对称巴拿赫空间 $L^1 \cap L^\infty$ 的马祖尔 - 乌拉姆性质

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：The Mazur-Ulam property for the symmetric Banach space L1?∩? L∞

　　

摘要
在本文中，我们证明了对称 Banach 空间 $L^1 \cap L^\infty$ 具有 Mazur-Ulam 性质。即，每一个满射等距映射 $V:S(L^1 \cap L^\infty) \to S(F)$ 都可以扩展为从 $L^1 \cap L^\infty$ 到 $F$ 的满射线性等距映射，其中 $F$ 是任意 Banach 空间。

引言
如果存在从 $E$ 到 $F$ 的满射等距映射，即存在满射映射 $T:E \to F$ 使得 $\|Tx - Ty\| = \|x - y\|$，$\forall x, y \in E$，则称赋范空间 $E$ 和 $F$ 是等距的。赋范空间之间满射等距映射的研究引起了极大的兴趣。在他们著名的工作中，S. Mazur 和 S. Ulam [15] 证明了实赋范空间之间的每一个满射等距映射都是仿射的，即由线性变换与平移复合而成。在 [11] 中，P. Mankiewicz 推广了 Mazur-Ulam 定理，他证明了从实赋范空间的连通子集到另一个实赋范空间的开子集的任意等距映射都可以扩展为整个空间上的仿射等距映射。特别地，两个实赋范空间线性等距当且仅当它们的单位球等距。

另一方面，存在赋范空间的子集，它们是等距的，但在任何自然意义下都不是仿射等距的。这导致了 D. Tingley 在 [19] 中提出的以下问题。

廷利问题：假设 $V:S(E) \to S(F)$ 是一个满射等距映射。是否存在线性等距映射 $U:E \to F$，使得 $U$ 在 $S(E)$ 上的限制与 $V$ 一致？这里 $S(E)$ 和 $S(F)$ 分别表示 $E$ 和 $F$ 的单位球面。

廷利问题对于几个经典的 Banach 空间已经得到了肯定解答，包括 $\ell^p(\Gamma)$ ($1 \le p \le \infty$)，$L^p$-空间，$C(K)$ 空间等。最近的进展将这些结果推广到了组合 Tsirelson 空间 $T[\theta, S_\alpha]$，对于 $1 \le \alpha < \omega_1$ [12], [13]，复组合 Tsirelson 空间 [22] 和 Schreier 空间 [8]。除了经典设定外，对于紧算子空间 $K(H)$，冯·诺依曼代数，$p$-Schatten 冯·诺依曼代数和含单位元的 $C^*$-代数也获得了肯定答案。关于这些发展的全面综述可在 [5], [16] 及相关参考文献中找到。尽管取得了这些重大进展，该问题即使在有限维 Banach 空间的设定下仍然悬而未决。

定义 1.1[3] 设 $F$ 为任意赋范空间，如果赋范空间 $E$ 满足：$E$ 和 $F$ 的两个单位球面之间的每一个满射等距映射 $V$ 都是 $E$ 和 $F$ 之间实线性等距映射的限制，则称 $E$ 具有 Mazur-Ulam 性质（简称 MUP）。Mazur-Ulam 性质与廷利问题密切相关。已知满足 Mazur-Ulam 性质的空间例子包括 $c_0(\Gamma, \mathbb{R})$, $\ell^\infty(\Gamma, \mathbb{R})$, $c_0(\Gamma, \mathbb{C})$, 和 $\ell^\infty(\Gamma, \mathbb{C})$，其中 $\Gamma$ 是离散集（参见 [9], [10], [17]）。更多例子可参见 [20]。最近的工作表明，交换冯·诺依曼代数 [4]，含单位元的复 $C^*$-代数和实冯·诺依曼代数 [14]，非含单位元的阿贝尔 $C^*$-代数 [23] 也满足 Mazur-Ulam 性质。更多细节，我们参考综述 [18], [21]。

对称（重排不变）函数空间理论起源于经典的 $L^p$, $1 \le p \le \infty$，并在上个世纪得到了广泛发展，特别是在 Banach 格背景下。这一丰富的理论提供了具有深远意义的结果，在泛函分析、插值理论、遍历理论、调和分析及数学物理中有重要应用。

对称 Banach 空间的各个方面已得到研究，包括它们的等距群以及与其他 Banach 空间的关系（参见 [1], [2]）。设 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$-代数，且 $\mu$ 是 $\Sigma$ 上的一个无原子测度，使得 $\mu(\Omega) = +\infty$。空间 $L^1 \cap L^\infty(\Omega, \Sigma, \mu)$，即本文的研究重点，由 $\Omega$ 上所有本质有界的可积实值函数组成，配备范数 $\|f\| = \max\{\|f\|_1, \|f\|_\infty\}$ 对于每一个 $f \in L^1 \cap L^\infty$。为简便起见，我们将此空间记为 $L^1 \cap L^\infty$。它构成了对称 Banach 空间的一个重要类。

在本文中，我们证明了 $L^1 \cap L^\infty$ 与任意 Banach 空间 $F$ 的单位球面之间的每一个满射等距映射都是这两个空间之间实线性等距映射的限制。即，Banach 空间 $L^1 \cap L^\infty$ 具有 Mazur-Ulam 性质。

章节片段
主要结果
我们首先给出几个将在后续分析中使用的引理。此处考虑的所有空间均为实的。

引理 2.1 [10], 推论 1
设 $E, F$ 为 Banach 空间，且设 $V:S(E) \to S(F)$ 为一个满射等距映射。那么 $\|V(x) + V(y)\| = 2$ 当且仅当 $\|x + y\| = 2$。

引理 2.2 [6], 引理 5
设 $X$ 为赋范空间，且设 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 为 $X$ 的单位球面 $S(X)$ 中的一个序列。假设对于所有符号 $\theta_k = \pm 1$ ($1 \le k \le n$)，有 $\|\theta_1 x_1 + \cdots + \theta_n x_n\| = n$。那么对于所有 $\{\lambda_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$，我们有 $\|\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_n x_n\| = \sum_{k=1}^n |\lambda_k|$。

以下引理最初在 [7] 中证明，将在...中使用

致谢
作者感谢审稿人提出的建设性评论和建议。

王瑞栋 | 骆江龙