用于信息密度驱动图像表示的最大熵极坐标谐波变换

《Pattern Recognition》：Maximum-entropy polar harmonic transforms for information-density-driven image representation

　　- 基于信息密度的MEPHTs自适应重新分配径向基函数的零点。- 映射后的径向变量在[0,1]区间上达到最大微分熵。- 自适应零点重分配改善了低阶能量紧致性。- MEPHTs在非线映射下保持正交性和几何不变性。- 重建、识别和零水印实验验证了其鲁棒性。## 引言图像表示在模式识别、图像分析和多媒体安全中起着核心作用，是分类与检索[1], [2]以及图像鉴伪和伪造检测[3], [4]的基础。在这些任务中，有效的图像表示旨在通过紧凑且具有判别力的描述子[5], [6]来表征相关的图像内容，并且能够抵抗信号退化和几何变换[7]。近年来，基于深度神经网络的数据驱动视觉模型，包括现代卷积网络[8]、视觉Transformer[9]以及基于Mamba的视觉架构[10]，在许多视觉任务中取得了显著的性能。然而，当遇到未见的图像退化或几何变换时，数据驱动模型通常需要增强的训练数据或专门的面向鲁棒性的训练策略，才能在这些变化条件下保持鲁棒性能[11], [12]。因此，解析的、无需学习的描述子特别适合需要鲁棒表示但又没有增强训练数据或专用鲁棒性训练的场景，并且期望从描述子本身的设计中获得几何不变性。在这些描述子中，连续正交矩（COMs）是一种代表性的图像表示范式，通过将图像投影到定义在连续域上的正交基函数上来实现[13]。代表性的COMs包括Zernike矩（ZMs）[14]、伪Zernike矩（PZMs）[15]以及极坐标谐波变换（PHTs），包括极坐标复指数变换（PCET）、极坐标余弦变换（PCT）和极坐标正弦变换（PST）[16]。凭借其明确的公式、正交性和几何不变性，这些矩描述子已被广泛用于解析图像表示[17]。尽管具有解析优势，现有的COMs仍面临紧凑表示的挑战。在实际的图像表示任务中，通常优先使用低阶矩，因为它们提供紧凑的描述子并有助于降低计算成本[18], [19]。然而，在低阶时，径向核函数通常只包含较少的零点，而径向核函数零点的分布会影响不同径向区域上的表示侧重程度[20], [21]。在传统COMs中，这种分布是预先定义且与内容无关的。因此，固定的零点分布对于具有不同径向内容分布的图像可能无法提供足够的灵活性，导致某些径向区间得不到充分表示。随后可能需要额外的更高阶矩来提高重建保真度，从而增加描述子维度和计算成本[22]。为了研究固定的径向映射如何影响径向零点分布，本文聚焦于PHT框架。在PCET、PCT和PST的径向核函数中，预定义的映射 $r^2$ 直接出现在谐波参数中[16]，为径向映射与由此产生的径向振荡及零点分布之间提供了可处理的联系。在这种固定公式下，传统PHTs中的径向零点分布由矩阶和固定的径向映射预先决定，而非根据图像内容自适应调整。然而，实际图像往往表现出非均匀的径向强度分布。例如，图像强度可能集中在中心附近、外周环形区域或若干径向区间内。作为代表性说明，图1展示了固定径向映射如何影响此类图像的径向表示。如图1(a)和(c)所示，由于径向采样模式与图像内容无关，一些具有较大强度贡献的区间可能获得的径向核函数零点较少，而一些强度贡献较小的区间可能获得的零点过多，导致低阶下径向采样效率低下。这种不匹配会削弱低阶能量紧致性并限制紧凑图像表示。相比之下，图1(b)和(d)展示了理想的自适应行为，即径向核函数零点在强度贡献较大的区间分布更密集，而在强度贡献较小的区间分布更稀疏。现有研究试图通过分数阶参数化或对矩基函数进行基于函数的变换来增强空间表示的灵活性。Yang等人[23]提出了分数阶Jacobi-Fourier矩以实现鲁棒且具有判别力的图像表示，其中引入分数阶参数 $\alpha$ 来调整Jacobi-Fourier核的空间描述行为。