基于深度能量方法与裂缝信息的压阻材料相场断裂多物理场自感知框架

《Theoretical and Applied Fracture Mechanics》：A fracture-informed multiphysics self-sensing framework for phase-field fracture in piezoresistive materials using the deep energy method

　　

摘要
压阻材料具有固有的自感知能力，因为变形、损伤和开裂会改变电极间测得的电阻。一个核心的建模挑战在于，这种电阻是一个非局部可观测量，它不仅受损伤程度的控制，还受裂纹拓扑、剩余导电韧带、电极放置以及电流场重新分布的控制。本文利用深度能量方法（DEM），为压阻材料中的相场断裂开发了一种断裂信息驱动的多物理场自感知框架。首先通过变分能量最小化解决力学 - 断裂问题，结合小应变弹性、谱拉伸/压缩分解、历史场不可逆性以及四阶 AT2 型正则化。随后，将收敛的应变和有界损伤场传递到被动稳态传导读出中，其导电率定律包含线性化压阻贡献和裂纹诱导的退化因子。因此，电场是一个诊断变量，不进入断裂驱动能量。数值证据结合了分析传导检查、参考对齐的单边缺口断裂基准、带孔拉伸板演示器，以及独立的固定场有限体积读出与敏感性研究。有限体积读出提供了对从 DEM 电场获得的电流路径转变的互补性固定场检查，而敏感性分析表明，后期幅值取决于残余导电率、退化参数和电极取向。贡献分解进一步显示，对于选定的演示器，显著的后期电阻信号主要由裂纹诱导的导电率损失主导，而可逆压阻漂移相比之下较小。所得框架提供了一个经过验证且物理上可解释的前向模型，用于分析被动自感知断裂模拟中的裂纹 - 电阻相互作用。

引言
压阻材料，包括填充碳纳米管、石墨烯、炭黑或混合导电相的导电聚合物复合材料，可以将承载能力与固有的感知能力结合起来。一旦形成渗流通导网络，测得的电阻就会对弹性应变、导电网络的微观结构重排、局部损伤以及裂纹诱导的导电路径中断变得敏感。这使得此类材料在结构健康监测、自诊断组件以及应从电学观测量推断机械退化的数字孪生工作流中变得具有吸引力 [1], [2], [3], [4], [5], [6]。

然而，电阻信号的物理解释并不直接。在断裂局部化之前，电阻变化通常受可逆或部分可逆的压阻机制控制：轴向应变、横向收缩、隧穿距离变化、填料重取向以及导电网络内的接触演变。裂纹起始后，主导机制可能发生定性变化。裂纹不仅减少了损伤区域的局部导电率；它还可以迫使整个电流场围绕新形成的绝缘或弱导电区域重新分布。因此，全局电阻不被期望是最大损伤值、损伤面积或裂纹长度的简单标量图像。它还受到电极放置、剩余导电韧带的拓扑结构以及裂纹与电流路径相对取向的控制 [7], [8], [9], [10], [11]。因此，有用的自感知断裂计算模型必须以明确分离它们不同物理角色的方式描述裂纹形成和电场重新分布。

几种建模路线解决了压阻损伤感知的个别方面，但当必须一起解释裂纹演化和电阻读出时，每种都留下了不同的局限性。经验应变系数和电阻 - 应变描述对于可逆感知范围是高效的，但它们不能解决裂纹起始、裂纹路径演化或围绕损伤韧带的电流重路由 [1], [2], [3], [4], [6]。网络、电阻格子和渗流启发式描述非常适合导电路径演化，但其参数通常是微观结构依赖的，且难以从结构尺度测量中唯一确定 [7], [8], [9], [10]。连续有限元损伤、内聚力区、扩展有限元和相场方法提供了强大的机械断裂工具；其中，相场断裂特别具有吸引力，因为裂纹起始和传播可以在没有显式裂纹跟踪或重网格的情况下表示 [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]。完全耦合的电机械断裂公式适用于电场参与材料驱动力的情况 [11], [20]。然而，在基于电阻的被动感知中，电压场主要是一个探测场，因此电读出必须在不引入人工电致裂纹驱动的情况下制定。

