非光滑 Wilson-Cowan 模型的参数敏感性及其与光滑对应模型的比较

《Mathematical Biosciences》：Parametric Sensitivities of a Nonsmooth Wilson-Cowan Model with a Comparison to its Smooth Counterpart

　　

摘要
Wilson-Cowan 神经质量模型将兴奋性和抑制性神经元分组，并通过一个常微分方程组（ODEs）来模拟它们的通信。神经发放率函数通常被近似为平滑的 S 型函数（sigmoid function）和不连续的 Heaviside 函数。后者的不可微性使得需要导数信息的标准方法（如稳定性和敏感性理论）失效。在本文中，我们使用广义导数理论中一种相对较新的工具——字典序方向导数（lexicographic directional derivative），直接分析了一个具有分段线性发放率函数（模拟“全或无”动作电位）的 Wilson-Cowan 模型。我们的贡献包括建立非平滑 Wilson-Cowan 模型的适定性，并分析其稳定性和参数敏感性。在平滑 Wilson-Cowan 模型中，对应于尖峰行为的极限环在具有物理意义的域内是全局吸引的，而在非平滑模型中，由于同时也存在一个局部吸引的平凡平衡点，极限环仅是局部吸引的。对非平滑模型进行的局部和非局部敏感性分析揭示，在非平滑情况下，抑制性神经元时间尺度是最具影响力的参数，主导了其他参数的效应。这与平滑模型显著不同，尽管每个模型的状态变量解都遵循相似的尖峰行为，但我们观察到平滑模型总体上对其参数的变化不如非平滑模型敏感。

引言
大量研究致力于 Wilson-Cowan 模型 [1]，这是一个神经质量模型，通过一组常微分方程（ODEs）刻画兴奋性和抑制性神经元群体之间的活动。基本模型通过神经元发放率、突触权重和空间排列，捕捉并描述了兴奋性和抑制性神经元群体之间的动力学及通信。对该模型及其变体的研究为视觉幻觉、癫痫、运动认知动力学、神经成像数据的解读等神经学概念提供了关键见解 [2]。感兴趣的读者可以参考 [3]、[4]、[5] 了解 Wilson-Cowan 模型及其众多变体的背景。

流行的发放率函数包括平滑 S 型函数，它代表了跨网络神经发放率阈值标准中的噪声和多样性平均，以及不连续的 Heaviside 函数，它代表了“全或无”发放率 [2]、[6]。S 型函数的平滑特性保证了模型 ODE 右侧函数的可微性，使得在分析模型动力学时可以使用标准理论，即利用稳定性和分岔理论洞察动力学的长期行为，并利用敏感性理论确定模型参数对动力学的影响。另一方面，Heaviside 函数是一个更简单的函数，但会导致不连续的 ODE 系统，因此使得上述适用于平滑 S 型函数的标准方法失效，因为它们需要导数信息。

尽管非平滑/不连续函数带来了理论上的复杂性，许多作者在这一领域做出了贡献 [7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]，追溯至早期神经网络研究（例如 [13]），使用了非平滑和不连续 ODE 理论的多种工具 [9]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。除了不连续/跳跃函数外，作者们还在数学神经科学中研究了连续但非平滑的函数（因此非 Filippov），但范围较窄。在 [7] 中，Harris 和 Ermentrout 探索了一个具有平滑、分段线性和 Heaviside 发放率函数的 Wilson-Cowan 模型，其动机是调查这种非平滑近似的后果。作者指出，平滑对应模型允许存在一个所谓的中间支平衡（一个与兴奋性零斜线中间支相交的平衡状态），并使用 Filippov 系统的技术来调查模型的非平滑分岔。在 [8] 中，作者完成了具有非平滑分段线性（PWL）发放率函数的 Wilson-Cowan 模型的稳定性和分岔分析；作者拼接了矩阵指数解，并应用了适应版本的 Floquet 理论，该理论依赖于切换流形之外的线性来处理 ODE 系统的非平滑性。结果表明存在一个被稳定极限环包围的不稳定平衡点。作者还调查了具有不连续阶梯发放率函数（由 Heaviside 函数建模）的模型稳定性，在这种情况下 Floquet 理论的线性化失效，因此作者求助于跳跃矩阵（见 [20]）。有关非平滑/不连续神经质量建模努力的概述，见 [5]。

与上述提到的非平滑系统技术不同，字典序方向导数 [21] 是一种计算上可行的非平滑分析工具，为非平滑 ODE 系统提供了准确且易于实现的敏感性理论 [22]。该框架适用于所谓的字典序平滑系统 [23]（大致为 Lipschitz 连续且可任意阶方向可微），其中包括本文考虑的分段线性（PWL）发放率函数类。该敏感性理论描述了关于模型参数的局部一阶广义导数 [24]，即解如何随模型参数变化而变化。其计算相关性来自于以下事实：这种广义导数信息可用于专用的非平滑数值方法 [25]、[26]，并且可用的自动微分方法 [21]、[27]。因此，敏感性信息可用于对模型参数进行洞察，从而揭示驱动神经质量模型动力学的隐藏机制。这种字典序方法已成功应用于数学生物学的其他领域，包括糖尿病模型 [28]、暴乱行为模型 [29] 和动态通量平衡分析模型 [30]。

