矩形区域中二维波动方程的一种新半离散格式的一致指数稳定性

《Systems & Control Letters》：Uniform exponential stability for a new semi-discrete scheme of the 2-D wave equation in a rectangle

　　

摘要 在本文中，我们提出了一种新颖的半离散数值格式，该方法使用降阶有限差分法在输出反馈下一致逼近二维波动方程的指数行为。与一维情形不同，传统的时域能量乘子应用未能建立二维波动方程半离散格式的一致指数稳定性，这主要是由于存在无法控制的额外项。然而，频域乘子法提供了一种克服这一障碍的可行替代方案。通过将我们的方法与连续类比对齐，我们获得了半离散系统的一致指数稳定性。

引言 离散化是控制由偏微分方程 (PDEs) 描述系统的关键过程。在大多数情形下，人们希望将 PDE 离散化为由常微分方程 (ODEs) 表示的有限维系统序列，这对大多数工程师来说更为熟悉。这种离散化主要关注空间变量，同时保持时间变量连续，并将无限维模型转换为有限维系统。这种过程被称为半离散化。自然，在半离散化过程中，保持原始 PDE 的基本控制属性是一个主要关注点。在这些控制属性中，一致指数稳定性在保持半离散化过程中的系统稳定性方面具有重要意义。

自 1990 年代以来，无限维系统的一致逼近已得到广泛研究。文献 [1] 首先指出，在使用经典有限差分法或有限元法时，指数稳定的 PDE 系统可能无法在其半离散格式中关于网格大小参数保持一致指数稳定性。自 2000 年以来，由 E. Zuazua 领导的研究小组系统地研究了这一问题。在 [2] 中，指数稳定的 PDE 未能保持一致指数稳定性主要归因于数值格式中出现的针对高频的数值伪振荡。这个问题不仅适用于一致指数稳定性，也适用于一致可观测性。因此，通过在 PDE 的半离散化中消除高频伪解来保持一致指数稳定性和可观测性已成为一个重要的研究主题。

为解决这些问题，建议包括使用混合有限元方法或基于多项式的伽辽金方法来保持一致指数稳定性，如 [1], [3] 所示。此外，还有许多其他旨在阻尼高频的方法，如 Tychonoff 正则化 [4]、双网格算法 [5] 和滤波技术 [2], [6] 等。

在各种现有的数值差分格式中，有限差分法由于其理论简洁性和通用实现性，脱颖而出成为工程师的首选。文献 [7] 中引入的数值粘性方法已被证明在保持有限差分本质的同时阻尼高频方面有效。该方法在整个空间域上引入一个消失的数值项。得益于粘性项，半离散系统保持了其一致逼近性质，同时也保持了一致指数稳定性 [7]、一致边界可控性 [8] 和控制收敛性 [8]。然而，需要注意的是，离散项是人为添加的，且粘性项随特定 PDE 而变化。此外，数值粘性方法在实现一致逼近方面的成功在很大程度上依赖于离散格式特征值和特征向量的计算。这通常限制了数值粘性方法主要应用于具有特定边界条件的某些 PDE。

近年来，文献 [9] 提出了一种替代方法，用于一种基于降阶有限差分法的新颖且更自然的离散格式。该方法与现有技术相比显示出显著差异。该方法已成功应用于单个波动方程 [10]、单个梁方程 [11] 和单个薛定谔方程 [12]。该方法的优点是：(a) 它是一种自然的半离散格式，无需粘性项即可实现一致收敛，从而在保持有限差分本质的同时消除了高频伪振荡的影响。(b) 它可以处理各种类型的边界条件，而无需依赖谱分析。复杂的边界条件可能对半离散系统的谱计算构成挑战。然而，通过这种方法获得的格式的一致指数稳定性证明不需要谱分析。此外，在边界上对法向导数进行不良逼近通常会降低数值精度，而降阶法避免了边界条件中的偏导数。因此，除了狄利克雷边界条件外，该方法还可以处理其他类型，如诺伊曼条件 [9], [12]、高阶导数条件 [11] 和非线性边界控制 [13]。(c) 它显著简化了数学证明，使其与对应的 PDE 紧密对齐。

一般而言，降阶方法需要寻找适当的李雅普诺夫函数来建立连续系统的指数稳定性，这可能是一项具有挑战性的任务，特别是对于 PDE 及其离散对应物。为应对这种复杂性，自 1980 年代以来，为 PDE 设计了一种频域能量乘子方法。该方法严重依赖于著名的黄 -Prüss 准则，用于确定希尔伯特空间中一族 $C_0$-半群的指数稳定性，如 [14] 所述。最初，这种方法在连续系统内应用于具有狄利克雷边界条件的热弹性系统 [15]。随后，它被用于保持各种系统数值逼近的指数稳定性，例如包含非局部延迟的 Timoshenko 系统 [16]、具有阻尼和时间延迟积分条件的波动系统 [17] 以及其他几种系统。此外，该方法已证明其在状态空间 $L^2(0,1)$ 内的半离散薛定谔系统领域是有效的 [18]，并已成功应用于两个混合控制系统 [19]。

