关于加权混合范数空间上解析副产物的研究

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Words of analytic paraproducts on weighted mixed norm spaces

　　摘要

在单位圆盘 ?? 上给定一个解析函数 g，我们研究了与 g 相关的解析型副积算子，它们定义为
$$
\begin{align*}
\mathcal{T}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}(\xi) \mathcal{g}'(\xi) \, d\xi, \\
\mathcal{S}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}'(\xi) \mathcal{g}(\xi) \, d\xi, \\
\mathcal{M}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \mathcal{f}(\zeta) \mathcal{g}(\zeta).
\end{align*}
$$
我们的兴趣在于表征由 $\mathcal{T}\mathcal{g}$、$\mathcal{S}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 在单位圆盘上的加权混合范数空间中生成的代数 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中算子的有界性。这些问题被证明是非常非平凡的：$\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 的元素是这三个基本算子的有限线性组合（“词”），在分析这些组合时会出现微妙的抵消效应。文献 [2] 中的结果表明，可以在 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中任意一个“词”的有界性的完整定量表征形式为符号 g 的分数幂，并且这种有界性仅依赖于每个算子 $\mathcal{T}\mathcal{g}$、$\mathcal{S}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 在给定“词”中出现的次数。本文在混合范数空间中在这方面取得了进展。我们的主要结果提供了 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中“词”的有界性的完整定量表征，其形式为符号 g 的分数幂，这种有界性仅依赖于每个算子在给定“词”中出现的次数。

引言

设 $\mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$ 是复平面上单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数空间。对于 $\alpha > -1$ 和 $0 < \pi < \infty$，加权 Bergman 空间 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 包含那些满足条件 $|\mathcal{f}(\zeta)|_{\mathcal{A}_{\pi \alpha}} := \int_{0}^{\eta} |f(\xi)|_{2^\alpha (1 - |\xi|}^{\pi \alpha} \, d\xi} < \infty$ 的函数 $\mathcal{f} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$，其中 $d_{\mathcal{A}}$ 是 $\mathbb{D}$ 上的标准化面积测度。我们考虑空间 $\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}$，$0 < \pi < \infty$，$0 < \alpha < \infty$，它们包含那些满足条件 $|\mathcal{f}(\zeta)|_{\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}} = 1 \int_{0}^{1 - \theta} \alpha^{\pi \alpha - \theta} \mathcal{g}(\theta, \mathcal{f}(\xi) \, d\theta < \infty$ 的解析函数 $\mathcal{f} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$。如果 $\theta = \pi$，那么 $\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}$ 与 Bergman 空间 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 相同。

给定一个函数 $\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$，我们考虑与之相关的解析型副积算子，定义为
$$
\begin{align*}
\mathcal{T}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}(\xi) \mathcal{g}'(\xi) \, d\xi, \\
\mathcal{S}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}'(\xi) \mathcal{g}(\xi) \, d\xi, \\
\mathcal{M}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \mathcal{f}(\zeta) \mathcal{g}(\zeta).
\end{align*}
$$
我们感兴趣的是表征由 $\mathcal{T}\mathcal{g}$、$\mathcal{S}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 在单位圆盘上的加权混合范数空间中生成的代数 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中算子的有界性。这些一般问题被证明是非常非平凡的：$\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 的元素是这三个基本算子的有限作品的有限线性组合，在分析这样的组合时会出现微妙的抵消效应。文献 [2] 中的结果表明，可以在 Hardy 和 Bergman 空间中为 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中任意一个“词”的有界性提供完整的定量表征，其形式为符号 g 的分数幂，并且这种有界性仅依赖于每个算子 $\mathcal{T}\mathcal{g}$、$\mathcal{S}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 在给定“词”中出现的次数。本文在混合范数空间中在这方面取得了进展。我们的主要结果为 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 中“词”的有界性提供了完整的定量表征，其形式为符号 g 的分数幂，这种有界性仅依赖于每个算子在给定“词”中出现的次数。

预备知识

设 $\mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$ 是复平面上单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数空间。对于 $\alpha > -1$ 和 $0 < \pi < \infty$，加权 Bergman 空间 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 包含那些满足条件 $|\mathcal{f}(\xi)|_{\mathcal{A}_{\pi \alpha}} := \int_{0}^{\eta} |f(\xi)|_{2^\alpha (1 - |\xi|}^{\pi \alpha} \, d\xi} < \infty$ 的函数 $\mathcal{f} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$，其中 $d_{\mathcal{A}}$ 是 $\mathbb{D}$ 上的标准化面积测度。我们考虑空间 $\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}$，$0 < \pi < \infty$，$0 < \alpha < \infty$，它们包含那些满足条件 $|\mathcal{f}(\xi)|_{\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}} = 1 \int_{0}^{1 - \theta} \alpha^{\pi \alpha - \theta} \mathcal{g}(\theta, \mathcal{f}(\xi) \, d\theta < \infty$ 的解析函数 $\mathcal{f} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$。如果 $\theta = \pi$，那么 $\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}$ 与 Bergman 空间 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 相同。

