关于非线性波传播的研究：李群分类、孤子解、PINN验证及定性动力学

《Mathematics and Computers in Simulation》：A study on nonlinear wave propagation: Lie classification, soliton solutions, PINN validation, and qualitative dynamics

　　摘要：超出KdV和mKdV方程的复杂波动现象可以通过具有二次和三次非线性的Gardner方程来描述。利用李对称性分析和相似性变换，将具有恒定系数和时间依赖性外力的非自治情况简化为常微分方程（ODE）。通过Kudryashov方法获得孤子解，并使用数据点分析来研究所得波动解的性质、重叠情况和动态特性。与以往主要关注分析或数值方法的研究不同，本文结合了李对称性分析、Kudryashov方法、基于物理信息的神经网络（PINN）的验证、使用具有自动方法切换功能的Livermore ODE求解器（LSODA）的基准测试以及定性动力学分析。研究结果包括解析形式的孤子解，PINN和LSODA解之间具有非常小的误差且一致性优异，以及不同的平衡状态和相空间行为。该框架提供了可靠的解并详细描述了非线性动力学特性。此外，还通过平衡点的稳定性、吸引域和相图来分析系统的动态行为。研究结果表明，所提出的框架能够准确捕捉非线性波动动力学，并对所考虑的模型提供可靠的解析、数值和定性描述。

引言：非线性演化方程（NLEEs）是一类基本的偏微分方程（PDEs），用于描述不同学科中的多种物理现象[1]、[2]。NLEEs经常能够解释在常规加法规则不适用时的系统行为，从而导致复杂模式、混沌运动和波动传播[3]。由于NLEEs比其线性对应物更能准确表示现实世界系统，因此它们的研究已成为数学物理和应用数学中的重要课题[4]、[5]、[6]。Gardner方程结合了KdV和修正KdV（mKdV）方程的特征，在NLEEs中独树一帜[7]。Gardner方程最初被用于研究浅水波和等离子体物理。它是一个更通用的模型，可以描述更复杂的波动现象，因为它可以表示为二次和三次非线性项的和[8]。除了孤子解之外，它还有诸如冲击波和双层等更复杂的波动结构解[9]。Gardner方程模拟了许多物理现象，例如尘埃等离子体中的非线性等离子体现象（如孤子波和类冲击波[8]），并在不同的物理背景下对其有趣的孤子动力学进行了广泛研究[10]。最近，提出了有效的分析方法来构造Gardner方程的解析解[10]和Gardner-Kawahara方程的解析解[11]。同时，也发现了相关（3+1）维系统的类似简化方法和解析解，例如在脉冲星磁层、行星极光、地球磁层和太阳风中有应用的修正Korteweg–de Vries-Zakharov-Kuznetsov方程[12]。Gardner方程通常会加入外部强迫和阻尼等附加效应。在模拟真实世界场景时，这些扩展非常重要，因为在这些场景中系统会受到能量耗散或时间依赖性外部场的影响[13]。特别是在等离子体环境中，外部电磁场是影响波动动态的强迫项[14]。在流体动力学中[15]，风引起的强迫可以产生不同振幅和速度的波动。阻尼机制[16]还考虑了由于辐射或粘性效应导致的能量损失。具有阻尼或增长效应的非自治形式的Gardner方程并没有像经典Gardner方程及其无强迫变体那样受到重视[17]。在这种情况下，非自治性是由于时间依赖性强迫项Λ(t)的存在，它代表外部强迫，如风或电磁脉冲[18]。本研究的动机是通过引入时间依赖性强迫并保持常数系数来扩展非线性波动理论，同时保持数学的可处理性。这也揭示了新的动态特性，如共振和孤子[19]。也研究了自治情况Λ(t)=0 [20]、[21]，但该通用框架也适用于非自治情况，并且将来可能对波动控制和系统设计有所帮助。

