硬泊松陷阱中长随机串的存活

《Stochastic Processes and their Applications》：Survival of a long random string among hard Poisson traps

　　

摘要 在 [1] 中，我们给出了取值于 ???, ??≥1 的移动聚合物的退火生存概率的大时间渐近界。该聚合物是一个随机热方程的解，由 [0, T] × [0, J] 上的加性时空白噪声驱动，处于泊松陷阱环境中。对于固定的 J，退火生存概率以正比于 ????/(??+2) 的速率指数衰减。在这项工作中，我们考察了对于任何固定时间 T > 0，退火生存概率的大 J 渐近行为。我们证明了硬障碍物情况下退火生存概率的上界和下界。我们的界以正比于 ????/(??+2) 的速率指数衰减。指数也依赖于时间 T > 0。

引言 在 [1] 中，我们研究了随机弦在泊松陷阱环境中大时间 T 的退火生存概率。设 (Ω,?,{???}??≥0,?0) 为一个滤波概率空间，在其中 ˙??=˙??(??,??) 是一个 d 维随机向量，其分量是适应于 ??? 的独立同分布双参数白噪声，对于 t ≥ 0, x ∈ [0, J]。我们考虑一个随机弦 ??(??,??)∈???，它是以下随机热方程 (SHE) 的解，
???????(??,??)=12??2?????(??,??)+˙???(??,??)???(0,??)=??0?(??)
在圆周 x ∈ [0, J] 上，端点重合，且 t ∈ [0, T]。假设初始剖面 u0 是连续的。我们将使用粗体字母来表示矢量值量。更确切地说，设 (Ω1,??,?1) 为第二个概率空间，在其中定义了 ??? 上的一个强度为 ν > 0 的泊松点过程 η，由
???(??1)=∑??≥1???????(??1),??1∈Ω1,
给出，点为 {?????(??1)}??≥1????。
对于每个 ??∈??? 以及上述的 η，我们定义
V?(??,??)=∑??≥1H?(???????),
其中 H:???→[0,∞] 是一个非负可测函数，H 的支撑包含在以 0 为中心、半径为 0 < a ≤ 1 的闭球 B(0, a) 中。
在乘积空间 (Ω×Ω1,?×??,?0×?1) 连同滤波 {???×??}??≥0 上，记 ?? 为关于 ?:=?0×?1 的期望，记 ???? 为关于 ??? 的期望（对于 ??=0,1）。给定的退火生存概率为
????,??,????=???[exp?(?∫??0∫??0V?(???(??,??),??)????????)].
[1] 给出了硬障碍物和软障碍物情况下生存概率的上界和下界。这些界以正比于 ????/(??+2) 的速率指数衰减。更确切地说，如果我们在式中设 ??=1，则对于足够大的 T > 0，在硬障碍物和软障碍物情况下均有
??1?exp?(???2???????+2)≤????,1,????≤??3?exp?(???4???????+2).
对于某些常数 C1, C2, C3, C4 > 0。这与布朗运动情况中出现的指数相同。常数 C2, C4 也依赖于 ν, d 以及聚合物的长度 J，上界和下界具有 J 的不同幂次。参见 [1, Theorem 1.1 and Theorem 1.3]。
上述问题源于粒子在包含随机分布陷阱的区域中进行随机扩散运动的模型，被称为陷阱问题（参见 [2] 进行综述）。粒子运动通常是 ??? 中的布朗运动或 ??? 中的随机游走。陷阱以泊松方式放置，粒子遇到陷阱时被湮灭。此类模型中感兴趣的主要问题是粒者的“生存概率”。关于布朗运动在泊松障碍物中的问题综述，我们参考 [3] 及其中的参考文献；关于随机势中随机游走的问题综述，我们参考 [4] 及其中的参考文献；关于移动和静止陷阱中随机游走的综述，我们参考 [5]。关于随机环境中的定向聚合物综述，我们参考 [6]。主要工具之一是研究聚合物的极限自由能。
在本文中，我们研究当 J → ∞ 且 T > 0 固定时的硬障碍物情况下 (1.2) 的渐近行为。
关于常数的约定：在整个论文中，c, C 将表示正数，其值可能逐行变化。所有其他常数将表示为 c0, C0, c1, C1, …。它们都是正数，其精确值并不重要。如果需要，将指示常数对参数的依赖性，例如，C(d)。
