亚临界生灭过程中的一致性估计

《Stochastic Processes and their Applications》：Consistent estimation in subcritical birth-and-death processes

　　

**摘要**
我们研究具有多重出生事件的次亚临界连续时间出生-死亡过程的参数估计问题。我们证明，基于单条未灭绝轨迹连续观测所得的经典模型参数最大似然估计量，在通常意义下并不一致：在给定存活至时刻 t 的条件下，它们以 t → ∞ 的速度收敛至相应 Q 过程中的对应量，即条件于遥远未来存活的该过程。我们在该设置下建立了首组 C-一致估计量，其在给定存活至时刻 t 的条件下收敛至真实参数值，并建立了它们的渐近正态性。分析依赖于主干分解和耦合技术。

**引言**
次亚临界线性出生-死亡过程构成了描述衰退种群的自然连续时间马尔可夫模型类。这类过程捕捉了每次出生事件可产生多个后代但平均而言种群无法自我维持并最终灭绝的情形。该设置在许多应用情境中均会出现。在生态学中，次亚临界动力学例如可描述那些若无干预便无法持续存在的濒危物种种群 [1]。在流行病学中，次亚临界分支过程用于建模可能引发二级病例簇但无法维持长期传播的疫情暴发 [2]。在细胞生物学中，它们可代表产生短期后代爆发后即死亡的缺陷性或癌前细胞谱系 [3], [4]。在所有这些场景中，对潜在出生率和死亡率以及后代分布进行可靠的统计推断，对于预测灭绝风险、评估干预策略以及量化种群的预期持续时间是至关重要的。

尽管具有重要的现实意义，但基于单条长轨迹观测的次亚临界出生-死亡过程的统计推断在文献中鲜有关注。其难点在于这些过程以概率一灭绝，使得在此观测方案下的推断变得复杂。现有工作大多聚焦于超临界情形，其中种群有正概率无限期存活，且一致性是在条件于未灭绝的情况下研究的；参见 [5], [6], [7], [8] 关于经典参数推断，以及 [9] 关于分支扩散背景下非参数方法的讨论。另见 [10] 及其参考文献中对一般出生-死亡过程模拟和估计方法的概述。据我们所知，基于连续时间次亚临界出生-死亡过程的单条未灭绝轨迹的估计量一致性此前尚未被探讨。

在次亚临界情形中，过程条件于存活的渐近行为（t → ∞）与超临界情形显著不同。事实上，出生-死亡过程参数的经典最大似然估计量在该设置下并不一致：尽管在 t → ∞ 且条件于 Zt > 0 的情况下它们依概率收敛，但它们并不收敛至真实参数值。这是因为在次亚临界情形中，条件于存活改变了过程的长期行为。因此，观测应被解释为由所谓的 Q 过程 [11], [12] 产生，即条件于最终存活的该过程，而非原过程。

实际上，在次亚临界情形中，过程的参数 θ 的一个经典估计量 θ?t 仅具有 Q-一致性 [13]，即对于任意 ε > 0，
lim_{t→∞} P[|θ?t ? θ↑| > ε | Zt > 0] = 0，
其中 θ↑ 表示 θ 在相应 Q 过程中的对应量。相比之下，我们称估计量 θ?t 为 C-一致的，如果对于任意 ε > 0，
lim_{t→∞} P[|θ?t ? θ| > ε | Zt > 0] = 0，
即条件于存活至时刻 t 时，它收敛至真实参数值。这种一致性概念在实际中尤为重要，因为濒危种群通常正是因为它们尚存而被研究，在这种情况下准确估计模型参数至关重要。

本文将在离散时间设置中关于条件一致性的近期进展扩展至具有多重出生事件的连续时间次亚临界出生-死亡过程。Q-一致性和 C-一致性最初在具有几乎必然灭绝的 Galton-Watson 和种群规模依赖分支过程中被形式化 [13]，随后 C-一致估计量被开发用于一类参数种群规模依赖分支过程 [14]。我们的主要贡献有两方面：(i) 我们证明这些过程参数的经典最大似然估计量仅具有 Q-一致性，即意义如公式 (1) 所示；(ii) 我们在该设置下构造了首组 C-一致估计量，即意义如公式 (2) 所示，并建立了它们的渐近正态性。

出生率 λ 和死亡率 μ 估计的主要理论结果是在后代均值 m 已知的假设下开发的。虽然这涵盖了重要情形（如二分裂或后代机制被明确指定的设置），但 m 与率参数的联合估计要复杂得多，且取决于后代分布上施加的结构。特别地，当 m 未知时，所得似然方程通常不再导致显式估计量，且渐近分析需要对估计量的联合波动进行多元处理。该问题的可能方法将在文中后续讨论。