时间依赖的Gardner方程已在早期研究中通过改进的均匀平衡方法进行了分析[22]，并且在更广泛的物理背景下讨论了广义强迫Gardner系统中的非线性波动动力学[23]，指出了这类模型对于具有固定介质参数和时间变化外部因素的真实环境条件的相关性。双线性方法也已应用于复杂的非线性波动方程，包括（3+1）维Hirota-Wazwaz-El Sherif-El Tantawy方程，证明了它们在描述海洋波动现象方面的有效性[24]。最近还研究了具有高阶色散的分数Gardner方程[25]、用于光纤脉冲传播的（3+1）维Gardner-Kadomtsev–Petviashvili模型[26]、具有相关Cauchy问题的三维Gardner方程[27]，以及通过指数时间差分Runge–Kutta方法求解的分数Gardner方程[28]。据作者所知，文献中首次结合Kudryashov方法和对称性分析的耦合方法[29]、[30]、[31]获得了具有恒定系数的非自治Gardner模型的孤子解。Kudryashov方法最初由Nikolay A. Kudryashov提出，是一种强大的解析方法，用于推导非线性微分方程的解析孤子解。该方法涉及将解表示为满足简单辅助ODE（通常是H′(z)=aH(z)+bH2(z)或类似形式）的有限函数序列，并通过代数运算确定未知系数[32]。已经开发了该方法的几种变体，如改进的Kudryashov方法、广义Kudryashov方法和增强Kudryashov方法，并应用于（3+1）维Kudryashov-Sinelshchikov方程[33]等方程。这些变体提供了不同类型的孤子解，即亮孤子、暗孤子、扭结孤子和奇异孤子，并且最近的研究还检查了Kudryashov型方程的混沌行为和分叉特性[34]。该方法特别因其易于实施、可靠性和在处理高色散和高阶非线性方程时的效率而受到赞赏[35]、[36]。它已成功应用于各种非线性光学模型，包括具有广义非局域非线性和折射率的模型[37]。基于非自治Gardner方程中出现的参数和通用函数进行了全面的李对称性分类，这是本文的创新之处。虽然已经有了NLEEs（如广义KdV方程[38]）的解析解，但本文采用了结合李对称性、定性动力学和Kudryashov方法对该方程进行了研究。虽然已经为相关浅水系统（如广义Broer-Kaup-Kupershmidt系统[39]）构建了B?cklund变换（异构和自同构），但我们的方法不同，它在李约化ODE上使用了Kudryashov方法，然后进行了全面的数值和定性验证。首次针对非自治Gardner方程比较了具有自适应步长控制的LSODA算法和PINN得到的解，有助于扩展基于神经网络的解决方案技术的可靠性范围[40]。随着简化动力系统参数的变化，还检查了解的定性行为。动态分析使我们能够分类平衡点、定位稳定性的变化，并理解外力对波动模式的影响[41]。在动态系统理论中，吸引子是系统从某些初始条件长期演化到的渐近状态。它们表征了运动的稳定状态，并提供了对初始条件和参数变化的敏感性洞察。吸引子包括固定点、极限环、环面吸引子（准周期运动）和混沌吸引子，后者对初始条件具有敏感依赖性，这可以使用Lyapunov指数、Poincar’e截面和返回映射来量化[42]。多稳定性是非线性系统的特征，对于相同的参数存在多个吸引子，每个吸引子都有自己的吸引域，即导致给定吸引子的初始条件集。吸引域边界可能是分形的，增加了不可预测性，因为初始条件的微小扰动可能会导致完全不同的长期行为[43]。吸引子分析包括用于可视化轨迹的相空间重建、用于评估全局稳定性的 Basin 映射以及用于识别周期、准周期和混沌状态的返回映射与Poincar’e截面[44]。高级分析包括三维吸引子可视化，揭示了从环面到混沌的转变、表明多稳定性的KAM型结构，以及确认复杂性确定性的替代数据测试[45]。此外，它还有助于检测由所考虑的NLEE产生的孤子波、周期轨道和其他复杂性[46]。此外，还进行了全面的相图分析，并确认了没有吸引域的存在。为了说明不同波动解及其在各自解空间中的交集，使用数据点比较了解的行为。使用PINN和LSODA算法获得了导出ODE的解，并比较了两种方法的结果[47]。结果显示出几乎完全一致[48]。具有阻尼或增长效应的非自治Gardner方程表示为ut+v1uux+v2u2ux+v3uxxx+v4u=Λ(t)，其中波动剖面由u=u(x,t)表示，系数v1、v2、v3、v4分别代表色散、线性阻尼或增长以及二次和三次非线性。外部时间依赖性强迫函数由项Λ(t)表示。三阶导数uxxx考虑了Gardner型系统典型的色散效应，而ut和ux表示对时间和空间的偏导数。波的色散传播由v3控制，v4表示物理环境中常见的线性增益或损失机制，如流体动力学和等离子体系统，非线性系数v1和v2则捕捉了二次和三次相互作用的强度。NLEEs最显著的特征之一是孤子的存在，孤子是由于非线性和色散之间的平衡而在时间上保持形状和速度的局部化波包[49]。自从在浅水波中发现以来，孤子已在包括非线性光学、等离子体物理甚至生物系统在内的广泛物理背景下被观察到[50]。例如，在等离子体物理学中，孤子描述了不改变形式的非线性离子声波[51]。此外，孤子使得可以在光纤中连续传输光脉冲[52]。Auto-B?cklund变换也被用于构建等离子体物理、流体动力学和非线性光学中的Kairat-II-X波方程的孤子解[53]。此外，发现浅水（2+1）维KdV-Sawada-Kotera-Ramani系统具有许多Auto-B?cklund变换，显示出非线性波动方程的丰富解结构[54]。所提出的框架结合了分析、数值和定性方法，并利用了这些方法的互补优势。李对称性分析系统地将PDE简化为ODE，Kudryashov方法提供解析解。PINN提供了无网格近似，LSODA算法是可靠的数值参考。定性分析（哈密顿结构、相图和吸引域研究）进一步揭示了动态行为。数据点重叠分析评估了孤子家族之间的结构一致性。然而，李对称性方法依赖于问题，Kudryashov方法仅限于满足相应平衡条件的方程，而PINN需要仔细选择其架构和超参数。虽然对Gardner方程的解析和数值研究已经取得很大进展，但以前的研究通常集中在可变系数公式、替代分析技术、有限的定性分析或没有使用现代机器学习方法的全面验证上。据作者所知，以往没有研究：（i）对具有恒定系数的非自治Gardner方程进行完整的李对称性分类，包括所有参数子情况；（ii）通过将Kudryashov方法应用于李约化ODE来推导解析孤子解；（iii）基于详细的误差指标对LSODA求解器和PINN进行定量比较；（iv）检查数据点重叠以评估不同孤子家族之间的结构一致性；（v）进行全面的定性动力学分析，包括哈密顿结构、平衡点、相图和吸引域研究。在本研究中，通过结合分析、数值和动力学方法，在一个统一的框架内解决了这些差距，对非自治的Gardner方程进行了详细研究，并扩展了现有技术的范围。