给定一个函数 $\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$，让我们考虑乘法算子 $\mathcal{M}\mathcal{g}\mathcal{f} = \mathcal{f} \mathcal{g}$ 和积分算子
$$
\begin{align*}
\mathcal{T}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}(\xi) \mathcal{g}'(\xi) \, d\xi, \\
\mathcal{S}\mathcal{g}\mathcal{f}(\zeta) &= \zeta \int_{0}^{\eta} \mathcal{f}'(\xi) \mathcal{g}(\xi) \, d\xi.
\end{align*}
$$
它们满足基本恒等式：
$$
\mathcal{M}\mathcal{g}\mathcal{f} = \mathcal{T}\mathcal{g} + \mathcal{S}\mathcal{g} + \mathcal{g}(0) \, \forall \mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D}),
$$
其中 $\mathcal{g}(0) = \mathcal{f}(0)$，对于 $\mathcal{f} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$。根据 [1]，我们将这些积分算子称为 g-解析型副积。众所周知（参见 [1] 及其中的参考文献），当 $\alpha > -1$ 时，如果 $\mathcal{g}$ 属于 Bloch 空间 $\mathcal{B}_{\alpha}$，那么 $\mathcal{T}\mathcal{g}$ 在 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 上是有界的；当 $\alpha = -1$ 时，如果 $\mathcal{g} \in \mathcal{V}_{\mathcal{G}\mathcal{H}$（Hardy 空间），那么 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 在 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 上也是有界的；而 $\mathcal{M}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{S}\mathcal{g}$ 在这些空间上的有界性等价于 $\mathcal{g}$ 在 $\mathbb{D}$ 上的有界性，即 $\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\infty}$。我们感兴趣的是由这些算子生成的代数 $\mathcal{A}_{\mathcal{g}}$。更确切地说，我们研究在 $\mathcal{A}_{\pi,\pi \alpha}$，$0 < \pi < \infty$ 上，由 $\mathcal{M}\mathcal{g}$、$\mathcal{T}\mathcal{g}$ 和 $\mathcal{S}\mathcal{g}$ 的有限作品的有限线性组合（我们也将这些组合称为 g-算子）的有界性（连续性）。为了继续讨论，我们需要回顾所谓的 g-算子的 ST-形式，即根据 [1, §3.2]，每个 $\mathcal{L} \in \mathcal{A}_{\mathcal{g}}$ 都有一个表示形式
$$
\mathcal{L} = \sum_{k=0}^{\infty} \mathcal{S}_{k}\mathcal{g}\mathcal{T}_{k}\mathcal{T}_{k-1}\mathcal{T}_{k+1}\mathcal{g} + \mathcal{g}(0) \, \forall \mathcal{L} \in \mathcal{A}_{\mathcal{g}},
$$
其中 $\mathcal{L} \in \mathbb{N}^0 := \mathbb{N} \cup \{0\}$，所有的 $\mathcal{T}_{k}$ 都是多项式。文献 [1] 中的方法使用这种表示来检测某些主导项，从而得出这些算子有界性的表征。对于加权 Bergman 空间，Aleman 等人在 2024 年获得了以下结果。

定理 1.1

设 $\alpha \geq -1$，$0 < \pi < \infty$，$\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D})$ 且 $\mathcal{L} \in \mathcal{W}_{\lambda,\nu,\mu}(\lambda, \nu, \mu) \in \mathbb{N}^0$，其中 $\lambda, \nu, \mu \in \mathbb{N}$ 且 $\nu = \lambda + \mu + \mu \geq 1$。
a) 如果 $\nu = 0$，那么 $\mathcal{L}$ 在 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 上是有界的当且仅当 $\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\infty}$ 且 $|\mathcal{L}|\mathcal{A}_{\pi \alpha} \sim |\mathcal{g}|\mathcal{A}_{\nu \mathcal{H}^{\infty}$。
b) 如果 $\nu \geq 1$，那么 $\mathcal{L}$ 在 $\mathcal{A}_{\pi \alpha}$ 上是有界的当且仅当 $\mathcal{g} \in \mathcal{B}_{\lambda \nu}$，其中 $\sigma = \lambda + \nu + 1$。此外，$|\mathcal{L}|\mathcal{A}_{\pi \alpha} \sim |\mathcal{g}|\mathcal{A}_{\nu \mathcal{B}_{\lambda \sigma}$。

