在采样动态影响下的一类聚合博弈中的均衡选择

《Mathematical Social Sciences》：Equilibrium selection in a class of aggregative games under sampling dynamics

　　我们考虑了一个具有互补性的大规模聚合博弈。纳什均衡可以进行帕累托排序。我们在k-抽样最佳响应动态下研究均衡选择。被选择的是迭代1/k-优势均衡。如果收益高且成本低，这个均衡就是帕累托有效的均衡。

引言
均衡选择是进化博弈论中的一个重要问题（Sandholm, 2010）。答案通常取决于如何对进化进行建模。确定性模型使用常微分方程（称为进化动态）来追踪策略分配的变化。如果这些动态收敛到纳什均衡，那么收敛速度很快。但在这类动态下的均衡选择通常取决于初始状态。进化的随机模型基于随机过程。这些模型通常产生唯一的均衡选择，即独立于初始条件的唯一均衡选择。例如，在对称的2×2博弈中，这些模型通常会选择风险优势均衡（Kandori等人，1993年；Young，1993年）。然而，这类模型的收敛时间可能非常长，特别是在交互是全局的情况下（Ellison，1993年）。要加快随机模型的收敛速度，可能需要局部交互，例如在网络中，或者允许代理只对人口的一个样本进行最佳响应（通过变异）（Ellison，2000年）。

抽样最佳响应动态（Sandholm, 2001；Oyama等人，2015）正如其名称所示，应用了代理对样本进行最佳响应的类似想法来生成一个确定性的进化动态。因此，代理随机抽取一定数量的玩家，并选择对样本中策略经验分布的最佳响应。这种动态在代理没有关于所有代理策略分布信息的情况下是相关的。在这种情况下，他们无法对整个群体做出最佳响应，而最多只能对一个样本做出最佳响应。由于该模型是确定性的，所以没有变异，收敛速度很快。此外，与其他大多数确定性动态不同，这种动态可以产生唯一的均衡选择。

我们关注聚合博弈，这类博弈的收益仅取决于个体策略和所有玩家的集体策略（Corchón, 1994）。许多经济问题都可以用这类博弈来建模。例如包括库诺竞争、公地悲剧以及教育和投资选择。此外，聚合博弈也适合进行进化分析（Vega-Redondo, 1997；Alós-Ferrer和Ania, 2005；Schipper, 2009）。在库诺竞争和公地悲剧等模型中，存在战略替代性，因此存在唯一的纳什均衡。大多数进化动态在这些博弈的大规模人口版本中会收敛到该均衡（Lahkar, 2017；Lahkar, 2020）。然而，在代理选择教育或投资的博弈中，存在战略互补性。代理的收益，因此也是最佳响应，随着群体策略的增加而增加。这种互补性导致了多个纳什均衡的存在，从而产生了均衡选择的问题。这就是本文感兴趣的问题。

因此，本文的动机是使用抽样最佳响应动态研究具有战略互补性的聚合博弈中的均衡选择。据我们所知，这是第一次将这种动态应用于这类聚合博弈。除了它们的经济应用之外，聚合博弈还提供了一个易于处理的框架，在该框架中，由战略互补性产生的多个纳什均衡可以进行帕累托排序。从社会福利的角度来看，希望唯一选择帕累托更优的均衡是可取的。像最佳响应动态（Gilboa和Matsui, 1991）这样的经典确定性进化模型，其中代理对整个人口中的策略分布进行最佳响应，并不会唯一选择帕累托更优的均衡。相反，如果初始状态接近帕累托次优均衡，动态将会收敛到那里。然而，在抽样最佳响应动态下，可能是唯一均衡的选择。这一结论源于??-优势的概念（Morris等人，1995）。假设博弈有一个??=1??-优势策略，其中??≥2是抽样最佳响应动态中的样本大小。那么，动态会收敛到1??-优势均衡（Sandholm, 2001）。直观地说，当样本大小为??时，1??-优势策略不会是最佳响应，除非没有代理采用这种策略。这种可能性很低。因此，进行抽样的代理选择1??-优势策略的可能性足够高，以至于动态增加了采用这种策略的代理的数量。我们试图应用这些论点来建立我们在具有战略互补性的聚合博弈类别中??-抽样最佳响应的全局收敛性。这将确定在??-抽样动态下这些博弈中帕累托最优均衡被唯一选择的条件。

我们的正式分析依赖于Oyama等人（2015）的结果。他们将选择1??-优势均衡的结果扩展到了迭代1??-优势均衡。1??-最佳响应集是指当至少有1??比例的代理采用该集合中的策略时，只有该集合中的策略才是最佳响应的集合。这种想法的迭代应用产生了迭代1??-最佳响应集的概念。如果最终只剩下一个策略的集合，那么就构成了迭代1??-优势均衡。Oyama等人（2015）表明，在??-抽样最佳响应动态下，这样的纳什均衡几乎是全局渐进稳定的。我们的一些结果还需要超模块性（Topkis, 1979；Topkis, 1998；Vives, 1990；Milgrom和Roberts, 1990）。

