大进展，利用了ADRC框架[15]，[26]。为了估计干扰和不确定性的总和，观测器和控制器通常被布置在同一边界位置，以确保逆动力学计算的可行性[7]。
非共位控制，即执行器和传感器在结构的不同边界上操作，在实际工程应用中非常普遍。例如，Guo和Xu[10]研究了一个具有非共位测量的波动方程系统。另一方面，经典的PID（比例-积分-微分）控制器仍然是各种工程系统中的主要控制算法。因此，关于PID控制性能的理论研究具有重要的学术和实用价值。值得注意的是，一些现有的PID控制结果已经扩展到PDE系统，例如，Fan等人[4]和Trinh等人[20]结合了积分控制器来实现输出调节。在这些进展的基础上，本文提出了将非线性积分控制策略扩展到具有非共位配置的波动方程系统，以实现干扰补偿和稳定。本文的主要贡献总结如下：
•与Lou和Zhou[15]以及Xiang等人[26]采用的干扰估计方法不同，我们提出了一种基于非共位边界测量的新补偿策略。
•我们研究了受到第二类van der Pol边界条件影响的波动方程的稳定问题，如Chen等人[2]所讨论的，其中状态空间为??2?(0,?) ×??2?(0,?)，包括位移的势能。
•提出了两种基于输出的动态反馈方案：第一种是作为低增益控制器设计的双重方法；第二种基于无限维估计器，仅使用非共位测量即可实现原系统的稳定。
本文的结构如下。第2节中，我们阐述问题并提出系统描述。第3节中，引入了系统状态的坐标变换以推导状态反馈控制器。基于扩展的交互式积分控制框架，设计了有限维动态反馈律来补偿干扰并稳定系统。第4节进一步提出了两种类型的输出反馈律，并进行了相应闭环系统的稳定性分析。最后，第5节提供了数值仿真来说明所提出控制策略的有效性，第6节给出了结论性评论。为便于表示，本文中省略了时间变量t和空间变量x的显式域。符号????,????,?? ∈?表示正常数。我们定义???(??)= sup?{Re???|??∈???(??)}，其中???(??)表示算子A的谱。矩阵G的转置表示为???。

问题表述
在本文中，我们考虑一维波动方程系统的输出反馈稳定化，该方程表示为
?{ { {?{ { {?????????(??,??)=????????(??,??),??∈(0,?),??>0,?????(0,??)=?????????(0,??)+?????2?(0,??)??????(0,??),??≥0,?????(?,??)=???(??)+???(??),??≥0,?????(??,0)=??0?(??),?????(??,0)=??1?(??),??∈[0,?], 其中0< ??< 1, ??> 0, （??0,??1）是初始状态，u是边界控制，d表示干扰。非线性边界条件对应于van der Pol型的位移调制非线性阻尼。等效阻尼系数??? ?????2?(0,??)是

初步分析
根据内部模型[12]的设计思想，在假设1下，我们可以设计以下动态控制器
{???(??)=?????????(?,??)+???(???(?,??),?????(?,??),???(??)),˙???(??)=????????(??)+???(??1?(??)),
其中适当的算子??,??,??用于稳定带干扰的系统。然而，与Wang等人[23]和Krstic [13]对线性ODE-波系统设计的控制器不同，由于存在非线性边界条件，这似乎不容易实现。为此，我们首先考虑

低增益动态控制
在本小节中，我们提出了一个新颖的低增益动态控制方法，适用于当额外测量?????(?,??)可用时。Rebarber和Weiss [17]中提出了基于内部模型的无限维线性系统的低增益输出反馈用于干扰拒绝。然而，它不能直接应用于文中的非线性系统。为了克服这一点，我们引入了以下引理并证明了基于Lyapunov方法的低增益反馈的有效性。引理5

数值仿真
在本节中，我们进行了一些模拟以验证我们的理论结果。考虑系统（1），参数和初始状态选择为
{???(??,0)=cos?(2??????)?1,?????(??,0)=0,??=??=0.2,???(??)=cos???+1,??0=0,??1=1,?=1。离散化采用了有限差分方案。数值结果用Matlab编写。时间步长和空间步长均取为0.002。在上述设置下，我们对闭环系统进行了模拟。对于控制器（54），我们设置??= 0.9,??= 0.1,??=

结论性评论
在本文中，我们提出了一种新的动态补偿控制方法，用于稳定具有非线性边界和干扰的PDE系统。考虑了具有非线性边界条件的波动方程的一维动态稳定问题以及非共位观测问题。未来的工作可以扩展到其他PDE系统，例如梁方程，也可以进一步考虑具有非线性边界的PDE系统的非共位输出跟踪问题。

作者贡献声明
Xiao-Hui Wu：概念化、方法论、形式分析、写作——原始草稿。
Jun-Min Wang：监督、资金获取、写作——审阅与编辑、可视化。
Fei Wang：资金获取、验证、可视化。