在本文中，我们研究了一个具有字典序平滑的 PWL 发放率函数的 Wilson-Cowan 模型。我们建立了其适定性并分析了其稳定性；我们表明平凡解（对应于非尖峰行为）是局部吸引的，而极限环（穿过所谓的切换流形并包围一个不稳定平衡点）也是局部吸引的。然后我们对该模型进行了局部和非局部敏感性分析，这是本文的主要贡献。我们确定了非平滑模型动力学中最具影响力的参数是抑制性神经元群体的相对时间尺度。我们还发现了表现出高神经活动的初始条件区域对应于高敏感性区域。我们将这些结果与具有平滑 S 型发放率函数的模型进行了比较，我们发现平滑模型总体上对参数值的变化不如非平滑模型敏感。本文的结构如下：我们在第 2 节开始构建具有非平滑 PWL 发放率的 Wilson-Cowan 模型。我们在第 3 节进行稳定性分析，以确定模型的不变集及其长期行为。在第 4 节，给出了局部和非局部敏感性分析的结果。然后在第 6 节，我们将非平滑模型的稳定性和敏感性结果与具有平滑发放率函数的 Wilson-Cowan 模型的分析结果进行了比较。我们在第 7 节得出结论，总结全文确定的数学和生物学结论，并概述该项目的未来目标。关于非平滑 ODE、广义导数理论和字典序方向微分的数学背景在附录 A 中提供。

章节片段
非平滑 Wilson-Cowan 模型构建
单节点 Wilson-Cowan 神经质量模型 [1] 捕捉兴奋性和抑制性神经元群体的动力学，并表示为以下 ODEs：
˙??=???+???(????+?????????????????????),???(0)=??0,
˙??=1???(???+???(????+?????????????????????)),???(0)=??0,
其中 u(t) 和 v(t) 分别代表时间 t 时单位时间内兴奋性和抑制性神经元发放的比例。由于它们是比例，假设初始条件满足 u0, v0 ∈ [0, 1]。相对时间尺度，τ，包含在 ODEs 中...

非平滑 Wilson-Cowan 模型稳定性分析：尖峰行为的消失
这里我们调查非平滑模型 (1) 不变集的存在性和稳定性。令 ???(??)=??4???+12 并回忆 (2) 中的 PWL 发放率函数由 ???(??)=mid?(0,???(??),1) 给出，由此可知在调查 (1) 时，基于 ˙?? 和 ˙?? 中发放率函数输出的组合，有九种情况需要考虑候选平衡点。特定组合是否产生 (1) 的相关平衡点取决于两件事：
label=()
物理 vs. 非物理：...

非平滑 Wilson-Cowan 模型局部敏感性分析：关键相对时间尺度
在本节中，我们通过推导其非平滑敏感性方程来分析非平滑 Wilson-Cowan 模型的参数敏感性。由于 PWL 发放率函数的非平滑性，这是通过 LD-导数理论实现的（详见 A），导致以下非平滑敏感性系统（感兴趣的读者可以参考 B 了解推导细节）：
˙????=?????+slmid?([001????10],[??????′??],[101????10]),?????(??0)=??9,
˙????=(1??)?((???mid?(????)??2)???1?????+slmid([001????10],[??????′??],[101????10]...

非平滑 Wilson-Cowan 模型非局部敏感性分析
由于有兴趣探索模型的相空间（回顾图 2b），我们调查物理意义域，Ω，各个区域中的参数敏感性行为，以确定我们的结论在空间上是否不同。因此，通过在 Ω 中针对各种初始条件 (ICs) 重新分析参数影响来进行非局部敏感性分析。为了进行此分析，我们考虑了所有参数和状态变量上的敏感性指标总和，可以写成如下：
msub...

非平滑与平滑 Wilson-Cowan 模型的比较
在本节中，我们将非平滑结果与具有平滑发放率函数的单节点 Wilson-Cowan 模型进行比较（例如见 [3] 和 [4]）。一种流行的平滑发放率函数（[8] 的作者除不连续发放率外还考虑了此函数）是 S 型曲线
??s?(??)=expit?(?????)=11+????????,
其中下标‘s’用于将此平滑曲线与前几节中引用的非平滑 F(x) 区分开来。请注意，方程 (2) 中的非平滑 F(x) 与...

结论性评论
在本文中，我们调查了具有 PWL 发放率函数的 Wilson-Cowan 模型的适定性、稳定性和敏感性。我们通过应用 LD-导数理论来计算非平滑导数信息来实现这一点。我们将我们的发现与平滑 Wilson-Cowan 模型（平滑 S 型发放率函数）进行了比较，发现它们在定性行为上存在重大差异。基于这些发现，我们提出以下观察：
(i) 具有非平滑发放率的 Wilson-Cowan 模型...

关于手稿准备过程中生成式人工智能和人工智能辅助技术的声明
在工作准备过程中，作者使用了 Google Gemini 来优化和调试用于模拟的 MATLAB 代码。使用此工具后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对已发布文章的内容承担全部责任。

资助
本研究未收到公共、商业或非营利部门资助机构的任何特定赠款。

CRediT 作者贡献声明
Cadi L. Howell: 写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Peter Stechlinski: 写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，监督，方法论，调查，形式分析，概念化。

竞争利益声明
作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本论文报告的工作。

Cadi L. Howell|Peter Stechlinski
数学与统计系，缅因大学，奥罗诺，缅因州，04469，美国