本框架定位于此界面。它不寻求取代详细的渗流物理、实验校准的材料定律或成熟的有限元断裂求解器。其目的是提供一个透明的变分工作流，其中裂纹场是机械生成的，容许的有界损伤变量在导电率定律中被一致使用，且电极电阻被评估为被动可观测量。下面引入的有限体积交叉检查和敏感性研究通过评估固定 DEM 断裂场上的电响应，并使电正则化和电极布局的作用明确化，从而加强了这一解释。

相场断裂为这种模型提供了自然的力学基础，因为它用一个连续的断裂变量替换显式跟踪的尖锐裂纹，并从变分能量陈述中推导裂纹演化 [12], [13], [14], [15]。扩散表示避免了重网格和裂纹跟踪规则，并且可以在统一框架内表示起始、传播以及与应力集中器的相互作用。在脆性和准脆性断裂应用中，相场方法也已扩展到非均匀介质、复合材料 和耦合场问题 [21], [22], [23], [24], [25]。对于当前目的，最重要的特征是，该方法产生一个空间分辨的损伤场，可以一致地传递到导电率定律中。这使得不仅可以问裂纹在哪里形成，还可以问裂纹如何改变可测量的电学量。

同时，这里考虑的电问题不应与完全耦合的电机械断裂理论混淆。在许多基于电阻的被动感知配置中，施加的电压很小，并用于探测材料状态。因此，电场是一个诊断读出场，而不是断裂驱动的来源。将电传导泛函直接添加到裂纹驱动的机械能量中会引入人工能量耦合，除非底层材料物理确实需要它。本工作反而采用单向解释：力学和断裂场决定应变和损伤状态，且收敛状态随后信息导电率和电阻响应。这就是本文中断裂信息驱动的多物理场自感知框架一词的含义。该框架是多物理场的，因为力学、断裂和传导在共同的计算工作流中表示；它是断裂信息驱动的，因为电读出由计算出的裂纹和应变场驱动；它是单向的，因为电场不进入断裂驱动能量。

深度能量方法 (DEM) 及相关物理信息神经网络方法对于这个设置具有吸引力，因为控制力学和断裂方程可以通过使用神经试探场最小化能量泛函来解决 [26], [27], [28]。空间导数通过自动微分获得，且基本边界条件可以嵌入到容允许神经试探空间中。这些属性对于高阶相场正则化特别有用，其中泛函中出现高于第一阶的导数 [29], [30]。在本手稿中，采用四阶 AT2 型正则化，因为它与参考断裂基准兼容，因为其光滑损伤场方便后续导电率退化。然而，本文不声称四阶正则化对于电阻预测普遍优于标准的二阶 AT2 模型。那种比较需要一项独立的研究，具有相同的几何、长度尺度、积分分辨率、优化设置和电后处理。

因此，这里解决的方法论差距比广泛短语“多物理场断裂”或“压阻自感知”可能暗示的更具体。现有成分可单独获得：相场断裂、DEM 最小化、唯象压阻定律和基于电阻的损伤指标。仍然需要的是一个明确界定的公式，说明这些成分如何连接，使用什么类型的耦合，电泛函代表什么，相场变量在导电率定律中的容许性如何处理，以及由此产生的裂纹 - 电阻解释相对于电读出选择有多鲁棒。本手稿围绕这个差距撰写。它不提出新的本构断裂理论、新的渗流模型或通用验证数据库。其贡献是在可复现的被动裂纹 - 电阻解释前向模型中仔细整合和交叉检查现有成分。

