具有离散Riemann–Liouville分数阶导数的新型灰色系统模型及其应用

《Science Progress》：A novel grey system model with discrete Riemann–Liouville fractional derivative and its applications

　　

近年来，分数阶灰色系统模型在时间序列预测中展现出显著优势，但其核心的分数阶累加算子和差分算子往往依赖于复杂计算，这制约了其理论发展和实际应用。为解决这一问题，研究人员采用经典Riemann–Liouville分数阶积分的标准乘积积分矩形规则离散化方法，推导出分数阶累加算子，并进一步构建了Riemann–Liouville分数阶灰色系统模型（RL-FGM）。通过直接引入分数阶积分理论框架，该模型简化了计算过程并增强了理论严谨性。数值实验表明，所提出的模型计算简单且有效。在多个典型数据集上的预测性能比较表明，RL-FGM在预测精度上显著优于传统整数阶灰色模型及部分现有分数阶灰色模型，尤其在非平稳序列的长记忆性方面展现出更强的适应性和稳定性。本研究为分数阶灰色建模提供了一种理论上严谨且易于实现的新途径，并拓展了其在复杂时间序列预测中的潜在应用。

**研究背景与现存问题**

时间序列预测是能源政策、环境管理、经济规划等众多领域决策的核心基础，精确预测能使政府和行业预判趋势、规避风险并制定有效策略。然而，现实系统往往处于小样本、贫信息条件下，数据稀缺、不完整且具有高度不确定性。传统统计方法如ARIMA，以及机器学习模型如支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）和长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）虽功能强大，但通常需要大量高质量数据才能获得可靠性能，在历史观测有限时容易过拟合或无法捕捉潜在动态。灰色系统理论由邓聚龙于1982年提出，为上述问题提供了有效替代方案。灰色预测模型的核心在于累加生成算子（Accumulating Generation Operator，AGO），它可将原始含噪序列转化为更平滑的近似指数序列，降低随机性并揭示系统内在演化规律。然而，传统整数阶灰色模型如GM(1,1)在刻画复杂、非线性或长记忆特征序列时存在固有局限。为突破这一瓶颈，研究人员将分数阶微积分引入灰色建模框架，但现有分数阶灰色模型往往依赖复杂计算或算子定义，阻碍了其理论发展与实际应用。为此，本文基于经典Riemann-Liouville分数阶积分提出了一种理论严谨且易于实现的新型分数阶灰色系统模型RL-FGM。

**研究内容与结论**

研究人员直接基于Riemann-Liouville分数阶积分的数学定义，采用经典乘积积分矩形规则推导出分数阶累加算子，并构建了Riemann-Liouville分数阶灰色系统模型（RL-FGM）。该模型通过直接引入分数阶积分理论框架简化了计算过程并增强了理论严谨性。数值实验表明该模型计算简单有效。在多个典型数据集上与GM、DGM、CFGM、FHGM及SVR五种模型的对比表明，RL-FGM在预测精度上显著优于传统整数阶及部分现有分数阶灰色模型。该研究为分数阶灰色建模提供了理论严谨且易于实现的新途径，论文发表在《Science Progress》。

**主要关键技术方法**

（1）采用经典乘积积分矩形规则对Riemann-Liouville分数阶积分进行离散化，推导出分数阶累加算子；（2）通过最小二乘法估计RL-FGM离散灰色方程参数并推导时间响应函数；（3）引入粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法，以平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）为适应度函数自动搜索最优分数阶次；（4）基于线性最小二乘扰动理论开展摄动分析与分布鲁棒性检验（正态、对数正态、伽马与Weibull扰动）。样本数据来源于中国国家统计局公布的河北、山西、安徽、山东、湖北五省2006-2024年粮食产量，其中2006-2020年为拟合集，2021-2024年为测试集。

**研究结果**

**Riemann-Liouville分数阶积分的离散化**

在均匀网格上采用乘积积分矩形规则，对各子区间内的未知函数f(s)以左端点值近似，而分数阶核(π_n?s)^α?1则被保留并精确积分，从而获得显式离散记忆权重Δπ^α/Γ(α+1)[(n?k)^α?(n?k?1)^α]。该算子并非临时设定的分数阶加权方案，而是经典Riemann-Liouville分数阶积分在网格上精确积分得到的一致离散化结果；当α=1时退化为经典一阶累加生成算子。

**RL-FGM模型的构建、参数估计与阶次优化**

定义了离散Riemann-Liouville累加矩阵T_m(α)，其下三角结构及正对角元保证了矩阵非奇异，还原算子即为累加矩阵的逆矩阵，避免了引入额外还原公式。基于背景值z_k=λu_k+1+(1?λ)u_k建立离散灰色方程，通过最小二乘法估计参数。采用PSO算法以MAPE最小化为目标在连续空间中高效搜索最优分数阶次α，较暴力搜索方法显著提升了效率和精度。

**摄动分析与稳定性**

理论分析表明，当0<α<1时，Riemann-Liouville累加权重w_j(α)=[j^α?(j?1)^α]/Γ(α+1)为正且递减，扰动传播服从幂律衰减，其背景扰动范数增长率远低于经典一阶累加的O(n^1/2)，因而模型在数据扰动下具有更强的鲁棒性。在四种乘性扰动分布（正态、对数正态、伽马、Weibull）下，模型的中位误差对分数阶次变化不敏感，中间分数阶次产生紧凑且稳定的误差分布，验证了模型在不同随机环境下的稳健预测能力。

**实证验证与应用**

在河北、山西、安徽、山东、湖北五省粮食产量数据上与GM、DGM、CFGM、FHGM、SVR五种模型的对比实验显示，RL-FGM在所有五个测试数据集上均取得最小预测误差。例如河北测试集上RL-FGM的MAPE为0.7753%，而CFGM、FHGM、SVR、GM、DGM分别为1.2078%、1.6008%、5.7015%、8.0093%、7.9853%；训练集上同样表现优异，如湖北数据集中新模型MAPE为2.4161%，低于CFGM的2.8645%和GM的3.5641%。箱线图分析