**部分内容：**

#### 非自治Gardner方程的Lie对称性分析**

Lie对称性分析是一种系统的方法，用于研究非线性偏微分方程（PDEs）的不变性质。这种方法通过识别保持指定方程结构的连续变换群，有助于推导出相似性简化形式和解析解。本文利用这一技术来研究非自治Gardner方程（1）。

#### 导出解与比较分析**

非自治波动方程（NLEE）（1）具有解析解，这些解的动力学表现形式以复杂的方式相互作用。本节结合了分析、数值和定性诊断方法以及精确的求解技术，形成了一个统一的框架来描述这些非线性波动模式。这种综合方法确保了不同求解方法之间的一致性，并揭示了NLEE（1）的动力学与简化模型（4）之间的本质联系。

#### 定性动力学**

在某些假设下，NLEE（1）的基本非线性动力学可简化为方程（4）。通过代入ω′=U，该方程被转化为一个平面动力系统，以研究其定性行为。这导致了在相平面（ω,U）上的演化描述：dω/dξ=U,dU/dξ=λv^(3/2)ω?v^(2/3)v^(3/2)ω^(3/2)。

**结论**

本研究深入探讨了具有恒定非线性系数、色散系数和阻尼系数，并受到时间依赖性外部激励的非自治Gardner方程（1）。通过Lie对称性分类，将控制方程系统地简化为低维常微分方程（ODEs），从而对其解空间进行了全面分析。所得到的相似性简化结果为非线性波动现象中对称性的主导作用提供了基本见解。

**作者贡献声明：**

- Muhammad Hamza：撰写初稿、进行研究、进行形式分析。
- Adil Jhangeer：撰写、审阅和编辑、进行验证、制定方法论、进行概念化。
- Shahbaz Ahmad：撰写、审阅和编辑、进行验证、提供监督。
- Fazal Mahmood Mahomed：撰写、审阅和编辑、进行可视化、进行验证、提供监督。

**伦理审批：**

本研究中不适用伦理审批要求。

**利益冲突声明：**

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所报道工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢：**

本文得到了欧盟在REFRESH项目（项目编号CZ.10.03.01/00/22_003/0000048）下的财政支持，该项目属于“公正转型”运营计划的一部分。

**作者名单：**
Muhammad Hamza | Adil Jhangeer | Shahbaz Ahmad | Fazal Mahmood Mahomed