不对称输出约束下随机非线性系统的自适应预定义时间跟踪控制

《Measurement and Control》：Adaptive predefined-time tracking control for stochastic nonlinear systems subject to asymmetric output constraints

　　

本文研究了一类严格反馈随机非线性系统的预定义时间跟踪控制问题，其中输出变量被要求约束在非对称区间内，且非线性特性未知。首先，提出了一个改进的随机非线性系统实际预定义时间稳定性（practical predefined-time stability, PPTS）李雅普诺夫判据。其次，构造了一个非对称积分障碍李雅普诺夫函数（integral barrier Lyapunov function, IBLF）来处理输出约束问题。在此基础上，基于反步（backstepping）框架开发了一种自适应预定义时间自适应模糊跟踪控制算法，其中利用模糊逻辑系统（fuzzy logic systems, FLSs）逼近未知系统动态。通过严谨的数学分析和数值仿真可以得出结论：所提出的控制方案不仅能以概率方式在预定时间内驱动所有系统变量收敛到稳态，而且能使输出跟踪期望信号而不违反输出约束。

随机非线性系统在工程实际中普遍存在，随机扰动往往导致系统稳定性退化；同时，受物理限制和安全考虑，系统输出常需约束在给定区间内。已有基于有限时间或固定时间收敛的控制方法存在收敛时间上界依赖初始状态或无法预先设定的不足。预定义时间控制能够显式建立设计参数与收敛时间之间的数学关系，在确定性系统中已有较多应用，但在随机非线性系统中研究较少，尤其是同时存在非对称输出约束和未知非线性时，仍属开放问题。针对这一需求，研究人员提出了一种面向具有非对称输出约束的严格反馈随机非线性系统的自适应模糊预定义时间跟踪控制方案。该研究首先提出随机非线性系统的实际预定义时间稳定性（PPTS）李雅普诺夫判据；随后构造非对称积分障碍李雅普诺夫函数（IBLF）处理输出约束；再结合模糊逻辑系统（FLSs）逼近未知动态，利用反步（backstepping）框架设计控制器。通过严格分析和仿真验证，证明了闭环系统能在预定时间内依概率收敛，输出不违反约束，跟踪误差收敛到原点附近。该研究将预定义时间控制拓展到受非对称输出约束的随机非线性系统，为受限随机系统提供了一种可预先设定收敛时间的设计框架，论文发表在《Measurement and Control》。

研究人员采用的主要关键技术方法包括：①建立随机非线性系统的实际预定义时间稳定性判据，通过随机微分算子与分区证明给出预设时间内收敛的条件；②构造非对称积分障碍李雅普诺夫函数（IBLF），避免输出约束向误差约束转换；③利用模糊逻辑系统（FLSs）逼近未知非线性，并设计自适应律估计未知参数；④结合反步（backstepping）框架与加幂积分器，逐层构造虚拟控制器和实际控制器；⑤利用随机李雅普诺夫理论分析系统概率意义下的预定义时间稳定性。仿真采用受随机扰动的弹簧-质量-阻尼系统为对象（K=0.33exp(-x1) N/m，M=1kg，C=12 N·s/m），并与固定时间控制进行对比。

研究结果如下：

构造非对称积分障碍李雅普诺夫函数
研究人员引入坐标变换η1=x1-y_d、η_i=x_i-α_i，构造了积分形式的不对称障碍李雅普诺夫函数（IBLF），并通过定理1证明了其满足1/4η₁⁴≤V_ε≤η₁⁴(k_a+k_b)⁶/[(k_a+η₁+α₁)³(k_b-η₁-α₁)³]。由此可直接处理非对称输出约束，避免状态约束到误差约束的强制转换。

预定义时间稳定性理论
针对随机非线性系统，研究人员提出了实际预定义时间稳定性判据（定理2）：若存在李雅普诺夫函数V满足LV≤-γ/T_c(δ₁V^μ+δ₂V^ν)+Δ，则系统可在预定时间T_c内依概率收敛到包含零点的有界区域。通过将状态空间划分为两个区域并结合固定时间稳定性引理，证明了系统的实际预定义时间稳定性。

预定义时间跟踪控制器设计
基于反步框架和加幂积分器方法，研究人员从第一步到第n步逐步设计虚拟控制器、实际控制器和参数自适应律。每一步均利用模糊逻辑系统（FLSs）逼近未知函数，并通过不等式放缩处理随机项和约束项，最终得到实际控制输入u及自适应更新律。

稳定性分析
定理3给出了闭环系统的三项性质：系统输出几乎必然满足预设约束，即P{-k_ab}=1；所有闭环信号在预定时间内依概率有界稳定；跟踪误差在预定时间内收敛到包含原点的邻域。证明中利用李雅普诺夫不等式，得到LV_n≤-γ/T_cδ₁V_n^μ-γ/T_cδ₂V_n^ν+Δ，从而满足定理2条件。

仿真
以弹簧-质量-阻尼随机系统为例进行数值仿真，并与固定时间控制策略对比。结果表明，所提出的预定义时间控制方案能保证系统状态、控制输入和自适应参数在预定时间T_c=0.5内收敛，而固定时间控制无法保证该给定时间上界；同时，预定义时间控制具有更快的收敛速度和更小的跟踪误差稳态区间。

最后，总结讨论部分：研究人员指出，该方案针对非对称输出约束的随机非线性系统，提出了实际预定义时间稳定性判据，并构造了新的非对称积分障碍李雅普诺夫函数，结合模糊逻辑系统逼近与反步技术实现了自适应模糊预定义时间跟踪控制。研究结论是：所考虑系统在概率意义下实际预定义时间稳定，跟踪误差在预定时间内收敛到原点附近小邻域，系统输出不违反预设约束，且对比仿真验证了方案相对固定时间控制的优越性。同时，该工作仍存在局限，例如缺少实时实验验证，所研究的随机系统结构相对简单；未来将开展实时实现实验，并将该控制方案推广到切换随机系统、高阶随机系统及其他复杂系统模型。