另一方面，尽管存在大量针对 1-D 波动方程的成熟离散化方法，如上例所示，但文献很少关注逼近高维 PDE 的一致指数稳定性。如 [6] 中描述的滤波技术，实现了具有狄利克雷边界条件的 2-D 波动方程的一致可观测性。如 [20] 中详述的数值粘性方法，被用于审查 2-D 局部阻尼波动系统的半离散格式并证实一致指数稳定性。在 [21] 中，针对狄利克雷边界控制下的 2-D 波动方程提出了一族保持一致可控性的离散格式。对于诺伊曼边界控制的情况，数值格式和相应的分析可能需要重大修改。本文提出的离散化方法能够处理各种类型的边界条件。如 [1] 所示，传统有限差分或有限元方法无法为波动方程保持一致指数稳定性。然而，基于多项式的混合有限元和伽辽金方法已成为可行的替代品。值得一提的是，尽管混合有限元方法具有令人鼓舞的数值结果，但在处理 2-D 波动系统时仍然存在相当大的数学分析困难。在本研究中，我们引入了一种创新的半离散数值格式，采用降阶有限差分法在输出反馈下一致逼近二维波动方程的指数行为。该系统由以下描述：
$$
\begin{cases}
u''(x,y,t) - \Delta u(x,y,t) = 0 & \text{in } \Omega \times (0, \infty), \\
u(x,y,t) = 0 & \text{on } \Gamma_0 \times (0, \infty), \\
\frac{\partial u}{\partial \nu}(x,y,t) = U(x,y,t) & \text{on } \Gamma_1 \times (0, \infty), \\
u(x,y,0) = u_0(x,y), \quad u_t(x,y,0) = u_1(x,y) & \text{in } \Omega, \\
z(x,y,t) = u'(x,y,t), & \text{on } \Gamma_1 \times (0, \infty),
\end{cases}
$$
其中 $(x, y) \in \Omega = (0, a) \times (0, b) \subset \mathbb{R}^2$, $a, b > 0$。定义 $\Gamma_0$ 为边界 $\partial\Omega$ 的一个子集，具体为 $\Gamma_0 = \{(0, y): y \in [0, b]\} \cup \{(x, 0): x \in [0, a]\}$。$\Gamma_0$ 在 $\partial\Omega$ 中的补集记为 $\Gamma_1$，可进一步分解为 $\Gamma_1 = \Gamma_{11} \cup \Gamma_{12}$，如下所示：$\Gamma_{11} = \{(a, y): y \in [0, b]\}$, $\Gamma_{12} = \{(x, b): x \in [0, a]\}$。

符号 "′" 表示对时间变量 $t$ 的偏导数。符号 $\Delta$ 代表拉普拉斯算子，定义为 $\Delta u(x, y, t) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$。变量 $\nu$（正确表示为 $\nu(x, y)$）实际上是一个空间变化向量，表示区域 $\Omega$ 的向外单位法向量。符号 $\frac{\partial \cdot}{\partial \nu}$ 表示向量 $\nu$ 方向的方向导数。对 $(u_0, u_1)$ 构成初始值，$U(\cdot, \cdot, \cdot)$ 作为边界控制，$z(\cdot, \cdot, \cdot)$ 代表测量输出。我们在能量状态空间 $\mathcal{H} = H^1_L(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 内考虑系统 (1.1)，其中 $H^1_L(\Omega) = \{f \in H^1(\Omega): f(x) = 0, x \in \Gamma_0\}$。

系统 (1.1) 的能量由以下表达式量化：
$$
E(t) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} (|u'(x, y, t)|^2 + |\nabla u(x, y, t)|^2) dx dy,
$$
其中 $\nabla$ 表示梯度算子。该能量的变化率，记为 $\dot{E}(t)$，由
$$
\dot{E}(t) = \int_{\Gamma_1} U(x, y, t) \overline{z(x, y, t)} d\Gamma_1
$$
给出。
稳定化输出反馈控制直观地设计为
$$
U(x, y, t) =
\begin{cases}
-k_1 z(x, y, t) & \text{on } \Gamma_{11} \times (0, \infty), \\
-k_2 z(x, y, t) & \text{on } \Gamma_{12} \times (0, \infty),
\end{cases}
$$
其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是正常数。由 (1.1) 描述并受 (1.2) 条件约束的系统可重新表述为以下闭环系统：
$$
\begin{cases}
u''(x,y,t) - \Delta u(x,y,t) = 0 & \text{in } \Omega \times (0, \infty), \\
u(x,y,t) = 0 & \text{on } \Gamma_0 \times (0, \infty), \\
\frac{\partial u}{\partial \nu}(x,y,t) = -k_1 u'(x,y,t) & \text{on } \Gamma_{11} \times (0, \infty), \\
\frac{\partial u}{\partial \nu}(x,y,t) = -k_2 u'(x,y,t) & \text{on } \Gamma_{12} \times (0, \infty), \\
u(x,y,0) = u_0(x,y), \quad u'(x,y,0) = u_1(x,y) & \text{in } \Omega.
\end{cases}
$$
系统 (1.3) 的能量满足
$$
\dot{E}(t) = -k_1 \int_0^b |u'(a, y, t)|^2 dy - k_2 \int_0^a |u'(x, b, t)|^2 dx \le 0.
$$
这表明系统 (1.3) 的能量随时间减少。系统 (1.3) 在空间 $\mathcal{H}$ 中的适定性已通过稍微调整 [22, Section 2] 中的证明而建立。特定几何条件下多维波动方程的指数稳定性已在 [22], [23] 中得到彻底研究。更具体地说，系统 (1.3) 在满足这些几何条件的定义方形域内（如 [22] 中定理 1.1 的三个假设所述），被证明在 $\mathcal{H}$ 中具有指数稳定性。这意味着
$$
E(t) \le M e^{-\omega t} E(0), \forall t \ge 0,
$$
其中 $M$ 和 $\omega$ 是与 $t$ 和初始值无关的正常数。