我们将假设初始剖面 u0 是 [0, J] 上的布朗桥。即 ??0?(??)=???? 对于 x ∈ [0, J]，由下式给出，参见 [7, Page 22, (7.5)]，
????=?∫??0?????????????+????
其中 Bx 是 ??? 中的标准布朗运动。
我们现在准备陈述第一个定理。??=1 时的硬障碍物情况相当平凡，因为弦将简单地撞到其左侧或右侧的第一个障碍物然后死亡。因此，我们将只考虑 ??≥2 的情况。
定理 1.1 硬障碍物
考虑 (1.1) 的解，其中 ??≥2 且 ??≥1，并设 ν 和 a 如上所述。假设 ??≡∞ 在 B(0, a) 上且 ??≡0 在 B(0, a)c 上。则 (a) (下界) 存在独立于 T, J 的正常数 C0, C1, C2，使得当 ??1/(??+2???)≥??0???1/(4???/2) 对于某个 θ > 0 成立时，
????,??,????≥??1?exp?(???2?(??√??)????+2).
(b) (上界) 存在独立于 T, J 的正常数 C3, C4, C5，使得对于 ??>√???max?{1,√??3∣log????1/4?log???∣} 我们有
??H,??,????≤exp??? ? ?????4?(??√??)????+2???5?√????2?√log????log?√???? ? ??
从定理 1.1 可以很容易看出，对于固定的 0 < a < 1 和 ??=1，当 J 足够大时，我们有
??1?exp?(???2???????+2)≤????,??,??1≤??3?exp?(???4???????+2?exp?(???5??2?√log???)).
对于某些常数 C1, C2, C3, C4, C5 > 0。在硬障碍物情况下，我们立即看到弦的生存仅在弦避开障碍物时才有可能。因此，“直到时间 T 围绕弦半径为 a 的香肠”应该没有任何泊松点。确实，使用泊松随机变量的标准性质很容易检查 ??H,??,????=???exp?(????∣???????(??)∣)，
其中 ???????(??)=?0≤??≤??,0≤??≤??{???(??,??)+???(??,??)} 是围绕 u 的半径为 a 的香肠。因此，定理 1.1 也提供了围绕弦直到时间 T 的半径为 a 的香肠体积的指数矩的界。
我们的结果是对维纳香肠经典结果的扩展。在 [8] 中，作者推导出了围绕布朗运动 W 的半径为 a 的香肠 Wa(?) 体积的显式中偏差速率函数，
1??(???2)???log???(∣?????(??)∣≤?????)=????????(??).
因此，香肠变得异常小的最佳方式是去局部化，具有 O(1) 个随机孔洞，其密度在 ??1?? 尺度上变化。我们的主要结果，定理 1.1 确实确立了一个主导指数，但其他次多项式因子 (1.5) 意味着像上述那样的尖锐结果仍有待完成。此外，弦的 ?????? 类似物仍然是一个开放问题。
我们还注意到，使用 (1.6)，定理 1.1 提供了香肠体积负指数矩的界。如前所述，这已在 [9] 中针对经典维纳香肠进行了研究。在 [10] 中，作者研究了经典维纳香肠体积的正指数矩。那里的问题也很棘手，因为指数参数趋近于零。
在本文中，我们没有考虑软障碍物的情况。如在 [1, Theorem 1.3] 中，定理 1.1 中的下界在软障碍物情况下也成立。软障碍物的上界可以使用类似于 [1, Proposition 3.24] 的结果并利用定理 1.1 中为硬障碍物证明的上界来建立。由于论证相似，我们决定在本文中只关注硬障碍物。
我们写作
???(??,??)=????*??0?(??)+???(??,??),
其中对于 t ∈ [0, 1], Gt(x), x ∈ [0, J] 是 [0, J] 上具有周期边界条件的热核，由
???(??,??)=∑??∈????(??,??+?????).
给出。
其中 ???(??,??)=(2??????)?1/2?exp?(???22???) 且
???(??,??)=∫??0∫??0????????(?????)????(???????????)
可以视为如 [11] 中的白噪声积分。我们首先使用标准的缩放论证将证明简化为 ??=1 的情况。
