摘要
广义Lotka-Volterra（GLV）系统源于生态学，是研究最为深入的常微分方程（ODE）类之一。近期，Adenane、Avram和Halanay为数学流行病学中有用的广义形式——称为块GLV系统——提出了一个反应网络视角。这些作者发展了一种"虹吸演算"，通过以下六个方面在不离开原始状态空间的前提下研究块GLV方程的边界稳定性：(i) 与最小虹吸相关的不变面，(ii) 横向Jacobian矩阵，(iii) 通过R-入侵函数表达的入侵性，(iv) 继电器图，(v) 排斥划分以及(vi) Lyapunov函数。Rojas La Luz、Yu和Craciun为GLV系统提供了另一个反应网络视角，他们通过引入通过对数变量替换 $\mathbf{x}_i = \mathbf{e}^{\boldsymbol{\xi}_i}$ 得到的相关多项指数系统，建立了正平衡点的全局稳定性理论。在这些对数坐标中，相容类变为仿射子空间，简单的二次Lyapunov函数建立了复杂平衡系统的全局收敛性。本文的目的是结合并比较这两种视角。本文的块GLV结果从一个一般性的Perron-Volterra继电器定理（定理7）开始，并对其进行了一阶多菌株类的显式验证。该定理构造了一个面自适应Lyapunov函数，其中驻留块通过Perron加权熵项进入，缺失块通过正左Perron泛函进入，并将全局收敛性归结为驻留闭合条件、横向闭合条件以及紧致性。对于一阶块模型，典范Perron归一化在任意驻留支撑集 I 上显式给出闭合项：对于每个缺失块 $\mathcal{J}$，对应系数具有与 $R_{\mathcal{J}^c}$ 相同的符号。因此，继电器汇条件 $\mathcal{J}^c \subseteq S$ 验证了横向闭合假设，并给出了收敛到由驻留闭合条件选定的驻留不变集的结果（推论20）；当该集仅由单一平衡点 $\mathbf{x}^\ast$ 组成时，收敛是全局收敛到 $\mathbf{x}^\ast$ 的。对于非线性标量GLV系统，定理6通过沿连接正平衡点 $\bar{\mathbf{x}}$ 与每个点 $\mathbf{x}$ 的线段上取平均的Jacobian矩阵，给出了全局Volterra容许性的精确刻画：$\left\langle \mathbf{A}(\mathbf{x}) \right\rangle_{\bar{\mathbf{x}},\mathbf{x}} \mathbf{1} \leq 0$。它还确定了平均Jacobian矩阵不等式作为充分的全局证书，表明逐点Jacobian族的统一对角稳定性是一个更强的充分条件，并通过一个非线性反例表明，即使在平衡点处 $\mathbf{A}(\mathbf{x})$ 的严格对角稳定性也不能推出全局Volterra容许性。然后，我们给出了一个复杂平衡GLV系统的例子，其中不存在正Volterra权重能在整个正正交体上产生Lyapunov函数（定理11）。因此，复杂平衡不蕴含全局Volterra容许性。有趣的是，在这个例子中，Volterra下降性在相容流形上得以恢复，这引出了一个开放性问题：对于复杂平衡GLV系统，是否存在更一般地相容受限的Volterra函数（问题2）。最后，我们证明了复杂平衡和全局Volterra容许性的所有四种逻辑组合都存在于GLV系统中，其中三种在仿射系统中就已经出现（定理12）。