在我们考虑的特定类别的聚合博弈中，代理的收益是代理自身策略与群体策略的线性函数的乘积。减去策略的成本后得到代理的收益。该模型的一个重要技术特点是策略集是连续集合的有限近似。尽管直接分析连续集合可能更自然，但我们无法这样做，因为抽样最佳响应动态仅定义了有限策略博弈。为了解释我们的结果，假设策略的数量足够多，以至于有限近似接近连续集合是有用的。

我们将分析分为两部分。首先，我们假设样本大小??相对于代理收益中的收益参数很大。在这种情况下，如果策略的数量足够多，我们无法获得唯一的均衡选择。原因是在这种情况下，迭代1??-优势条件不成立。相反，我们获得的是局部渐进稳定性。直观地说，当??很大时，抽样最佳响应动态表现得像经典的最佳响应动态。在最佳响应动态下，代理对实际的人口状态做出最佳响应。当样本大小很大时，代理的抽样最佳响应足够接近真正的最佳响应，使抽样动态类似于经典动态。正如我们已经指出的，经典的最佳响应动态不会产生唯一的均衡选择。因此，在这种情况下，抽样动态也不会产生唯一的均衡选择。我们分析的第二部分得出了更有趣的结果。即当样本大小??相对于收益参数较小时。我们根据模型中的成本参数获得了唯一的均衡选择。特别是，如果成本参数也足够低，那么帕累托有效的纳什均衡满足迭代1??-优势。因此，在??-抽样最佳响应动态下，该均衡几乎是全局渐进稳定的。另一方面，如果成本参数足够大，帕累托次优的纳什均衡被证明是迭代1??-优势的，因此几乎是全局渐进稳定的。相对较小的样本大小在得出这些结论中起着重要作用。它使得抽样最佳响应动态与经典最佳响应动态有足够的差异。

我们可以将我们的一些结论与关于均衡选择的更广泛文献联系起来。例如，如果只有两种策略且??=2，那么抽样动态会选择风险优势均衡。我们结果的新颖之处在于，据我们所知，关于聚合博弈的均衡选择结果尚未得到。我们注意到了这些博弈对于经济应用的重要性。如果我们将抽样最佳响应视为一种合理的行为模型，那么我们的结果表明，在收益高且成本低的情况下，社会可能会收敛到帕累托最优均衡。例如，如果战略变量是教育选择，那么如果教育回报高且成本低，代理将会协调到高教育水平的均衡。

本文的其余部分如下。第2节介绍模型。第3节定义了我们模型中的??-抽样最佳响应动态。第4节建立了我们的均衡选择结果。第5节总结。

模型
我们考虑了一个由测度为零的代理组成的连续体。代理的总质量为1。每个代理都有一组有限的行动或策略???{0,1??,…,1}，其中??∈?。群体状态??是??2(??)的一个元素，??2(??)表示??上所有概率分布的集合。对于??∈??，????表示在群体状态??下玩策略??的代理比例。因此，∑??∈??????=1。如果群体中的所有代理都玩相同的策略??∈??，我们将该状态表示为????。

??-抽样最佳响应动态
我们希望在由(2)定义的有限策略聚合博弈??中，在??-抽样最佳响应动态下考虑唯一的均衡选择。特别是，我们感兴趣的是帕累托有效均衡??1被唯一选择的条件。在介绍??-抽样最佳响应动态之前，简要考虑一下这个博弈中的经典最佳响应动态会很有帮助。这也允许我们为使用??-抽样最佳响应动态提供动机。

为了建立我们的均衡选择结果，以下定义将是有用的。考虑在(2)中定义的??以及策略集??。我们首先定义??中的??-最佳响应集。对于任何非空集合?????和任何??∈??2(??)，让????=∑??∈??????。

定义4.1
如果对于所有??∈??2(??)且????≥??，都有??3??2(??)???成立（其中??3??2(??)如(5)所定义），那么集合?????是??的??-最佳响应集。因此，??-最佳响应集是一组策略?????，如果至少有??比例的代理采用这些策略，则所有...

结论
我们考虑了在具有战略互补性的特定类别的聚合博弈中，在??-抽样最佳响应动态下的均衡选择。战略互补性导致了多个纳什均衡，这些均衡可以进行帕累托排序。当代理对从群体中随机抽取的??-对手的策略经验分布进行最佳响应时，会产生??-抽样最佳响应动态。我们的目标是描述在??-抽样最佳响应动态下帕累托最优均衡被唯一选择的条件。

CRediT作者贡献声明
A. Arun：撰写——原始草稿，正式分析，概念化。
Ratul Lahkar：撰写——原始草稿，正式分析，概念化。
Souvik Roy：撰写——原始草稿，正式分析，概念化。