除了分数阶参数化之外，Yang等人[24]提出了变换正交矩框架，通过在基函数中引入通用的变换函数，使局部正交矩能够控制对应核函数的零点分布。这些方法增加了矩基函数的灵活性并部分缓解了固定采样的限制。然而，其采样机制仍然是主要依赖参数驱动或变换驱动的。在实际应用中，此类配置可能需要针对不同图像或任务进行经验调整。因此，一个关键问题是如何在不依赖经验选择的参数或预定变换的情况下，实现自适应径向采样和径向核函数零点分配。相应地，本文提出了最大熵极坐标谐波变换（MEPHTs），用于基于信息密度的图像表示。所提出的框架首先通过累加同心环形区域内的绝对图像强度来构建图像衍生的径向信息密度，然后将归一化密度转换为单调累积映射 $h(r)$。以PCET作为代表性PHT，将固定的径向相位 $2\pi n r^2$ 替换为自适应相位 $2\pi n h(r)$，从而使径向核函数零点根据构建的径向信息密度重新分布。因此，径向核函数零点在径向信息密度值较大的区间变得更密集，在径向信息密度值较小的区间变得更稀疏。所提出的构造方法保留了PHTs的正交性和几何不变性，并从最大熵的角度进一步解释了自适应径向采样。本文的主要贡献总结如下：(1) 我们提出了一个基于信息密度的框架构建最大熵极坐标谐波变换。通过在径向相位中将固定的径向映射 $r^2$ 替换为图像衍生的累积映射 $h(r)$，MEPHTs自适应地重新分配了相应的径向核函数零点，从而缓解了固定径向采样与非均匀径向强度分布之间的不匹配问题。(2) 我们提供了所提出累积映射最大熵属性的理论证明。通过变量替换定理，物理径向域中的归一化径向密度被变换为映射区间上的均匀分布。结合映射坐标中的线性径向相位，这一结果表明映射域中等间距的零点对应于原始径向域中在归一化径向密度下具有相等累积概率质量的径向区间。(3) 我们在不同的图像表示场景中实例化了所提出的映射机制，并在重建、退化模式识别和零水印中验证了其有效性。对于重建和零水印，映射从每幅输入图像构建；而对于识别，使用训练集级别的参考映射来保持特征空间的一致性。实验结果表明，在信号处理和几何攻击下，低阶能量紧致性得到改善，识别性能更鲁棒，零水印提取更可靠。## 章节摘要### 相关工作本节回顾了PHTs和广义极坐标谐波变换（GPHTs）的径向映射机制，重点研究固定映射和全局参数化映射如何决定径向核函数零点的分布。### MEPHTs：最大熵极坐标谐波变换本节介绍了所提出的最大熵极坐标谐波变换（MEPHTs）。我们首先构建径向信息密度和累积映射，然后定义对应的最大熵极坐标复指数变换（MEPCET）、最大熵极坐标余弦变换（MEPCT）和最大熵极坐标正弦变换（MEPST）核函数，并进行正交性分析。接下来，讨论离散实现和复杂度分析。最后，进行理论……### 实验本节从计算效率、图像重建、退化图像分类和零水印方面评估了所提出的MEPHTs。效率分析考察了基于信息密度的映射所引入的实际开销，而三个应用任务则分别评估了其在图像重建低阶能量紧致性、退化图像分类特征鲁棒性以及零水印可靠性方面的优势……### 结论本文提出了最大熵极坐标谐波变换（MEPHTs），用于基于信息密度的图像表示。核心思想是将PHTs的固定径向映射替换为由径向信息密度导出的单调累积映射。通过该映射，固定的径向相位被替换为由信息密度驱动的相位，从而导致径向核函数零点根据所采用的径向信息密度重新分布，同时保持了正交性和……### CRediT作者贡献声明**柴秀丽**：写作—审阅与编辑、监督、调查、概念化。**李文辉**：写作—原稿撰写、软件、方法论、调查、概念化。**齐述仁**：写作—审阅与编辑、监督、方法论。**张雅静**：写作—审阅与编辑、监督、方法论。**甘志华**：写作—审阅与编辑、方法论。**张宇舒**：写作—审阅与编辑、监督。### 利益冲突声明作者声明不存在可能影响本文研究结果的任何已知竞争财务利益或个人关系。**柴秀丽 | 李文辉 | 齐述仁 | 张雅静 | 甘志华 | 张宇舒**