证明依赖于 [13] 中开发的耦合技术，该技术将条件于存活至时刻 t 的过程与 Q 过程联系起来，使我们能够将后者的渐近性质转移到前者。与 [13] 不同，本文考虑的连续时间设置导致基于连续轨迹而非离散世代数据的观测方案，基于事件计数和占用时间的似然估计量，以及依赖主干分解和似然渐近性质的证明技术。

本文的组织如下：第 2 节介绍模型及其谱性质，第 3 节描述条件化过程及其与 Q 过程的关系。第 4 节研究在后代均值 m 已知的假设下 λ 和 μ 的一致估计：我们证明经典最大似然估计量是 Q-一致的，识别其渐近极限，并提出新的 C-一致且渐近正态的估计量。第 5 节将这些结果扩展至后代概率的估计。第 6 节讨论 λ、μ 和 m 联合估计的扩展，第 7 节提出所提议估计量的经验分析。第 8 节汇总了证明和辅助引理，其中许多依赖于耦合技术和主干分解。附录 A 提供了过程的谱性质的进一步细节，附录 B 则关于条件于存活至时刻 t 的过程与 Q 过程之间的耦合。

**次亚临界出生-死亡过程**
设 ? := {1, 2, ?}，设 λ, μ > 0 分别表示出生率和死亡率。设 (pk)k≥2 是 {2, 3, ?} 上的概率分布，即对所有 k ≥ 2 有 pk ∈ [0, 1] 且 ∑_{k≥2} pk = 1。

我们考虑一个取值于 ? ∪ {0} 的连续时间出生-死亡过程 Z = (Zt)t≥0，定义如下。给定 Z0 = i ≥ 1，将发生两个事件之一：
- 以速率 iλ，过程以概率 pk 跳跃至 i ? 1 + k；
- 以速率 iμ，过程跳跃至 i ? 1。

第一个事件对应于出生：一个个体被 k 个新个体替代；

**条件化过程**
在本节中，我们研究过程 Z 在条件于存活至时刻 t ∈ (0, ∞] 下的性质，即条件于 {Zt > 0}。特别关注的是 t → ∞ 时 Z 在条件于 {Zt > 0} 下的渐近行为。正如我们将证明的，在该极限下，过程具有主干分解，其中一个区分个体（主干）无限期存活，并以加速速率按照规模偏倚分布产生后代，每个后代都启动一个独立的原始过程的拷贝。

**出生率和死亡率的一致估计**
我们感兴趣的是从对种群在时间区间 [0, t] 上的连续观测中估计出生率和死亡率 λ 和 μ。我们令：
- bt 表示 [0, t] 内出生事件的总数（注意这与后代总数不同），
- dt 表示 [0, t] 内死亡事件的总数，
- τt := ∫?? Zs ds 表示 [0, t] 内所有个体的总累计生存时间。

本节中我们假设后代均值 m 已知；我们讨论……

**后代分布的一致估计**
在本节中，我们讨论在出生事件时亲本分裂为 k 个新个体的概率 pk 的一致估计，对于给定的 k ≥ 2。

我们注意到，除非对后代分布假定参数形式或将 (pk)k≥2 的支撑限制为有限或截断，否则不可能一次性估计整个分布 (pk)k≥2。这里我们关注一次估计单个分量 pk，将其他概率视为……

**λ、μ 和 m 的一致联合估计**
在本节中，我们在 C-一致框架下讨论 λ、μ 和 m 联合估计的几种方法。我们的目标是概述这些方法背后的主要思想，而不进入其渐近性质的正式分析。相反，它们的渐近行为将在第 7 节中通过经验分析进行考察。

**数值示例**
通过简单示例，我们演示了基于单条轨迹的次亚临界出生-死亡过程参数经典最大似然估计量的显著偏差。这促使使用 C-一致估计量，以纠正该偏差。

**证明**
为证明我们的结果，对于每个 t ≥ 0，我们在附录 B 中定义的齐次过程 (Z(t)s)?≤s≤t 和 Q 过程 (Z↑s)?≤s≤t 的概率空间中进行 MEXIT 耦合，其概率为 (??(t,↑))t≥0，期望为 (???(t,↑))t≥0，为方便起见我们简化记为 ? 和 ??。回顾 ζt 是 (B.1) 中定义的未耦合时刻，C(i, q) 是命题 4(iii) 中定义的常数（在附录中证明）。

对于 t ≥ 0 和 q > 0，我们定义事件……

Sophie Hautphenne | Emma Horton