一种用于异质材料的随机层次多尺度建模框架

《Journal of Computational Science》：A stochastic hierarchical multiscale modeling framework for heterogeneous materials

　　• 引入了S-HMS和SS-HMS框架，将确定性HMS扩展到随机领域，绕过了严重的计算瓶颈，实现了稳健的不确定性量化。• 使用高斯过程替代模型准确预测全场应力，并通过L2误差功能验证性能。• 建立了计算基础，以捕捉和研究随机材料的宏观行为。

引言
设计和分析复杂物理系统（如核反应堆或先进装甲系统）需要理解涉及不同空间和时间尺度的现象。在这些系统中，宏观响应本质上受较低尺度过程的控制。例如，核反应堆的长期性能或其对极端条件（如冷却丧失）的响应需要考虑许多空间和时间尺度的物理机制[1]、[2]。同样，仅关注装甲板的宏观响应可能无法充分理解其弹道抗力，特别是当出现剥落和碎裂等现象时[3]、[4]。在这些以及其他许多情况下，必须考虑由微观结构特征（如晶粒尺寸、纹理和取向）以及晶间过程（如位错动力学[5]、[6]或晶体塑性[7]）所决定的机械行为。这种理解和跨尺度关联的基本需求推动了多尺度建模（MSM）的发展，它是材料科学[8]、[9]、[10]、计算流体动力学[11]、[12]、[13]和固体力学[14]、[15]中不可或缺的框架。

多尺度建模可以大致分为分层和并发两类。分层MSM基于这样的假设：可以从较低尺度直接使用信息来驱动宏观尺度机制。常见的例子包括许多现有的基于均质化的方法[16]、[17]、[18]，在这些方法中，有效材料性质（如杨氏模量或屈服应力）在微观尺度上被推导出来，然后作为宏观尺度模型的本构输入[19]。相比之下，并发MSM旨在将空间域划分为由适当物理分辨率控制的不同区域。例如，在模拟断裂时，可以制定一个连续体-原子级并发模型，在该模型中，原子模型直接处理裂纹尖端，而连续体模型则用于处理远离裂纹的长范围场[20]。并发MSM中的不同区域通过界面和握手耦合方法在其边界处相互作用和交换信息[21]。

尽管MSM能够以更高的保真度捕获复杂现象，但它需要重复评估底层较低尺度的非线性模型。这种需求引入了重大的计算瓶颈，阻碍了多尺度模型在大规模应用中的广泛使用。克服这一瓶颈的努力主要集中在高效协调整个计算资源上。已经投入了大量工作来开发可以从现有的计算机模型中跨异构高性能计算资源组装多尺度模型的计算框架[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。这些跨尺度框架通过处理并行负载平衡、信息交换和同步简化了新MSM方案的创建。虽然这些计算进步是必要的，但它们只部分缓解了核心计算负担。主要成本仍然是对高保真度较低尺度模型的重复评估。

为了降低计算成本，人们探索了使用替代模型来替代昂贵的较低尺度模型。替代模型是一种基于有限数据集训练的数学近似，能够快速且廉价地估计复杂输出。最近的文献探讨了MSM中的各种类型替代模型[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。尽管这些替代模型可以将计算速度提高几个数量级，但它们通常是在确定性框架中实现的。然而，异质材料本质上是随机的。晶粒尺寸和缺陷分布等特征在不同点和不同样本之间存在差异。这种微观结构的随机性向上传递，因此上层尺度的响应本身也是一个随机量，而不是确定性量。对于推动多尺度建模的应用而言，正是这种变异性、界限和低概率尾部决定了可靠性和基于风险的设计，而这些都无法通过确定性分析获得。Ostoja-Starzewski[32]指出了这种确定性代表体积元素方法的局限性，表明异质材料需要统计体积元素来准确量化性质界限和局部方差。为了弥合这一差距，Tootkaboni和Graham-Brady[33]采用了谱随机方法，将微观结构的随机性显式地传播到宏观均质化性质中。忽略这些随机路径会导致任何严格的不确定性量化失效，从而导致关于全局响应的不完整或可能具有误导性的模拟结果。

更直接相关的是非侵入式框架，它们结合了微观结构变异性的随机场模型和数据驱动的替代模型来跨尺度传播不确定性[34]、[35]、[36]。Bessa等人[35]开发了一个数据驱动的框架，用于在不确定性下分析材料。最近，基于替代模型的不确定性传播已扩展到非线性电导行为[36]，其中宏观尺度随机场通过有效本构图的替代模型进行传播。这些方法使宏观尺度场随机化，而不是跟踪每个积分点的恒定随机状态，并且它们没有处理历史依赖性或动态响应。本文提出的框架通过使上层模型明确意识到较低尺度的随机状态，从而通过非线性、历史依赖的响应来传播较低尺度的随机性。