本研究提出了一种基于降阶有限差分法的新颖半离散格式，旨在实现诺伊曼边界控制下二维波动系统 (1.3) 的一致指数逼近。本文的主要贡献总结如下：(a) 据我们所知，本研究首次在高维 PDE 的半离散化中通过降阶有限差分法研究一致指数稳定性；(b) 与其他数值离散化策略（如数值粘性方法 [20] 和滤波技术 [6]）相比，降阶有限差分法提供了更简单且计算效率更高的框架；(c) 为了克服传统时域能量乘子方法的局限性，我们首次采用频域能量乘子方法来解决高维 PDE 的一致指数稳定性问题；(d) 由于离散 2-D 系统的一致指数稳定性证明不能完全从连续情况适配而来，这类问题本质上比其 1-D 对应物更具挑战性。

本文其余部分组织如下。第 2 节利用黄 -Prüss 定理提供了原始连续系统指数稳定性的全面证明。此外，本节使用降阶方法构建了一个半离散有限差分格式。第 3 节采用频域能量乘子技术建立了半离散系统的一致指数稳定性，与连续情况平行。最后，第 5 节提供结论性评论。

章节片段
预备知识 在 2.1 节中，我们建立了连续系统 (1.3) 的指数稳定性。随后，在 2.2 节中，我们为系统 (1.3) 构建了一个半离散格式。如前几节所述，尽管闭环系统 (1.3) 的指数稳定性已得到广泛认可，但为连续系统提供一个全面的证明仍然至关重要，以便与其半离散对应物进行直接比较。直接应用传统的时域

半离散格式的一致指数稳定性 在本节中，我们建立了由 (2.34) 给出的半离散格式的一致指数稳定性。
首先，对应于连续对应物中的引理 2.1，离散版本在下文引理 3.1 中提出。
引理 3.1 对于在网格点 $\{(x_k, y_l)\}_{k,l}$ 处定义的任何网格函数 $\{U_{k,l}\}_{k,l}$, $\{V_{k,l}\}_{k,l}$ 和 $\{R_{k,l}\}_{k,l}$，以下四个表示分部求和的公式成立：
$$
h_1 h_2 \sum_{l=0}^{N_2} \sum_{k=0}^{N_1} U_{k+\frac{1}{2}, l+\frac{1}{2}} \delta_x V_{k+\frac{1}{2}, l+\frac{1}{2}} + h_1 h_2 \sum_{l=0}^{N_2} \sum_{k=0}^{N_1} \delta_x U_{k+\frac{1}{2}, l+\frac{1}{2}} V_{k+\frac{1}{2}, l+\frac{1}{2}} = h_2 \sum_{l=0}^{N_2} (U_{N_1+1, l+\frac{1}{2}} V_{N_1+1, l+\frac{1}{2}} - \dots)
$$

数值模拟 在本节中，我们进行了一项数值实验，以证明所提出的降阶有限差分格式 (2.34) 保持一致指数稳定性。该格式重写为向量形式 (3.11)。对于半离散系统 (3.11) 的时间离散化，我们采用具有参数 $\beta = 1/4$ 和 $\gamma = 1/2$ 的纽马克格式 [27]，它是无条件稳定的。在数值实验中，我们设置 $a = 1/2$, $b = 1$，并选择时间步长 $\Delta t = 0.01$。初始状态为

结论 在本文中，我们提出了一种利用降阶有限差分法的新颖空间半离散数值格式，以在输出反馈下以一致指数精度逼近二维波动方程。为了分析我们的半离散系统的一致指数稳定性，我们采用了频域能量乘子方法。
虽然时域能量乘子方法对于涉及 1-D 的连续和离散系统都很直观且广泛使用，但...

CRediT 作者贡献声明 郭宝珠：写作 – 审查与编辑，监督，方法论，经费获取，形式分析。

王一：写作 – 初稿，验证，调查，形式分析。利益冲突声明。作者声明，他们没有已知的可能影响本论文所报告工作的竞争经济利益或个人关系。郭宝柱 | 王一