???(??,??):=???14????(?????,√?????),
定义域为 ??∈[0,??√??] 且端点重合，且 t ∈ [0, 1]。初始剖面 v(0, x) 是 [0,??√??] 上的布朗桥。在 [12] 的引理 2.2 中证明了 v 满足
??????=12??2????+˙???,??∈[0,1]???(0,??)=??0?(??),??∈[0,??√??]
对于某个其他白噪声 ˙???。现在很容易检查
??H,??,????=???[exp?(?∫??0∫??0∑??≥1H?(???(??,??)?????)????????????)]=???[exp?(?∫????20∫10∑??≥1??3?H?(??12?(???(???,???)???????12))??????????????)]
且
??H,??,????=???H,???,???1,
其中
?H?(·)=??32?H?(??14·),?????=??????14,???=???????4,???=????14,???=1,and???=??√??.
因此，为了证明我们的结果，我们将考虑 ??=1 且任意 J, a, ν 的 (1.1)。然后我们将应用缩放关系 (1.12) 以获得 ?????,???,???1 的 ????,??,???? 的界。
证明定理 1.1 中生存概率下界的关键策略是获得陷阱 ξ 的最佳配置，使得弦不会被杀死。这种配置在原点周围半径为 α 的球体中有一个没有陷阱的区域，并且在这种势下的弦被限制在这个球体内直到时间 T。获得这种配置的概率量级为 exp?(????(??+??)??)，而限制的概率量级为 exp?(????????2) 对于适当大的 α。优化 α 得到下界。
上界的证明不同于随机游走或随机障碍物中布朗运动的经典设置。势论和谱方法不适用于随机偏微分方程。我们从基本原理出发，这是我们上界和下界不能完全匹配的主要原因。
使用 (1.6) 的解释，我们将获得围绕弦的香肠体积的下界。为此，我们确定一个停止时间序列，在这些时刻香肠不相交，从而各自独立地对总体积计数做出贡献。然后证明存在足够多的这些随机时间（概率很高）来完成证明。为此，第一步（引理 2.1）是注意到在区间 [0, J] 的端点附近之外，布朗桥与布朗运动可比。然后我们遵循 [1] 中的方法。
我们构造停止时间（参见 (2.4)），使得在这些时刻点的布朗桥在彼此之间至少分离，并且具有布朗桥在固定时间段内（依赖于 J）保持在半径 ??16 的球体内的额外性质。然后我们证明在区间 [0, J] 的端点之外存在足够多的此类时间点（参见引理 2.4）。然后我们证明以高概率，我们可以为这些时间点处的（不相交）香肠体积提供下界（参见引理 2.11）。
在 [13] 中，研究了加性噪声随机弦的命中和范围几何。我们主要结果的证明将涉及 [12] 中显示的弦的小球估计和空间正则性估计，以构造关键停止时间。
论文的其余部分组织如下。在第 2 节中，我们证明上述预备引理，在第 3 节中我们证明定理 1.1。

章节片段
预备知识
在本节中，我们证明定理 1.1 证明所需的预备结果。在第 2.1 节中，我们证明关于布朗桥的关键估计，在第 2.2 节中，我们证明围绕白噪声积分的香肠体积。证明中的一些具体步骤遵循与 [1] 相同的方法论，在此类情况下，如果它们是例行公事性质的，我们将引用其中的引理。

定理 1.1 的证明
定理 1.1(a) 的证明遵循通常的方法，将 u 限制在没有陷阱的区域，并与没有陷阱区域的成本进行比较。

定理 1.1(a) 的证明
设 α > 0。很容易看出
??H,??,??1≥??(?∩??)=?0?(?)??1?(??),
其中
?=?{ {?{ {?sup??∈[0,1]??∈[0,??]?|???(??,??)|≤???{ {?{ {?,??={thereareno????intheball???(??,??+??)}.
关于泊松过程的标准计算给出 ?1?(??)=exp?(?????????(??+??)??) 其中 cd 是 ??? 中单位球的体积。我们接下来限制 u 被限制在半径为 α 的球体内的概率。很容易验证 Siva Athreya|Mathew Joseph|Carl Mueller