本研究引入了随机分层多尺度（S-HMS）和基于随机替代的分层多尺度（SS-HMS）建模框架，提供了一种通用计算架构，能够高效地通过多尺度模型层次结构跟踪参数化的较低尺度不确定性。我们使用FE2[37]、[38]范式的两个应用来评估这两个框架，在这两个应用中，两个尺度都使用有限元方法进行建模。我们强调，所提出的框架不仅适用于FE2，还可以应用于任何可以由宏观尺度模型参数化和跟踪较低尺度随机性的MSM场景。我们的贡献如下：首先，S-HMS公式将通过要求上层模型保持对较低尺度随机状态的意识，将确定性HMS框架扩展到随机领域。这具有一个精确的数学可接受性限制：较低尺度的映射既不能是随机的也不能是概率性的，这一条件使得跨尺度传播变得合理。其次，SS-HMS替代模型将每个积分点的随机状态直接输入到替代模型中，这将原本难以处理的随机较低尺度问题转化为可处理的确定性回归，从而实现真正的随机多尺度分析加速。第三，我们开发了一种基于物理的有效参数混合替代模型，该模型学习有效屈服应力并应用标准径向回归更新。这种混合模型的性能远远优于纯数据驱动的自回归替代模型，我们的分析表明，有效屈服应力是底层随机场的非线性函数，既不是其算术平均值也不是其调和平均值。最终，这一框架为基于不确定性的分层多尺度分析建立了计算上可行的基础。与仅用静态本构图替换微观尺度解的纯数据驱动方法不同，当前的贡献实现了通过尺度层次结构对较低尺度随机性的随机状态的一致协调，将替代模型视为可互换的组件。

本文的其余部分结构如下：第2节建立了HMS框架的基础，并介绍了S-HMS和SS-HMS框架。第3节详细介绍了实现随机模拟的具体计算工具；第4节通过量化异质结构全局响应的不确定性来验证这些框架。通过提供研究不确定性的稳健方法，所提出的框架为广泛领域的不确定性感知多尺度建模建立了基础。

分层多尺度模拟（HMS）框架
分层多尺度模拟（HMS）框架[24]是一种模块化的计算跨尺度框架，旨在管理多尺度模型的评估。其核心优势在于能够在不修改现有仿真代码的情况下，促进复杂的、深度分层模型的非侵入式创建和异步执行。

FE2方法
一种常见的但计算成本较高的多尺度建模方法是FE2方法[19]、[37]、[38]、[40]，其中US和LS模拟都使用有限元方法进行。US模型在位移边界ΓuD上施加Dirichlet条件uˉD，在牵引边界ΓtD上施加Neumann条件tˉD，其中ΓD=ΓuD∪ΓtD表示D的边界，且ΓtD∩ΓuD=0?。不包括体力，该系统的控制方程可以是...

应用
在这里，我们使用S-HMS和SS-HMS框架来研究由异质材料组成的结构的行为。我们将该框架应用于二维和三维问题，跨尺度耦合已建立的仿真软件。在两种情况下，US模型使用Abaqus/Explicit 2023求解，而LS模型使用MOOSE求解。对于二维问题，我们考虑了一个具有施加尖端挠度的悬臂梁，并展示了S-HMS框架，同时展示了极端情况...

总结与结论
我们介绍了随机分层多尺度（S-HMS）和基于随机替代的分层多尺度框架（SS-HMS），这些框架扩展了确定性分层多尺度框架[24]，以考虑参数化的较低尺度随机性及其对宏观全局响应的传播。S-HMS框架实现了不确定性感知分析，而SS-HMS解决了计算上可行的不确定性量化的关键需求。

作者贡献声明
Cornelius Otchere：写作——原始草稿、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理。
George Soimoiris：方法论、调查。
Kenneth Leiter：写作——审阅与编辑、验证、软件、方法论、形式分析、概念化。
Jaroslaw Knap：写作——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、资金获取、概念化。
Michael Shields：写作——审阅与编辑、监督、资源、项目管理。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
C.O.、G.S.和M.S.的研究得到了DEVCOM陆军研究实验室的资助，并根据合作协议号W911NF2220225完成。本文档中的观点和结论仅代表作者本人，并不代表陆军研究实验室或美国政府的官方政策或暗示。美国政府获准出于政府目的复制和分发重印本。

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