对于加权混合范数空间，Arévalo 等人在 2019 年获得了以下结果。

定理 1.2

设 $\mathcal{g}$ 是单位圆盘上的解析函数，$\mathcal{T}\mathcal{g}$ 是诱导的积分算子，且 $0 < \pi \leq \infty$，$0 < \alpha, \rho < \infty$。那么 $\mathcal{T}\mathcal{g} : \mathcal{A}_{\pi,\rho \alpha} \to \mathcal{A}_{\pi,\rho \alpha}$ 是有界的当且仅当 $\mathcal{g} \in \mathcal{B}_{\alpha}$。

这些结果自然地让我们想知道定理 1.1 是否可以推广到加权混合范数空间。本文的主要目的是在加权混合范数空间的背景下研究上述情况。更确切地说，我们将证明任意算子乘积（组合）在 $\mathcal{A}_{\pi,\rho \alpha}$ 上的有界性的完整定量表征，这些算子的因子包括 $\mathcal{S}\mathcal{g}$、$\mathcal{T}\mathcal{g}$ 或 $\mathcal{M}\mathcal{g}$，这些算子将被称为 g-词。因此，一个 N 个字母的 g-词是一个形式为 $\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \ldots \mathcal{L}_N$ 的算子，其中每个字母 $\mathcal{L}_j$ 是 $\mathcal{M}\mathcal{g}$、$\mathcal{S}\mathcal{g}$ 或 $\mathcal{T}\mathcal{g}$。为了方便表示，我们固定每个 g-解析型副积的出现次数，即如果 $\lambda, \mu, \nu \in \mathbb{N}^0$ 满足 $\nu = \lambda + \mu + \nu \geq 1$，我们考虑集合 $\mathcal{W}_{\lambda,\mu,\nu}$，它包含形式为 $\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \ldots \mathcal{L}_N$ 的 N 个字母的 g-词，其中 ${\#(\mathcal{L}_j = \mathcal{M}\mathcal{g}) = \lambda$，${\#(\mathcal{L}_j = \mathcal{S}\mathcal{g}) = \mu$，以及 ${\#(\mathcal{L}_j = \mathcal{T}\mathcal{g}) = \nu$。此外，让 $\mathcal{W}_{0,0,0}$ 仅包含单位算子。

为了表述我们的主要定理，我们首先定义适当的符号类。这些空间以自然的方式扩展了 BMOA 和 Bloch 空间 $\mathcal{B}$：在它们的标准定义中，人们用函数的模的欧几里得范数的正数次幂来替换复导数的模。更具体地说，我们引入半范数
$$
\begin{align*}
\|\mathcal{g}|\mathcal{V}_{\alpha} := \sup_{a \in \mathbb{D}} \int_{a}^{\mathbb{D}} (1 - |\xi_a|)^2 |\mathcal{g}'(\xi_a)| \, d\mathbb{D}, \\
\|\mathcal{g}|\mathcal{B} := \sup_{a \in \mathbb{D}} (1 - |a|^2) |\mathcal{g}'(\xi)|.
\end{align*}
$$
其中 $\xi_a(\xi) := \frac{\xi - \bar{\xi}}{1 - \xi} \in \mathbb{D}$，并且记 $\mathcal{V}_{\alpha} := \{ \mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D}) : |\mathcal{g}|\mathcal{V}_{\alpha} < \infty \}$，$\mathcal{B} := \{ \mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }(\mathbb{D}) : |\mathcal{g}|\mathcal{B} < \infty \}$。对于函数 $\mathcal{f} : \mathbb{D} \to \mathbb{R}$，我们定义
$$
|\nabla\mathcal{f}(\xi)| := \lim_{w \to \xi} \frac{|\nabla\mathcal{f}(\xi) - \nabla\mathcal{f}(\xi)|}{|w - \xi|} \in [0, \infty].
$$
符号 $|\nabla\mathcal{f}(\xi)|$ 是合理的，因为当 $\Psi$ 在点 z 处可微分时，$|\nabla\mathcal{f}(\xi)|$ 就是 $\Psi$ 在点 z 处的梯度的欧几里得范数。注意，如果 $\mathcal{g} \in \mathcal{H}^{\ Davidson }