主要贡献因此如下：
1. 一种断裂信息驱动的多物理场 DEM 公式，其中力学和相场断裂首先求解，电传导随后作为被动自感知读出评估。
2. 一种导电率模型，将可逆压阻应变贡献与不可逆裂纹诱导导电率退化分离，且容许的有界相场变量在电定律中一致使用。
3. 一种澄清的 DEM 实现陈述，区分变分公式、基准中使用的网络布局以及严格单向耦合所需的固定场解释。
4. 一个验证和交叉检查层次结构，由分析传导测试、参考对齐断裂基准以及在固定 DEM 断裂场上的互补有限体积电读出组成。
5. 敏感性研究，分离仅损伤和仅压阻贡献，并量化残余导电率、电退化参数和电极取向对测得电阻的影响。
6. 一种机制导向的解释，显示全局电阻是非局部电流路径可观测量：可见损伤可能直到电极之间的主导导电韧带被破坏前影响很小。

本文组织如下。第 2 节介绍变分力学 - 断裂模型和断裂信息驱动的电读出。第 3 节展示 DEM 离散化、网络选择和算法工作流。第 4 节提供电读出和断裂求解器的组件验证。第 5 节展示带电极的带孔拉伸板示例。第 6 节讨论范围、局限性和解释，第 7 节总结结论。

章节片段
变分断裂模型与断裂信息驱动的电读出
设 Ω?R2 表示具有边界 ?Ω 的平面体的参考构型。未知场为位移 u:Ω→R2、相场断裂变量 ?:Ω→[0,1] 和电势 V:Ω→R。边界分解为机械 Dirichlet 和 Neumann 部分，Γu 和 Γt，以及电 Dirichlet 和通量部分，ΓV 和 Γq。模型在以下精确意义上是顺序的：力学 - 断裂问题确定 u 和 ?，而电问题仅计算 V

深度能量方法离散化与实现
在深度能量方法中，未知场由神经试探函数表示，变分泛函直接最小化。基本边界条件嵌入到试探空间中。对于位移和电压，这写为 u(x)=uD(x)+Bu(x)u?θ(x),V(x)=VD(x)+BV(x)V?ζ(x)，其中 uD 和 VD 满足规定的 Dirichlet 数据，而 Bu 和 BV 在相应的 Dirichlet 边界上消失。相场由神经输出表示，且容许地...

基础模块验证
验证有意组织为组件验证。E1 和 E2 是分析传导检查；它们不试图验证完全耦合的电机械断裂问题。M2 将四阶 DEM 断裂实现与参考对齐 SENT 基准进行验证。耦合解释随后保留给第 5 节。这种更窄的框架很重要：本文不声称求解器优于有限元，也不展示广泛...

数值研究：带应力集中器和电极的拉伸板
本节展示断裂信息自感知框架如何将演化的裂纹模式转换为电阻信号。机械生成的裂纹历史是一个有控制的二维演示器。电评估随后结合 DEM 读出、独立的有限体积读出、电极布局比较以及在相同固定断裂场上评估的参数敏感性检查。科学问题是是否...

讨论
公式有意使用克制术语。所提出方法是一种断裂信息驱动的多物理场自感知框架，但它不是完全耦合的电机械断裂理论。其多物理场特征来自于在一个计算工作流中处理机械变形、相场断裂和电传导。其断裂信息驱动特征来自于计算出的应变和裂纹场到导电率定律和... 的单向传递

结论
已利用深度能量方法为压阻材料中的相场断裂制定了一种断裂信息驱动的多物理场自感知框架。力学 - 断裂部分结合小应变弹性、谱拉伸/压缩分解、历史场不可逆性和四阶 AT2 型正则化。

电气部分随后作为被动传导问题求解，其电导率取决于应变和有界损伤变量 ?c。主要概念性
CRediT 作者贡献声明
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Betim Bahtiri：写作 – 审阅与编辑，验证，方法论，调查，形式分析，概念化。
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利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。
Aamir Dean|Betim Bahtiri